Извеждане на 3 уравнения на движението (от графиката на скоростта към времето)

Представи си, че самолет ускорява по тази писта. Да кажем, че когато самолетът е някъде тук, пускаме таймера, като той има някаква скорост. Замъглих това, за да покажа, че се движи. Не е в покой. Да кажем, че скоростта в тази точка е u. Въпросът, на който искам да опитаме да отговорим в това видео, е след някакво време, да кажем t, къде ще е самолетът и каква ще е неговата нова скорост. Имам предвид, че ако изчакаме някакво време t, можем да предположим, че самолетът ще е някъде тук, но ще е малко по-бърз, понеже ускорява. Той постоянно увеличава скоростта си. Въпросът е каква е скоростта в тази точка и колко надалеч е отишъл. И понеже такива въпроси са доста чести, нека съставим уравнения за изчисляване на тези неща. Един от начините да ги изчислим и да съставим уравнения е като начертаем графика на скоростта и времето. Погледни тази графика. Тя ни показва същата история. Когато включим таймера – това е когато времето е нула – скоростта на самолета е u. След някакво време t новата скорост на самолета е v. Тук е много важно да отбележим, че понеже графиката е права линия, това означава, че ускорението на самолета е постоянно. Но какво означава това? Това просто означава, че приемаш, че скоростта на самолета се увеличава с едно и също количество всяка секунда. Например, ако в началото ето тук скоростта му е 20, следващата секунда става 25, после следващата секунда трябва да стане 30. Увеличава се равномерно с пет. Следващата секунда трябва да стане 35. Винаги трябва да е увеличи с по пет. Това имаме предвид под равномерно (постоянно) ускорение. Ще продължим и ще съставим уравнения за скоростта и преместването при равномерно ускорение. Нека направим това. Добре. Да започнем с v. За да изчислим това, трябва да си спомним определението за ускорение. Спомни си, че ускорението е промяната на скоростта, делено на времето. То е мярка колко бързо се променя скоростта. В нашия случай каква е промяната на скоростта? Крайната скорост е v, началната скорост е u, така че промяната е v – u. v – u и делим на времето, което е нужно за тази промяна на скоростта. От тук до тук времето е t. Тъй като искаме да изчислим v, просто трябва да преработим това уравнение и да направим малко изчисления. Страхотна идея е да спреш видеото и да видиш дали можеш да направиш това самостоятелно. Добре. Ако направи това пренареждане и ако направи тези изчисления, тогава ще получиш v = u + at. Като използваме това равенство, можем да изчислим колко е v, крайната скорост. Нека ти кажа какво правят в учебниците. В учебниците извеждат това от графиката. Това правят. Ако погледнеш графиката, дължината тук е същата като тази дължина, която е v, а тази дължина е u. Можем да запишем, че u е от тази страна. На графиката – виж, v трябва да е u плюс още нещо тук. Но какво е това нещо? После те използват това равенство и казват, че v = u + at. Тоест v трябва да е u плюс това нещо, което трябва да е at в уравнението. Тоест тази дължина трябва да е at и v трябва да е (u + at). Това е едно и също. Важното е, че това не е ново уравнение. Това е просто преобразуване на определението. Дори ако забравиш формулата, не е проблем, стига да помниш какво е ускорението. Добре, да съставим следващото. Ще съставим уравнение за преместването. Не мога ли да използвам, че преместването е равно на скоростта по времето? Не. Не мога, понеже това ни върши работа само тогава, когато скоростта е постоянна. В нашия пример скоростта постоянно се променя. Тогава с какво ще заместиш за скоростта? Тогава какво да правим? В предишно видео сме виждали, че когато се умножи скоростта по времето, това графично представлява площта. На тази графика на скоростта и времето площта под графиката ни дава преместването. Просто трябва да изчислим тази площ. Ако ти трябва повече яснота защо това е така, говорихме за това в предишни видеа. Винаги можеш да се върнеш назад и да ги гледаш отново. Но, както и да е, за да изчислим преместването, просто трябва да пресметнем колко е тази площ. Не ми трябва тази диаграма повече. Ще я махна и ще направя още място. Добре. Второто извеждане е за преместването S, което е площта под тази графика. Как изчисляваме тази площ? Ако погледнеш графиката внимателно, можеш да видиш две фигури – един правоъгълник и един триъгълник. Можем да кажем, че площта е равна на площта на правоъгълника плюс площта на този триъгълник. Отново, това е добър момент да спреш видеото и да видиш дали можеш да го направиш самостоятелно. Моля, опитай това, понеже със сигурност знаеш как да изчислиш площите на тези две фигури. Давай, опитай. Добре. Площта на правоъгълника е равна на дължината по височината, значи u по t. Това ще е u по t, плюс... как намираме площ на триъгълник? Това е 1/2 по основата, по височината. 