Преговор по физика: вълни и хармонично трептене

Законът на Хук ти казва как да намериш силата, приложена от една идеална, или линейна, пружина. И той е прост закон. Той ти казва, че силата, която пружината ще приложи, е пропорционална на това с колко, пружината е била разтеглена или притисната от равновесието си състояние, или естествената си дължина. Което, като уравнение, просто ни казва, че големината на силата на пружината ще е равна на константата на пружината умножена по разстоянието, на което пружината е била разтеглена или притисната. Забележи, че това х не е дължината на пружината. х е колко е била разтеглена или свита тази пружина от позицията си на равновесие, или нормалната позиция. Как ще изглежда една примерна задача със закона на Хук? Да кажем, че една идеална пружина виси от тавана в покой и има неразтегната дължина L1. А после окачаш маса М на пружината в покой и тя разтяга пружината до дължина L2. Какъв е изразът за константата на пружината за тази пружина? Силата на гравитацията трябва да бъде балансирана от силата на пружината. Това означава, че големината на силата на пружината е равна на големината на силата на гравитацията. Силата на пружината винаги е k*х. Какво ще представлява х? То няма да е L1 или L2. х ще е колко пружината е била разтеглена от позицията си на равновесие, което е L2 - L1. И ако търсим k, получаваме mg върху L2 - L1. Какво е прост хармоничен осцилатор? Прост хармоничен осцилатор е всяка променлива, чиято промяна може да бъде описана от функцията синус или косинус. Как изглежда тази функция? Изглежда ето така. Променливата, която се променя, като функция на времето, което може да е вертикалната позиция, на една маса на пружина, ъгълът на едно махало, или всякакъв друг прост хармоничен осцилатор, ще е равна на амплитудата на движението, което е максималното преместване от равновесие, умножено или по синус, или по косинус от 2 пи, по честотата на движението по променливата t. Което, тъй като честотата е едно върху периода, можеш да запишеш като 2 пи върху периода по променливата за времето t. Как разбираш дали да използваш синус или косинус? Синусът започва при 0 и отива нагоре. А косинусът започва при максимум и отива надолу. Ако знаеш поведението на осцилатора си при t = 0, можеш да решиш дали да използваш синус или косинус. Нещо, което е важно да знаеш, е как да намериш периода на един осцилатор. Периодът на една маса на пружина ще е 2 пи по корен квадратен от масата, свързана с пружината, разделена на константата на пружината k. Забележи, че това не зависи от амплитудата. Ако разтеглиш тази маса по-надалеч, тя ще се движи по-бързо и трябва да измине повече разстояние, което се съкращава и периодът остава един и същ. И формулата за периода на едно махало, което е маса, люлееща се на нишка, ще е 2 пи по корен квадратен от дължината на нишката, разделена на големината на ускорението поради гравитацията. Което също не зависи от амплитудата, стига ъглите да са малки. И не зависи и от масата. Как можеш да определиш този период от графика? Ако ти дадат графиката на движението на прост хармоничен осцилатор като функция на времето, интервалът между върховете ще представлява периода, или времето, което е нужно на този осцилатор, за да се нулира. Как ще изглежда една примерна задача с просто хармонично движение? Да кажем, че в една лаборатория маса М на Земята може да бъде или окачена на нишка с дължина L и оставена да се люлее назад-напред на махало с период Т, или окачена на пружина с константа на пружината k и оставена да трепти нагоре-надолу на пружината с период Т. Ако се използва маса 2М, вместо масата 1М, какво ще се случи с периода на двете движения? Периодът на едно махало не зависи от масата. Периодът на махалото няма да се промени. Отговорът ще трябва да е D. Какво са вълните? Вълните са смущения, които се движат през една среда и прехвърлят енергия и импулс през значителни разстояния, без да пренасят никаква маса през тези разстояния. Какво означава среда? Това е просто дума за материала, през който може да се движи вълната. Можеш да класифицираш една вълна по средата, в която е тя. Но можеш да класифицираш вълните и по вида смущения, които създаваш. За напречни вълни смущението в средата