Основно съдържание

Физика – 8. клас (България)

Курс: Физика – 8. клас (България) > Раздел 1

Урок 4: Кинематични формули и свободно падане

Кои са уравненията на кинематиката?

Това са основните уравнения, които можеш да използваш при анализ на ситуации с постоянно ускорение.

Кои са уравненията на кинематиката?

Уравненията на кинематиката са няколко формули, които изразяват връзките между петте кинематични променливи, изредени по-долу.

Δ x Преместване

t Времеви интервал

v_{0} Начална скорост

v Крайна скорост

a Постоянно ускорение

[Защо интервалът от време сега е записан само с t?]

Ако знаем три от тези пет кинематични променливи —

Δ x, t, v_{0}, v, a

— за обект, който се движи с постоянно ускорение, можем да използваме кинематично уравнение, виж по-долу, за да намерим някоя от неизвестните променливи.

Кинематичните формули (още формули на кинематиката, кинематични уравнения и уравнения на кинематиката) са следните

[Откъде дойдоха тези формули?]

1. v = v_{0} + a t

2. Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

3. Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

4. v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x

Тъй като кинематичните формули са верни, само ако ускорението през въпросния времеви интервал е постоянно, трябва да внимаваме да не ги използваме, когато ускорението се променя. Също така, тези формули са записани така, че са верни само ако всички променливи имат една и съща посока: хоризонтална

x

, вертикална

y

, и т.н.

[Момент, моля?]

Какво е свободно падащ обект?

Може да ти се струва, че обстоятелството, че кинематичните формули важат само за времеви интервали, в които ускорението е постоянно, драстично ограничава тяхната приложимост. От друга страна, например за едно от най-често разглежданите видове движение - свободното падане - се оказва, че е движение с постоянно ускорение

Поради гравитацията всеки свободно падащ обект на Земята, независимо от масата му, има постоянно ускорение надолу с големина

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}} (големина на ускорението поради земната гравитация)

Свободно падащ обект се дефинира като всеки друг обект, който, обаче, се ускорява единствено и само под действието на гравитацията. Обикновено приемаме, че съпротивлението на въздуха е достатъчно малко, за да можем да го пренебрегнем, което означава, че всеки обект, който е пуснат, хвърлен или по друг начин падащ свободно във въздуха, обикновено се приема за движещ се с постоянно ускорение надолу с големина

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

Ако се замислим, това изглежда едновременно странно и добре за нас. Странно е, защото това означава, че един голям камък ще ускорява надолу по същия начин като едно малко камъче и ако ги пуснем от една и съща височина, ще стигнат земята в един и същи момент.

[Как е възможно?]

За нас е добре, че не е необходимо да знаем масата на свободно падащия обект, когато решаваме кинематични уравнения, тъй като свободно падащите тела имат едно и също ускорение, независимо от тяхната маса. И това е ускорението с големина

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

, стига, разбира се, съпротивлението на въздуха да е пренебрежимо малко.

Обърни внимание, че

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

е само големината на ускорението поради гравитацията (може да се нарича също гравитационно ускорение). Ако посоката нагоре е избрана за положителна, ускорението на свободно падащ обект поради гравитацията, което трябва да заместим в кинематичните формули, става отрицателно:

a_{y} = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

Внимание Забравянето на знака минус е една от най-често срещаните грешки при използването на кинематични формули.

Как избираш и използваш кинематична формула?

Избираме кинематичната формула, която съдържа както неизвестната променлива, която търсим, така и три от кинематичните променливи, които вече знаем. По този начин можем да намерим неизвестното, което искаме да намерим, което ще бъде единственото неизвестно във формулата.

Например да кажем, че знаем, че книга на земята е ритната напред с начална скорост с големина

v_{0} = 5 m/s

, след което са били необходими

t = 3 s

, за да се плъзне книгата на разстояние от

Δ x = 8 m

. Можем да използваме кинематичната формула

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

, за да намерим неизвестното ускорение

a

на книгата – като предполагаме, че ускорението е било постоянно – тъй като знаем всички други променливи в тази формула, освен

a

–

Δ x, v_{0}, t

Съвет за решаване на задачи: Обърни внимание, че във всяка от кинематичните формули липсва по точно една от петте кинематични променливи —

Δ x, t, v_{0}, v, a

1. v = v_{0} + a t (В тази формула не участва Δ x .)

2. Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t (В тази формула не участва a .)

3. Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} (В тази формула не участва v .)

4. v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x (В тази формула не участва t .)

За да избереш кинематичната формула, която е подходяща за конкретната задача, виж коя променлива не ти е дадена и не се иска да я намериш. Например в дадената по-горе задача, крайната скорост

v

на книгата нито е дадена, нито се търси, така че трябва да изберем формула, която изобщо не включва

v

. Във формулата

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

не присъства

v

, така че тя е най-подходяща за намиране на ускорението

a

[Не би ли трябвало да има и пета кинематична формула, в която да не участва началната скорост?]

Как се извежда първата кинематична формула, $v = v_{0} + a t$ ‍ ?

Това е навярно най-лесната за извеждане кинематична формула - тя е чисто и просто преобразувана версия на дефиницията за ускорение. Можем да започнем с дефиницията за ускорение:

a = \frac{Δ v}{Δ t}

[Това не е ли средното ускорение?]

Сега можем да заменим

Δ v

с дефиницията за промяна на скоростта

v - v_{0}

a = \frac{v - v_{0}}{Δ t}

Накрая изразяваме

v

и получаваме

v = v_{0} + a Δ t

И ако се съгласим да използваме

t

за

Δ t

, това става първата кинематична формула.

v = v_{0} + a t

Как се извежда втората формула на кинематиката, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍?

Готин начин за извеждане на тази кинематична формула е чрез разглеждане на графика на скоростта на обект с постоянно ускорение – с други думи, постоянен наклон – започващ със скорост

v_{0}

, както е показано на графиката по-долу.

Площта под графиката на скоростта дава отместването $Δ x$ ‍. Така че площта под тази графика на скоростта ще бъде отместването

Δ x

на обекта.

Δ x = обща площ

Можем удобно да разделим тази област на синия правоъгълник и червения триъгълник, както е показано на графиката горе.

Височината на синия правоъгълник е

v_{0}

, а ширината му е

t

, така че лицето му е

v_{0} t

.
Основата на червения триъгълник е

t

и височината му е

v - v_{0}

, така че площта на червения триъгълник е

\frac{1}{2} t (v - v_{0})

Общата площ ще бъде сумата от площите на синия правоъгълник и червения триъгълник.

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} t (v - v_{0})

Ако разкрием скобите зад общия множител

\frac{1}{2} t

, ще получим

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} v t - \frac{1}{2} v_{0} t

Можем да опростим, като комбинираме двата члена с

v_{0}

Δ x = \frac{1}{2} v t + \frac{1}{2} v_{0} t

И накрая можем да преобразуваме дясната страна, с което получаваме втората кинематична формула.

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

Тази формула е интересна, защото ако разделиш двете страни на

t

, получаваш

\frac{Δ x}{t} = (\frac{v + v_{0}}{2})

. Това показва, че средната скорост

\frac{Δ x}{t}

е равна на средноаритметичното на началната и крайната скорост

\frac{v + v_{0}}{2}

. Това обаче е вярно само при постоянно ускорение (постоянен наклон).

Как се извежда третата кинематична формула, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍?

Има няколко начина за извеждане на уравнението

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

. Има един хубав геометричен начин и един не толкова вълнуващ начин с алгебрични манипулации. Ние първо ще го изведем по хубавия геометричен начин.

Да разгледаме обект с начална скорост

v_{0}

, който поддържа постоянно ускорение докато развие крайна скорост

v

, както е показано на графиката по-долу.

Тъй като площта под графиката на скоростта дава отместването

Δ x

, всеки член от дясната страна на формулата

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

представлява някаква площ на графиката по-горе.

Членът

v_{0} t

представлява площта на синия правоъгълник, тъй като

A_{п р а в о ъ г ъ л н и к} = h w

Членът

\frac{1}{2} a t^{2}

представлява площта на червения триъгълник, тъй като

A_{т р и ъ г ъ л н и к} = \frac{1}{2} b h

[Чакай, как така?]

