Резисторни мрежи триъгълник-звезда

Понякога опростяването на мрежа от резистори не се получава. Някои мрежи от резистори не могат да се опростят само с използването на успоредно и паралелно свързване. В такива случаи често е полезна т.нар. $\Delta - \text Y$delta, minus, start text, Y, end text трансформация, наричана още трансформация "триъгълник-звезда".

$\Delta$delta и $\text Y$start text, Y, end text се използват заради формата на символите като триъгълник и звезда. Тази трансформация позволява замяната на три резистора в конфигурация триъгълник или делта с три резистора в конфигурация звезда или $\text Y$start text, Y, end text и обратно.

Стилът на чертане с $\Delta - \text Y$delta, minus, start text, Y, end text акцентира на това, че конфигурацията има извода. Но забележи различният брой възли в двете конфигурации. $\Delta$delta има три възела, докато $\text Y$start text, Y, end text има четири възела (един повече в центъра).

Конфигурациите могат да се начертаят различно, като резисторите са под пръв ъгъл помежду си. Тогава се нарича $\pi - \text T$pi, minus, start text, T, end text конфигурация,

$\pi - \text T$pi, minus, start text, T, end text изобразяването е по-често използвано в обичайните електрически схеми. Формулите за трансформация, които извеждаме след малко, се отнасят и за to $\pi - \text T$pi, minus, start text, T, end text също.

За да имаме еквивалентна трансформация, съпротивлението между всяка двойка изводи трябва да е еднакво преди и след трансформацията. Може да напишем три различни равенства, за да удовлетворим това изискване.

Да разгледаме изводите $x$x и $y$y (и за момент ще приемем, че изводът $z$z не е свързан с нищо, така че токът през $\text R3$start text, R, end text, 3 е $0$0 ). В $\Delta$delta конфигурация съпротивлението между $x$x и $y$y е $Rc$R, c, успоредно на $Ra +Rb$R, a, plus, R, b .

От страната на $\text Y$start text, Y, end text съпротивлението между $x$x и $y$y е последователна комбинация $R1+R2$R, 1, plus, R, 2 (отново приемаме, че $z$z не е свързано с нищо, така че $\text R1$start text, R, end text, 1 и $\text R2$start text, R, end text, 2 имат еднакъв ток и може да се приемат за последователно свързани). Приравняваме тези двете, за да получим първото от три уравнения:

Можем да запишем още две подобни равенства за другите две двойки изводи. Обърни внимание, че $\Delta$delta резисторите означаваме с букви, $(Ra$left parenthesis, R, a и т.н.$)$right parenthesis, а $\text Y$start text, Y, end text резисторите обозначаваме с цифри, $(R1$left parenthesis, R, 1 и т.н.$)$right parenthesis.

След като решим системата от уравнения (не е показано), получаваме уравненията за преобразуване на едната мрежа в другата.

Формули за трансформиране на $\Delta$delta в $\text Y$start text, Y, end text мрежа:

Преходът от $\Delta$delta към $\text Y$start text, Y, end text означава един допълнителен възел.

Формули за трансформиране на $\text Y$start text, Y, end text в $\Delta$delta мрежа:

Преходът от $\text Y$start text, Y, end text към $\Delta$delta означава един възел по-малко.

Да разгледаме един симетричен пример. Да предположим, че имаме верига $\Delta$delta с $3\,\Omega$3, \Omega резистори. Намери $\text Y$start text, Y, end text еквивалента, като използваш формулите за преход $\Delta \rightarrow \text Y$delta, right arrow, start text, Y, end text.

Преходът в другата посока, от $\text Y \rightarrow\Delta$start text, Y, end text, right arrow, delta, изглежда така:

Сега да видим един пример, който не е толкова очевиден. Трябва да намерим еквивалентното съпротивление на горния и на долния извод.

Колко и да търсим, няма последователно или успоредно свързани резистори. Но има изход. Първо ще начертаем схемата отново, като покажем, че имаме две $\Delta$delta конфигурации, които са една над друга.

Сега избираме едната триъгълна конфигураци $\Delta$delta, която ще превърнем в звезда $\text Y$start text, Y, end text. Ще направим преход $\Delta \rightarrow \text Y$delta, right arrow, start text, Y, end text и ще видим дали това е няма да отвори и други възможности за опростяване.

Да започнем от долния триъгълник $\Delta$delta (изборът е произволен). Много внимателно означаваме резисторите и възлите. За да получим верните отговори на равенствата от прехода, е много важно да именуваме правилно резисторите и възлите. $Rc$R, c трябва да е между възлите $x$x и $y$y, и така нататък за следващите резистори. Виж Диаграма 1 по-горе за приетия начин на означаване.

Когато трансформираме долния триъгълник $\Delta$delta, черните резистори $\Delta$delta заменяме с нови сиви $\text Y$start text, Y, end text резистори, ето така:

Направи трансформацията самостоятелно, преди да видиш резултата. Увери се, че си избрал правилната комбинация от формули.
Изчисли трите нови стойности на съпротивленията на резисторите, за да преобразуваш $\Delta$delta в $\text Y$start text, Y, end text, и начертай пълната верига.

Готово! Провери веригата. Сега се състои от последователно и успоредно свързани резистори, каквито нямаше преди. Сега продължи да опростяваш комбинациите от успоредни и последователни резистори, докато получиш само един резистор между изводите. Пречертай схемата, за да преобразуваш символите във вече познатия стил.

Продължаваме със следващите стъпки за опростяване точно както направихме това в предишната статия за Опростяване на резисторни мрежи.

За лявото разклонение $3{,}125 + 1{,}25 = 4{,}375 \,\Omega$3, comma, 125, plus, 1, comma, 25, equals, 4, comma, 375, \Omega

За дясното разклонение $4 + 1 = 5\,\Omega$4, plus, 1, equals, 5, \Omega

Двата успоредни резистора общо са $4{,}375\,||\, 5 = \dfrac{4{,}375 \cdot 5}{4{,}375 + 5} = 2{,}33\,\Omega$4, comma, 375, vertical bar, vertical bar, 5, equals, start fraction, 4, comma, 375, dot, 5, divided by, 4, comma, 375, plus, 5, end fraction, equals, 2, comma, 33, \Omega

И накрая събираме двата последователни резистора:

$\Delta - \text Y$delta, minus, start text, Y, end text трансформациите са още един начин за опростяване на вериги преди подробния им анализ.

Не е необходимо да запаметяваш формулите за трансформацията.Ако ти потрябват, можеш да ги намериш.