е перпендикулярно на скоростта на вълната. Под скорост на вълната имаме предвид посоката, в която се движи смущението. И под смущение на средата имаме предвид посоката, в която се движат частиците на средата. За вълна на пружина частиците се движат нагоре-надолу, но смущението се движи надясно. Това е напречна вълна. При надлъжните вълни трептенето, или смущението, на средата е успоредно на скоростта на вълната. Класическа надлъжна вълна е звукът. Ако една звукова вълна се движи надясно през въздуха, това щеше да изглежда като компресирана област и самият въздух ще се движи напред-назад, надясно-наляво, успоредно на посоката, в която се движи смущението на вълната, което прави звуковите вълни надлъжни. За всеки вид вълна скоростта на това смущение на вълната ще е равно на дължината на тази вълна, разделена на периода. С други думи, ако гледаш един гребен на вълната, гребенът на вълната ще се придвижва с една дължина на вълната всеки период. И тъй като скоростта е разстоянието върху времето, скоростта на гребена на вълната ще е една дължина на вълна на период. Можеш намериш дължината на вълната на графика на у и х, като намериш разстоянието между гребените. И ако се чудиш защо това не представлява периода, то е понеже това е графика на вълната като функция от х, хоризонталната позиция, а не времето. Можеш да направиш графика на у и времето. И това ще представлява движението на единична точка на вълната за всеки моменти от времето. На тази графика спрямо времето интервалът между върховете е периодът. Ако ти е дадена графика на една вълна, трябва да провериш дали е спрямо х или спрямо t. Ако е спрямо х, дължината на вълната е връх до връх. А ако е спрямо t, връх до връх е периодът. И тъй като едно върху периода е равно на честотата, можем да преобразуваме тази формула на големината на скоростта като големината на скоростта на една вълна е равна на дължината на една вълна по честотата. И това на изпитния лист на изпита за напреднали ти е дадено като дължината на вълната е равна на големината на скоростта на вълната разделена на честотата. Но тази формула обърква доста хора, понеже те мислят, че ако увеличиш честотата, това ще увеличи големината на скоростта на вълната. Но това не е вярно. Увеличаването на честотата ще намали дължината на вълната, а скоростта на вълната ще остане постоянна. Единственият начин да промениш скоростта на вълната е да промениш свойствата на самата среда. С други думи, единственият начин да промениш скоростта на вълни във вода е да промениш нещо в самата вода – плътността ѝ, солеността ѝ, температурата ѝ. Промяната на честотата няма да промени скоростта на вълната. Нито пък промяната на амплитудата. Единственото нещо, което променя скоростта на вълната, са промени в самата среда. Как ще изглежда една примерна задача с вълни? Да кажем, че едно звуково лабораторно упражнение бива проведено в лаборатория с общ кубичен обем V и температура Т. Една тонколона в стаята е свързана с генератор на функции и свири нота с честота f и амплитуда А. Кое от следните ще промени скоростта на звуковите вълни? Увеличаването на честотата просто ще направи този звук по-висока нота. Но няма да промени скоростта на звуковата вълна. Увеличаването на температурата в стаята е промяна в самата среда, така че това ще промени скоростта на звука. Намаляването на амплитудата просто ще направи звука да изглежда по-мек и да не изглежда толкова силен. И намаляването на общия обем на пространството в лабораторията всъщност не засяга самата среда, а просто ти дава по-малко среда. Най-добрият отговор тук ще е В. Доплеровият ефект се отнася за промяната във възприетата честота, когато една тонколона или източник на вълна се движи спрямо наблюдателя. Ако източникът на вълна и наблюдателят се движат един към друг, дължината на вълната на звуковата вълна ще намалее според този наблюдател. Което ще направи възприетата честота да се увеличи. Това се случва, тъй като източникът се насочва към теб, докато тази вълна излъчва пулсации, тонколоната се движи към пулсацията, която тъкмо е излъчила, и на този водещ ръб гребените на вълната ще са по-приближени. Тъй като са по-приближени, дължината на вълната е по-малка. И скоростта, с която тези гребени ще достигнат