Това е. Формулата

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

трябва да е вярна, тъй като отместването трябва да бъде равно на общата площ под кривата. Приехме, че графиката на скоростта е хубава диагонална линия, за да можем да използваме формулата за триъгълник, така че тази кинематична формула, подобна на останалите кинематични формули, е вярна единствено при положение, че ускорението е постоянно.

Ето един алтернативен начин за извеждане. Третата кинематична формула може да се изведе чрез заместване на първата кинематична формула

v = v_{0} + a t

във втората кинематична формула

\frac{Δ x}{t} = \frac{v + v_{0}}{2}

Започваме с втората кинематична формула:

\frac{Δ x}{t} = \frac{v + v_{0}}{2}

и използваме

v = v_{0} + a t

, за да заместим

v

, при което получаваме:

\frac{Δ x}{t} = \frac{(v_{0} + a t) + v_{0}}{2}

Можем да разкрием скобите отдясно и да получим:

\frac{Δ x}{t} = \frac{v_{0}}{2} + \frac{a t}{2} + \frac{v_{0}}{2}

Като комбинираме двата члена с

\frac{v_{0}}{2}

отдясно, получаваме:

\frac{Δ x}{t} = v_{0} + \frac{a t}{2}

И накрая умножаваме двете страни по времето

t

, при което получаваме третата кинематична формула.

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

Отново използвахме други кинематични формули, които имат изискване за постоянно ускорение, така че тази трета кинематична формула е вярна само при условието, че ускорението е постоянно.

Как се извежда четвъртата кинематична формула, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍?

За да изведем четвъртата кинематична формула, ще започнем с втората кинематична формула:

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

Искаме да премахнем времето

t

от тази формула. За да направим това, ще изразим времето от първата кинематична формула

v = v_{0} + a t

, при което получаваме

t = \frac{v - v_{0}}{a}

. Ако заместим времето

t

с този израз във втората кинематична формула, ще получим:

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) (\frac{v - v_{0}}{a})

Като умножим отдясно, получаваме:

Δ x = (\frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 a})

И сега като изразим

v^{2}

, получаваме четвъртата кинематична формула.

v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x

Кое е объркващото при кинематичните формули?

Хората често забравят, че кинематичните формули са верни само при постоянно ускорение по време на разглеждания времеви интервал.

Понякога известната променлива няма да бъде явно дадена в задачата, но ще бъде загатната с кодови думи. Например „започва от покой“ означава

v_{0} = 0

, „пуснат“ често означава

v_{0} = 0

, а „спира“ означава

v = 0

. Също, големината на ускорението поради гравитацията на свободно падащ обект се подразбира, че е

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

, така че това ускорение няма да бъде давано изрично в задачите, но ще се подразбира при свободно падащи тела.

Хората често забравят, че всички кинематични променливи –

Δ x, v_{o}, v, a

– освен

t

, могат да бъдат отрицателни. Липсващ знак минус е много често срещана причина за грешка. Ако сме приели посоката нагоре за положителна, земното ускорение за свободно падащ обект е отрицателно:

a_{g} = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

Третата кинематична формула,

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

, може да доведе до решаване на квадратно уравнение, виж решения пример 3 по-долу.

Хората забравят, че въпреки че могат да избират някакъв интервал от време по време на постоянното ускорение, кинематичните променливи, с които заместваш в кинематична формула, трябва да съответстват на този интервал от време. С други думи, началната скорост

v_{0}

трябва да бъде скоростта на обекта в началната позиция и началото на времевия интервал

t

. Аналогично, крайната скорост

v

трябва да бъде скоростта в крайната позиция и в края на анализирания интервал от време

t

Как изглеждат решени примери с кинематичните формули?

Пример 1: Първа кинематична формула, $v = v_{0} + a t$ ‍

Балон за вода е напълнен със сок и е пуснат от покрива на много висока сграда.

Каква е скоростта на балона, след като е падал в продължение на $t = 2, 35 s$ ‍?

Като приемем посоката нагоре за положителна, известните ни променливи са:

v_{0} = 0

(Тъй като балонът е пуснат, той започва от покой.)

t = 2, 35 s

(Това е времевият интервал, скоростта в края на който искаме да намерим.)

a_{g} = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

(Това се подразбира от обстоятелството, че балонът извършва свободно падане.)

