Пример със закона за всеобщото привличане

Знаем, че всяко тяло в тази Вселена привлича всяко друго тяло поради масата си и наричаме тази сила гравитация. За този пример Слънцето и Земята се привличат взаимно поради тази сила на гравитация. В това видео искаме да проучим как ще се промени тази сила, ако се променят разстоянията или масите на телата. Какво ще се случи с тази сила, ако Земята е на два пъти по-голямо разстояние? Или какво ще се случи, ако масата на Слънцето се удвои? Или ако масата на Земята се утрои? Как ще се промени тази сила? Това ще проучим в това видео. Преди да започнем, да кажем, че вече сме виждали как се изчислява тази сила на гравитацията между всеки две тела. Тя ни е дадена от универсалния закон. Той изглежда ето така. F е силата на гравитацията, G е универсалната константа. Тя е много, много малко число, 6,67*10^(-11). m1 и m2 са масите на двете тела. В нашия пример нека m1 да е масата на Слънцето, а m2 да е масата на Земята. С d ще означим разстоянието между центровете на двете тела – от центъра на Слънцето до центъра на Земята. Разбира се, тази диаграма не е в мащаб. Ако смяташ, че ти трябва повече яснота за това, говорихме за него в предишно видео, озаглавено "Въведение в гравитацията", така че можеш да се върнеш и да го гледаш, а после да дойдеш отново тук. Добре, да видим какво се случва със силата на гравитацията, когато променим тези стойности. Първо, да кажем, че разстоянието между тях се удвои. Какво се случва с тази сила? Ако разстоянието между тях се удвои, тогава Земята ще е два пъти по-надалеч от Слънцето от преди, което означава, че това разстояние сега ще е 2d, понеже преди беше d – удвоява се, което означава, че става 2d. Какво се случва с тази сила? На какво е равна тази сила? Как изчисляваме тази сила? Нека я наречем F'. Това е нова сила, нали? Нека я наречем F'. Можем да използваме универсалния закон. Можем да кажем, че F' ще е равна на G по m1, по m2, защото масите не са променени. Масите им пак са същите. Само разстоянието се е променило. Така че това пак ще е m1 по m2, делено на – новото разстояние между тях е 2d. Така че това ще е 2d, цялото на квадрат. Разбираш ли това? Понеже универсалният закон казва, че ще делиш на разстоянието на квадрат. Така че новото разстояние е 2d, така че цялото 2d на квадрат. Ако опростим това, получаваме G по m1, по m2 делено на – 2^2 е 4 и d^2. Добре. Сега искам да знам какво се случва със силата на гравитацията. Удвоила ли се е? Наполовина ли е? Какво се е случило с нея? Което означава, че трябва да сравня F' и F. Един от начините да направим това е просто да разделим F' и F, това е един начин, но друг начин е да погледнеш това уравнение тук за F'. Това е F' и можем да кажем: "Виж тази част. G по m1 по m2, делено на d^2 е равно на F". Това е началната ни сила, нали? Това е просто F''. Което означава, че от това можем да кажем, че F' е станала една четвърт от F. И това е отговорът ни. Когато разстоянието се удвои, силата става една четвърт, намалява четири пъти. Това е логично. Колкото по-надалеч отиваш, когато разстоянието се увеличава, силата на гравитацията намалява, но когато разстоянието се удвои, силата не става наполовина, а става една четвърт. И познай какво... С практиката ще можеш да решаваш такива задачи директно наум, без да трябва да записваш никакви стъпки. Нека ти покажа как би изглеждало това. Ако не искаме да записваме никакви стъпки, можем да кажем, че единствената част, която се е променила, е че разстоянието се е удвоило. Да се върнем до първоначалната формула и да кажем, че вместо d имаме 2d, цялото това нещо е на квадрат. Поради квадрата това 2^2 дава 4. Това 4 идва в знаменателя. В резултат на това началната сила делим на четири. Така силата става една четвърт. Окей? Но, разбира се, в началото, когато го правиш, можеш да следваш стъпките, а с натрупване на практика ще можеш да правиш това и наум. Добре. Искаш ли да опиташ една задача? Какво смяташ, че ще се случи, ако разстоянието се утрои? Спри видеото и опитай. Добре. Ако разстоянието се утрои, това число ще е три и ще получим 3 по d^2. 