наблюдателя, ще е по-голяма. Тоест този наблюдател ще чуе по-висока честота, отколкото всъщност създава източникът на вълната, когато е в покой. А за наблюдателя в задния край, тъй като източникът на вълната се отдалечава от пулсациите, които изпраща в тази посока, тези гребени на вълните ще са по-раздалечени, което увеличава дължината на вълната и намалява скоростта, с която тези гребени ще достигнат наблюдателя. Този наблюдател ще чуе честота, която е по-малка от реалната честота, излъчена от източника, когато е в покой. Как ще изглежда една примерна задача с Доплеровия ефект? Да кажем, че шофьорът на една кола вижда, че се насочва право към човек, стоящ неподвижно на пешеходната пътека. Шофьорът непрекъснато надува клаксона си и излъчва звук с честота f клаксон. Това е честотата, която клаксонът излъчва, когато колата е в покой. И шофьорът на колата също едновременно натиска спирачките и се хлъзга, докато спре точно пред човека, стоящ на пешеходната пътека. Какво ще чуе този човек на пешеходната пътека, докато колата се хлъзга, докато спре? Тъй като колата се движи към човека, тези гребени на вълните ще са по-приближени, така че човекът ще чуе по-малка дължина на вълната и по-висока честота. Но докато колата забавя, този ефект става по-слаб и по-слаб. И след като колата спре, гребените на вълната ще са разделени на нормалното си разстояние и този човек ще чуе нормалната честота на клаксона на колата. Първо този човек ще чуе по-висока честота, но това в крайна сметка просто ще се превърне в нормалната честота на клаксона, след като колата спре и вече няма движение на автомобила спрямо човека. Когато две вълни се припокрият в една и съща среда, наричаме това интерференция, или суперпозиция, на вълните. Когато тези вълни се припокриват, те ще се комбинират, за да образуват форма на вълната, която ще е сборът на двете вълни. С други думи, докато двете вълни се припокриват, за да намериш стойността на общата вълна, просто събираш стойностите на отделните вълни. Ако припокриваш две вълни, които изглеждат идентично, те ще се комбинират, за да образуват вълна, която е два пъти по-голяма. Наричаме това конструктивна интерференция. Ако припокриеш две вълни, които са дефазирани със 180 градуса, те ще се комбинират и няма да се образува никаква вълна. Наричаме това деструктивна интерференция. Въпреки че когато вълните се припокриват, събираш техните отделни стойности, за да получиш общата вълна, след като приключат да се припокриват, те ще преминат директно една през друга. Ако изпратиш единична вълна надолу по нишка към друга единична вълна, нишката ще бъде равна, но скоро след това единичните вълни ще продължат по пътя си незасегнати. Не отскачат един от друг, нито причиняват постоянно увреждане. Само докато се припокриват, получаваш интерференция на вълните. Как ще изглежда примерна задача с интерференция на вълните? Да кажем, че две единични вълни на една нишка се насочат една към друга, както се вижда на този чертеж отдясно, и искаме да знаем каква ще е формата на вълната, когато двете единични вълни се припокрият? За да намерим общата вълна, събираме стойностите на всяка отделна вълна. Синята ще се движи надясно, а червената ще се движи наляво. И ще съберем отделните стойности. 0 от червената вълна плюс -2 единици от синята вълна ще дадат сбор от -2 единици за общата вълна. И после +2 единици от червената вълна плюс -2 единици от синята вълна ще е равно на 0 единици за общата вълна. Отново, +2 единици от червената вълна плюс -2 единици от синята вълна дава за сбор 0 единици за общата вълна. А после 0 единици за червената вълна плюс -2 единици за синята вълна ще е равно на -2 единици за общата вълна. Общата ни вълна ще изглежда така. Тъй като тази пирамида просто си "отхапа" от тази синя правоъгълна вълна. Как решаваме задачи със стоящи вълни на нишки? За да получиш стояща вълна, трябва да имаш припокриващи се вълни, които се движат в противоположни посоки. Но дори ако имаш това, не е задължително да получиш стояща вълна. Само определени позволени дължини на вълните ще създадат стояща вълна в тази среда. И позволените дължини на вълните се определят от дължината на средата и границите на тази среда. С други думи, краищата на една нишка