[Крайната скорост не е ли нула, при положение, че се удря в земята?]

В тази ситуация движението е вертикално, така че ще използваме

y

за означаване на позицията, вместо

x

. Символът няма значение, стига да се придържаме към вече направения избор, но хората често използват

y

при вертикално движение.

Тъй като не знаем отместването

Δ y

и от нас не се иска да намерим отместването

Δ y

, ще използваме кинематичната формула

v = v_{0} + a t

, в която липсва

Δ y

v = v_{0} + a t (Използваме първата кинематична формула, тъй като в нея липсва Δ y .)

v = 0 m/s + (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) (2, 35 s) (Заместваме с известните стойности.)

v = - 23, 1 m/s (Пресмятаме и отпразнуваме!)

Забележка: Крайната скорост е отрицателна, тъй като балонът се движи надолу.

[Не можем ли да изберем посоката надолу за положителна?]

Пример 2: Втора кинематична формула, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍

Леопард тича с 6,20 m/s и след като вижда мираж във вида на камион за сладолед, леопардът забързва до 23,1 m/s за 3,3 секунди.

Колко разстояние е изминал леопардът, докато е ускорявал от 6,20 m/s до 23,1 m/s?

Като приемем, че посоката на началната скорост на движение е положителна, известните ни променливи са:

v_{0} = 6, 20 m/s

(Начална бързина на леопарда)

v = 23, 1 m/s

(Крайна бързина на леопарда)

t = 3, 30 s

(Времето, което е отнело на леопарда да ускори)

Тъй като не знаем ускорението

a

и от нас не се иска да го намерим, ще използваме втората кинематична формула за хоризонталната посока

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

, в която не присъства

a

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t (Използваме втората кинематична формула, тъй като в нея не участва a .)

Δ x = (\frac{23, 1 m/s + 6, 20 m/s}{2}) (3, 30 s) (Заместваме с известните стойности.)

Δ x = 48, 3 m (Изчисляваме и отпразнуваме!)

Пример 3: Трета кинематична формула, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍

На ученик му писва да си пише домашното за кинематични формули и затова хвърля молива си право нагоре във въздуха с 18,3 m/s.

Колко време отнема на молива да достигне за пръв път височина с 12,2 метра по-висока от мястото, от което е хвърлен?

Като приемем посоката нагоре за положителна, известните ни променливи са:

v_{0} = 18, 3 m/s

(Началната скорост на молива нагоре)

Δ y = 12, 2 m

(Искаме да намерим времето, за което моливът реализира това отместване.)

a = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

(Моливът пада свободно.)

Тъй като не знаем крайната скорост

v

и от нас не се иска да я намерим, ще използваме третата кинематична формула за вертикалното направление

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2}

, в която

v

не присъства.

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} (Започваме с третата кинематична формула.)

Обикновено просто бихме изразили алгебрично променливата, която искаме да намерим, но тази кинематична формула не може да бъде решена алгебрично за време, ако никой от членовете не е нула. Това е така, защото когато никой от членовете не е нула и

t

е неизвестната променлива, това уравнение е квадратно уравнение. Можем да видим това, като заместим с известните стойности.

12, 2 m = (18, 3 m/s) t + \frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) t^{2} (Заместваме с известните стойности.)

За да приведем в по-решим вид квадратното уравнение, преместваме всичко от едната страна на уравнението. Като извадим 12,2 m от двете страни, получаваме

0 = \frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) t^{2} + (18, 3 m/s) t - 12, 2 m (Замести в квадратното уравнение.)