1/2 по основата – основата е t, по височината на този триъгълник, която е a по t. Това ще е a по t. И това ни дава a по t^2. Уравнението ни става S = u по t + (1/2 по a, по t^2). Две формули са готови, остава още едно уравнение. Първо може да се чудиш защо ни трябва трето уравнение. Търсим v и S и ги получихме, нали? Точно така. Всъщност просто ни трябват тези две уравнения. Но ако погледнеш добре, можеш да видиш, че и двете уравнения зависят от времето. Понякога в задачите времето няма да ни е дадено. Поради тази причина, за да направим изчисленията малко по-бързо, е добра идея да съставим и трето уравнение, в което не участва времето. Така че това ще е чисто математическо преобразуване, няма повече физика. Приключихме с физиката. Просто ще използваме тези две уравнения и ще елиминираме времето в тях. Окей? Можем да изразим колко е t от уравнение за скоростта v, (показва на екрана горе вдясно) да го заместим в уравнението за пътя s и да видим какво ще получим. Ако директно направиш това, процесът може да е малко по-дълъг, понеже тук има t, а тук има t^2, така че това може да получим дълъг израз. За да го направим по-кратко, знаеш ли какво ще направя? Ще преизчисля площта на това. Този път ще я изчисля като площта на цялото това нещо. Ще го изчисля като площта на трапец. Ще видиш защо. Помниш ли как намираме площта на трапеца? Изчисляваме площта на трапеца, по принцип, като половината от основата по сбора на двете успоредни височини. Да направим това. Да видим какво ще получим. И ще видиш защо го правя така. Това ще е половината от основата, която е времето, t, по сбора от двете успоредни височини. Това са двете успоредни височини. Това ще е u + v. u + v. Сега погледни това уравнение. Това уравнение има само t. Това е много хубаво уравнение, в което да заместим стойността на t. Това е единствената причина да използвам това уравнение, а не това. Нека открием колко е t от тук и да заместим в това. Ако дойдеш тук, на колко е равно t? Ако погледнеш внимателно, t ще е, отново, ако просто направиш малко изчисления ще видиш, че t = (v – u), делено на а. Можеш ли да видиш това? Отново, ако ти трябва малко време, просто спри видеото и се увери в това. Това ще е (v – u), делено на а. Сега просто трябва да вземеш този израз за времето и да го заместиш тук. Отново, това е един от тези моменти, в които можеш да спреш видеото и да видиш дали можеш да направиш това самостоятелно, да видиш какво уравнение ще получиш. Добре, да направим това заедно. Нека преместя това нагоре, понеже вече не ни трябва нищо от това. Просто ни трябва това. Ако заместим, ще получим, че S е половината от времето. Времето е (v – u), делено на а, u + v. Като опростим това, да видим какво ще получим. Получаваме 1/2 по – погледни числителя. Имаме (v – u), по (v + u). Това е v^2 – u^2. В знаменателя просто имам а. Отново, ако направим някои изчисления и пренаредим това, получаваме, че v^2 – u^2 е равно на 2 по a, по S. Получаваме 2 по a, по S. Това е третото ни уравнение. Както можеш да видиш, то е независимо от времето. Ето ги, всички три уравнения на едно място. Знам, че изглежда малко претрупано, извинявай. Но преди да приключим, да видим дали тези уравнения ни изглеждат логични. Един от начините да направим това е да проверим какво се случва, ако поставим а да е равно на нула. Помисли. Ако а е нула, това означава, че няма ускорение. Това означава, че тялото ни се движи с постоянна скорост. Да видим какво се случва с тези уравнения и да помислим дали това ни изглежда логично. В първото уравнение, ако поставиш а да е равно на нула, целият този член изчезва и това ни дава, че v = u. Логично ли е това? Ами да. Понеже ако ускорението е нула бихме очаквали скоростта да е константа. Това означава, че без значение в кой момент проверяваш, крайната скорост трябва винаги да е същата като началната скорост. Така че това уравнение е логично. Подобно, ако поставиш а = 0 във второто уравнение, този член изчезва а получаваме, че S е равно на u по t. Ако погледнем внимателно, сега се връщаме към това. Преместването е равно на скоростта по времето. Логично е, нали? Понеже няма ускорение, това уравнение се връща обратно към старото уравнение, което използвахме при равномерното движение. Перфектно. По същия начин, ако поставиш а = 0 в третото уравнение, отново получаваш, че v = u, което вече обсъдихме. Вместо да увеличават скоростта си, ако обектите намаляваха скоростта си, дори тогава тези уравнения биха работили. В този случай просто трябва да поставим отрицателна стойност за ускорението и тези уравнения ще свършат работа. Да обобщим, как извеждаме тези уравнения? Първото уравнение е за v и това се прави чрез пренареждане на определението за ускорение. Това не е ново уравнение. Второто уравнение е за преместването S и това се изчислява като площта под графиката. Това е просто площта на правоъгълника плюс площта на триъгълника. Две уравнения всъщност са достатъчни, но изградихме трето уравнение, което е независимо от времето. За да направим това, взимаме t от тук и го заместваме тук. За да минимизираме броя стъпки, преизчислих преместването като площта на трапец, така че да имаме само едно t, и после заместих. Но дори ако заместиш директно тук, получаваш същия отговор. Просто ще имаш две или три допълнителни стъпки. Още нещо, което почти забравих. Тези уравнения работят само при постоянно ускорение. Ако ускорението се променя, тези уравнения няма да работят. Сега сме готови.