могат да са фиксирани или свободни. Ако краят на една нишка е фиксиран, той ще е възел на преместване. Възел е думата, която използваме, за да обозначим точки, които нямат преместване. И ако краят на една нишка е свободен, този край ще действа като връх на преместване. Връх е точка, която има максимално преместване. Как ще изглеждат тези стоящи вълни? Стоящите вълни вече не изглежда сякаш се движат през средата, те просто трептят на място напред-назад. И този връх ще се премести от горе до долу, обратно до горе. Но няма да видиш гребена да се движи наляво или надясно, оттам идва името стояща вълна. Но възлите си остават на място. Няма преместване при един възел. След като определиш граничните условия и дължината на тази среда, възможните дължини на вълната са поставени. Понеже единствените позволени стоящи вълни трябва да започнат при възел и да приключат при възел. Фундаменталната стояща вълна се отнася до стоящата вълна с най-голяма възможна дължина на вълната. И в този случай това ще е половин дължина на вълната. Дължината на средата ще трябва да е равна на 1/2 от дължината на вълната на тази вълна. Подобно, за втория хармоник пак трябва да започнем и да приключим при възел, така че следващата възможност ще е цяла дължина на вълната, което означава, че дължината на средата ще е равна на една дължина на вълната на тази вълна. И ако стигнеш до третия хармоник, тя е 3/2 от една дължина на вълната. И няма лимит, можеш да продължиш. За да възбудиш тези по-високи стоящи вълни, трябва да продължиш да увеличаваш честотата, понеже ще продължиш да намаляваш дължината на вълната, разстоянието между върховете. Как ще изглежда една стояща вълна, ако един от тези краища е свободен? В този случай този край ще е връх и фундаменталната стояща вълна ще приеме само формата на 1/4 от една дължина на вълната, тъй като трябва да премине от възел до връх. Това означава, че дължината на нишката също ще трябва да е равна на 1/4 от една дължина на вълната. Следващата възможна стояща вълна ще е 3/4 от една дължина на вълната. А следващата възможност ще е 5/4 от една дължина на вълната. И, отново, тази прогресия продължава. Как ще изглежда една примерна задача със стоящи вълни на нишки? Да кажем, че един край на нишка с дължина L е прикрепен към една стена, а другият край е фиксиран към вибриращ прът. Един ученик открива, че нишката създава стояща вълна, както е показано тук, когато честотата на пръта е поставена на f0. Какви са големините на скоростта на вълните на нишката? Знаем, че дължината на нишката е L. И можем да определим колко от дължината на вълната е това. Оттук до тук ще е една дължина на вълната. И тук има още една половина. Дължината на нишката L е равна на 3/2 от една дължина на вълната, или, с други думи, дължината на вълната тук е 2L/3. И знаем, че големината на скоростта на една вълна винаги е дължината на вълната по честотата. Големината на скоростта на вълната тук ще е 2L/3, което е дължината на вълната на тази вълна, по честотата, така че най-добрият отговор е D. Как решаваме задачи за стоящи вълни в тръби? Точно както стоящите вълни на нишки, дължините на стоящите вълни в една тръба са определени от дължината на тръбата и граничните условия на тази тръба. Но този път вместо нишката да се клати, създаваш стояща вълна от звукови вълни. А що се отнася до граничните условия за тази тръба – отворен край ще действа като връх на преместване, тъй като въздухът при отворения край може силно да трепти и получаваш максимално смущение на въздуха. Но един затворен край на тръбата ще действа като възел на преместване, тъй като няма да има смущение на въздуха при затворения край. А ако и двата края на тръбата са отворени и ни дадат стоящи вълни връх-връх? Първата възможност за стояща вълна с най-голяма дължина на вълната, стоящата вълна ще премине от връх до връх. И това е 1/2 дължина на вълната. Тоест дължината на тази тръба ще трябва да е равна на 1/2 дължина на вълната. Следващата възможност пак ще премине от връх до връх. И това е равно на една цяла дължина на вълната. Може да не изглежда така, но от долина до долина е една цяла дължина на вълната. Дължината на тази тръба ще е равна на една дължина на вълната. И следващата възможност ще е равна