Решен пример със свободно падане на 2 тела

Да решим задача с две тела, които падат свободно. Ето я. Камък е пуснат от височина 100 метра. В същото време друг камък е хвърлен нагоре с 50 метра в секунда от дъното. Открий кога и къде се срещат двата камъка. Да видим какво ни е дадено да опитаме да направим чертеж. Камък е пуснат от височина 100 метра. Има един камък, който е пуснат от 100 метра. И в същото време друг е хвърлен нагоре със скорост 50 метра в секунда от дъното. от дъното. Трябва да намерим кога и къде се срещат двата камъка. Ако един камък пада надолу, а друг е хвърлен нагоре, те могат да се срещнат някъде. Може би този камък пада надолу тук и в същото време може би този идва до тук и може би се срещат тук, ще се ударят един друг в някакъв момент. Трябва да определим кога, което означава, че трябва да пресметнем колко време изминава след като ги хвърлим и пуснем. Трябва да изчислим времето. Също трябва да определим къде точно се срещат, коя е тази точка. Може би трябва да изчислим височината. Или можем да изчислим това разстояние отдолу или отгоре – и двете вършат работа. Да кажем, че ще изчислим височината. Трябва да изчислим две неща. Как правим това? Знаем, че когато телата падат, имат постоянно ускорение. И, като резултат, те трябва да се подчиняват на три уравнения за движение. Може би можем да използваме тези уравнения за двата камъка и да видим дали можем да изчислим h и t от тях. Добре, да направим това. Да наречем този камък номер едно. Това е камък номер две. Да ги разделим, понеже ще имаме две уравнения за двата камъка. Да започнем с камък номер едно. Ето го камък едно. Да видим какви данни са ни дадени, какво знаем за този камък? Знаем, че бива пуснат. Когато пускаш едно тяло, това означава, че то има начална скорост нула, така че знаем, че u е нула. Знаем ускорението, ускорението е +10 метра в секунда на квадрат. Знакът му е "+", понеже камъкът, докато пада надолу, увеличава скоростта си и затова ускорението е положително. Ако скоростта намаляваше, ускорението щеше да е отрицателно. Добре, t е нещо, което не знаем, така че просто ще го наречем t. Трябва да изчислим това. Какво друго? Ами преместването? Да означим точката, в която двата камъка се срещат, като h. Тази височина е h. Сега камъкът е на височина 100 метра. В момент t, когато се срещнат, колко ще е преместването на този камък от тук до тук? Колко ще е това разстояние? То ще е 100 - h. Можем да запишем преместването като 100 метра минус h. Какво друго? Ами крайната скорост? Нямаме информация колко е крайната скорост. Не ни интересува. Да забравим за крайната скорост. Имаме тези четири неща. Въпросът е кое уравнение можем да използваме, за да свържем тези четири неща. Защо не опиташ самостоятелно? Можеш ли да спреш видеото и да видиш кое уравнение, кое от тези три уравнения ще използваш, за да свържеш четирите величини? Давай, опитай. Добре, да видим. Не бихме използвали първото уравнение, понеже в него има V, но ние не го знаем. Не бихме използвали третото уравнение, поради същата причина – в него има V. Това означава, че остава едно уравнение – нека изрежа тези уравнения. Имаме едно уравнение – s = ut + (1/2)at^2. Нека директно да заместя в това уравнение и да видим какво получаваме. Ако заместим S, това е 100 метра минус h, това е равно на ut, u е нула. Този член става нула. Плюс 1/2а, а е 10 метра в секунда на квадрат, по t^2. Като опростим това, получаваме 100 метра минус h, равно на – 1/2 по 10, което е 5, така че получаваме пет метра в секунда на квадрат. Опа, тук нямаме квадрат. По t^2. Не можем повече да опростим уравнението, понеже има две неща, които не знаем. Не знаем h, не знаем t, не можем да решим това. Ще оставим това уравнение дотук. Какво друго правим? Как изчисляваме h и t? Имаме втори камък и можем да направим второ уравнение, което може би ще ни помогне. Отново, чудесна идея ще е да спреш видеото и да видиш дали можеш да напишеш началните данни и да съставиш самостоятелно уравнение