3^2 е 9. Като резултат от това новата сила ще е една девета от началната сила. Това означава, че силата ще намалее и ще стане една девета. Отново, можем да сметнем това директно – можеш да видиш, че има три, корен квадратен от три и това ще стане девет в знаменателя, значи ще стане една девета от началната сила. Добре. Да опитаме отново. В този случай разстоянието между тях ще намалим наполовина и една от масите ще удвоим. Ще начертая това. Разстоянието между тях намалява наполовина, което означава, че се приближават и сега разстоянието става d/2. Една от масите се удвоява. Коя маса? Можем да приемем... Да кажем, че масата на Слънцето остава същата. Да приемем, че масата на Земята се удвоява. Сега масата на Земята става от 2 по m2. И, отново, трябва да открием какво се случва с тази сила. Колко става тази нова сила сега? Как ще се промени? Отново, можеш да спреш видеото и да опиташ самостоятелно. Давай. Опитай. Добре. Ще направим същото нещо като преди. Новата сила F' ще е g по масата на Слънцето, която остава m1, но масата на Земята сега е станала 2 по m2. Това е новата маса на Земята. И сега вместо m2 поставяш 2 по m2 и делиш на – разстоянието е станало d/2, цялото нещо на квадрат. Това е d/2, цялото на квадрат. Сега просто ще трябва да опростим това. Нека извадя това 2. Получаваш 2 по G по m1 по m2 делено на d/2, цялото на квадрат става d^2, делено на 4. Нека внимавам, понеже има дроб в знаменателя. Тук искам да ти припомня, че деленето на нещо е същото нещо като умножаването по реципрочното му. Сега можем да кажем, че F' е 2 по G, по m1, по m2, по реципрочното на това, което е 4 върху d^2. Какво ни дава това? 2*4 е 8. И получавам 8 по G, по m1, по m2, върху d^2. И, отново, можем да кажем, че G по m1, по m2, върху d^2 е равно на началната сила F. И, като резултат, забележи, новата ни сила става осем пъти по F. Увеличила се е осем пъти. Логично е, нали. Доближили са се и масата се е удвоила. Така че бихме очаквали силата много да се увеличи. И, отново, ако правехме това наум, това, което бихме направили – нека просто затъмня това. Това, което ще направим, е да кажем, че масата се е удвоила и, като резултат, има 2 в знаменателя и разстоянието е станало наполовина. Няма да има 1/2 в знаменателя, понеже тази 1/2 трябва да бъде на квадрат, d^2. Тази 1/2^2 става 1/4 в знаменателя. Това направихме със стъпките. 2 делено на 1/4 дава 8. Така сега силата става осем пъти по-голяма от преди. Добре, последно, за упражнение. Ето една голяма задача. Разстоянието между тях се учетворява, едната маса се удвоява, другата маса се учетворява – тоест, става четири пъти по-голяма. Отново, постави видеото на пауза и опитай това самостоятелно. Направи чертеж и виж какво се случва. Добре. Ето как ще изглежда чертежът. Разстоянието между тях трябва да стане 40, понеже се учетворява, т.е. нараства четири пъти. Да приемем, че масата на Слънцето се е удвоила и да кажем, че масата на Земята се е учетворила. Няма значение кое с колко ще увеличим, дори ако Слънцето стане четири пъти повече, а Земята стане два пъти повече, отговорът пак ще остане същия. Добре. Сега със сигурност можеш да направиш стъпките изцяло самостоятелно. Аз директно ще го сметна. Бих погледнал това уравнение и бих казал, че m1 се е удвоило и поради това има 2 в числителя. m2 е станало четири пъти повече, така че имаме още една четворка, която бива умножена в числителя, делено на – какво се случва с d? d сега е четири пъти повече – но няма да е четири, понеже d трябва да е на квадрат, така че това е 4^2, което дава 16. Добре? 4*2 е 8. Осем се съдържа един път, осем се съдържа два пъти, това означава, че има само 2 в знаменателя, така че силата става 1/2. Това е отговорът ни. Силата става 1/2 от първоначалната. Ако искаш да откриеш как се променя силата на гравитацията, когато масите или разстоянията се променят, тогава преначертаваме, пренаписваме новата сила и заместваме новите стойности. След като получим това, сравняваме това ново уравнение със старото и виждаме каква връзка можем да получим между новата сила и старата сила.