Вече решаваме квадратното уравнение за времето

t

. Решенията на квадратно уравнение във вида

a t^{2} + b t + c = 0

се намират чрез формулата

t = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

. За нашето кинематично уравнение

a = \frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}})

b = 18, 3 m/s

c = - 12, 2 m

Така че, като заместим във формулата, получаваме

t = \frac{- 18, 3 m/s \pm \sqrt{(18, 3 m/s)^{2} - 4 [\frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) (- 12, 2 m)]}}{2 [\frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}})]}

Тъй като има знак плюс/минус, получаваме два отговора за времето

t

: един, като използваме знака

+

, и един, като използваме знака

-

. Така получаваме следните два момента време:

t = 0,869 s

t = 2, 86 s

Има две положителни решения, тъй като има два момента, в които моливът е на височина 12,2 m. По-ранният момент се отнася до времето, необходимо да се изкачи нагоре и първо да достигне отместване 12,2 m. По-късният момент се отнася до времето, необходимо за придвижване нагоре, преминаване на височината 12,2 m, достигане на максимална височина и след това спускане надолу до точката с височина 12,2 m.

Така че, за да отговорим на въпроса „Колко време отнема на молива да достигне за пръв път височина, с 12,2 метра по-висока от мястото, от което е хвърлен?“ ще изберем по-ранния момент от време

t = 0,869 s

[А какво става, когато получим отрицателно решение на квадратното уравнение?]

Пример 4: Четвърта кинематична формула, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍

Европейски мотоциклетист започва със скорост с големина 23,4 m/s, но като вижда задръстване пред себе си, забавя, като изминава следващите 50,2 m с постоянно ускорение с големина

3, 20 \frac{m}{s^{2}}

. Приеми, че мотоциклетистът се движи напред през цялото време.

Каква е новата скорост на мотоциклетиста след забавянето за 50,2 m?

Като приемем, че посоката на началната скорост на движение е положителна, известните ни променливи са:

v_{0} = 23, 4 m/s

(Началната скорост на мотоциклетиста)

a = - 3, 20 \frac{m}{s^{2}}

(Ускорението е отрицателно, защото мотоциклетистът забавя, а приехме, че посоката му на движение е напред.)

Δ x = 50, 2 m

(Искаме да знаем скоростта на мотоциклетиста след преместването.)

Тъй като не знаем времето

t

и от нас не се иска да намерим времето, ще използваме четвъртата кинематична формула за хоризонтално направление

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x

, в която

t

не фигурира.

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x (Започваме с четвъртата кинематична формула.)

v_{x} = \pm \sqrt{v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x} (Решаваме уравнението за крайната скорост.)

Имай предвид, че като вземеш квадратен корен, получаваш два възможни отговора: положителен и отрицателен. Тъй като нашият мотоциклетист ще продължава да се движи в посоката на движението, в която е започнал, и ние предположихме, че тази посока е положителната, ще изберем положителния отговор

v_{x} = + \sqrt{v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x}

Сега заместваме със стойностите и получаваме:

v_{x} = \sqrt{(23, 4 m/s)^{2} + 2 (- 3, 20 \frac{m}{s^{2}}) (50, 2 m)} (Заместваме с известните стойности.)

v_{x} = 15, 0 m/s (Изчисляваме и отпразнуваме!)

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Физика – 8. клас (България)

Курс: Физика – 8. клас (България) > Раздел 1

Кои са уравненията на кинематиката?

Какво е свободно падащ обект?

Как избираш и използваш кинематична формула?

Как се извежда първата кинематична формула, v=v0+at‍ ?

Как се извежда втората формула на кинематиката, Δx=(v+v02)t‍ ?

Как се извежда третата кинематична формула, Δx=v0t+12at2‍ ?

Как се извежда четвъртата кинематична формула, v2=v02+2aΔx‍ ?

Кое е объркващото при кинематичните формули?

Как изглеждат решени примери с кинематичните формули?

Пример 1: Първа кинематична формула, v=v0+at‍

Пример 2: Втора кинематична формула, Δx=(v+v02)t‍

Пример 3: Трета кинематична формула, Δx=v0t+12at2‍

Пример 4: Четвърта кинематична формула, v2=v02+2aΔx‍

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Как се извежда първата кинематична формула, $v = v_{0} + a t$ ‍ ?

Как се извежда втората формула на кинематиката, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍?

Как се извежда третата кинематична формула, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍?

Как се извежда четвъртата кинематична формула, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍?

Пример 1: Първа кинематична формула, $v = v_{0} + a t$ ‍

Пример 2: Втора кинематична формула, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍

Пример 3: Трета кинематична формула, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍

Пример 4: Четвърта кинематична формула, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