за втория камък. Давай, опитай. Отново, за камък две – да напишем началната информация. Каква е началната скорост? Не е нула, защото той е хвърлен нагоре със скорост 50 метра в секунда. Ами ускорението? Тъй като е хвърлен нагоре, той се забавя, докато се движи нагоре. И понеже забавя, скоростта му намалява, така че ускорението е -10 метра в секунда на квадрат. Какво друго? Ами преместването? Тъй като камъкът се премества от тук до тук, това разстояние просто ще е h. Времето е... да го означим с t. Отново, не ни интересува крайната скорост. Не търсим нея. Кое уравнение ще използваме, за да ги свържем? Ами, същото уравнение, поради същата причина. Не търсим скоростите. Ако заместим, ще получим S, което в нашия пример, в нашия случай, h е равно на ut, това ще е 50 метра в секунда по t, плюс (1/2)а по t^2. Като опростим това, отново, имаш -10 делено на 2, това ще ни даде -5, така че нека набързо запиша това. Ще получим, че h е равно на 50t минус 5t^2. Отново получаваме уравнение с две неизвестни и не можем да го решим. Но сега имаме две уравнения с две неизвестни. Може би вече знаеш, че в математиката, когато имаме две уравнения с две неизвестни, можем да ги решим. Как решаваме такива неща? Можем да изразим едната променлива чрез другата. Например, може би от това уравнение можем да изразим t и да заместим в другото уравнение. Или може би можем да изразим h от едното уравнение и да заместим в другото. Знаеш ли какво, тъй като вече знам колко е h тук, нека заместя тази стойност в това уравнение и да видим какво ще получим. Добре, нека запиша това уравнение. Ако запиша това уравнение, ще получа 100 метра минус h, което ще заместя от това уравнение. Просто ще копирам тази част и ще я поставя тук. Това е моето h, така че ще поставя това в скоби. Добре, това трябва да е равно на пет, пет метра в секунда на квадрат, по t^2. И сега, гледай, имаме само една променлива, само t. Като решим това уравнение, можем да изчислим колко е t. След като изчислим колко е t, можем да използваме тези уравнения и да изчислим h. Отново, супер ще е да спреш видеото да видиш дали можеш да направиш тази част самостоятелно. Това е чиста математика, физиката свърши. Добре, да направим това. Ще превъртя надолу, понеже не ми трябват тези неща. Ако опростим допълнително, ще разкрием тези скоби, тук ще получим "-". Това ще е "+", понеже "-" по "-" е "+". Отново, ако набързо запиша това, получавам същото нещо, получавам "+" тук и всичко друго остава същото. И сега, гледай, имаме 5t^2 тук и имаме 5t^2 тук. Това просто се съкращава, можеш да извадиш 5t^2 от двете страни. И сме късметлии, понеже t^2 се съкращава. Иначе щеше да е квадратно уравнение, щеше да има повече стъпки. Но сега, понеже t^2 го няма, това означава, че ни остава 100 метра минус 50 по t, равно на нула. Равно е на нула. Сега можем да го решим в няколко стъпки. Ако добавя 50t към двете страни ще получа, че 100 метра е равно на 50 метра в секунда по t. Ако разделим на 50 метра в секунда от двете страни, тогава получаваме колко е t. Нулата се съкращава, пет се съдържа два пъти, метрите се съкращават и получаваме две секунди от тази страна. Изчислихме колко е t, t е равно на две секунди. Това означава, че две секунди след пускането и хвърлянето на този камък, те ще се срещнат. Преди да се върнем обратно, нека изчислим колко е h. Как правим това? Сега, когато знаем колко е t, можем да заместим във всяко от тези уравнения и със сигурност можеш да го направиш, просто заместваш t с две във всяко от уравненията и можеш да изчислиш h. Като направиш това, което ще оставя на теб, за да спестя време, като направиш това ще получиш, че h е равно на 80 метра. Сега ще намаля размера, за да виждаме всичко в един кадър. Да, ето. Когато имаме две тела, които падат свободно, и искат от нас да изчислим къде и как се срещат, как правим това? Съставяме уравнения и за двата, като използваме уравненията за движението, а после решаваме двете уравнения, за да изчислим височината и времето.