на 3/2 от една дължина на вълната. И трябва да отбележиш, че това е същата прогресия, която имахме за нишки възел-възел. Дали двата края ще са върхове, или двата края ще са възли, ако двете гранични условия са едни и същи, получаваш една и съща прогресия, която е половин дължина на вълната, цяла дължина на вълната, 3/2 дължина на вълната. По същество всяка дължина на вълната е половин цяло число или цяло число. А ако затворим един от краищата на тръбата? Ако затворим един от краищата на тръбата, този край ще стане възел на преместване, тъй като въздухът в тази позиция не може да се движи. Което ще я направи възел и ще трябва да премине до отворен край, който е връх. Тоест най-голямата възможност този път ще бъде 1/4 от една дължина на вълната. Следващата възможност пак ще премине от възел към връх и това ще е 3/4 от една дължина на вълната. И, ако забелязваш, това е точно същото, както когато имахме нишки възел-връх. Имахме същата прогресия от ламбда върху 4, 3 ламбда върху 4, 5 ламбда върху 4, всяко нечетно число по ламбда върху 4, това бяха позволените дължини на вълните на стоящата вълна. Ако единият край има различно гранично условие от другия край, това ще е прогресията на позволените дължини на вълната в тази среда. Как ще изглежда една примерна задача със стоящи вълни в тръби? Да кажем, че духнеш върху върха на тръба, която е отворена в двата края, и резонира с честота f0. Ако след това дъното на тръбата е покрито и отново духнем въздух върху върха на тръбата, каква честота ще се чуе в сравнение с честотата, която се чува, ако и двата края са отворени? Когато двата края са отворени, знаем, че стоящата вълна ще е връх до връх. Което е половин дължина на вълната. Което ще е равно на дължината на тази тръба. Тоест дължината на вълната ще е 2 пъти дължината на тръбата. Но когато затворим един от краищата, превръщаме този край от връх във възел. Ще трябва да преминем от връх до възел. Което е само 1/4 от една дължина на вълната. 1/4 от една дължина на вълната ще е равно на дължината на тръбата. Това означава, че ламбда е равно на 4L, тази дължина на вълната, удвоена. Какво ще направи това с честотата? Знаем, че v е равно на ламбда f и не променихме средата тук, така че големината на скоростта ще остане същата. И ако удвоим дължината на вълната, ще трябва да съкратим честотата наполовина, за да поддържаме същата големина на скоростта на вълната. Когато затворим дъното на тази тръба, ще чуем половината от честотата, която чухме, когато и двата края бяха отворени. Честота на биенето се отнася до феномена, при който две вълни се припокрият с различни честоти. Когато се случи това, интерференцията на вълните в една точка от пространството се превръща от конструктивна в деструктивна, обратно в конструктивна и така нататък. Което, ако това беше звукова вълна, ще възприемеш като колебание в силата на звука. И причината това да се случи е, че ако тези вълни започнат във фаза и са конструктивни, тъй като имат различни честоти, едната вълна ще започне да се дефазира спрямо другата. Евентуално ще стане деструктивна, което ще е тих звук. Но ако чакаш още малко, един от тези върхове настига следващия връх в прогресията и вълните отново ще станат конструктивни, което отново ще е силен звук. Периодът на биенето е времето, което е нужно за преминаване от силен звук до тих звук обратно до силен звук. Но по-често ще чуваш за честота на биенето, която е просто 1 върху периода на биенето. Периодът на биенето е времето, което е нужно да премине от силен звук в тих звук отново в силен звук. И честотата на биенето е броят пъти, които прави това в секунда. Как определяш честотата на биенето или периода на биенето? Формулата, която се използва за намиране на честотата на биенето, всъщност е доста лесна. Просто взимаш разликата на честотите на двете вълни, които се припокриват. Ако няма разлика, ако тези вълни имат една и съща честота, тогава ще имаш честота на биенето от 0, което ще означава, че няма да чуеш никакво колебание. Колкото по-отдалечени станат тези честоти, толкова повече колебания ще чуеш в секунда. И после, за да намериш периода на биенето, ще вземеш едно върху честотата на биенето. Каква ще е една примерна задача с честота на биенето? Да кажем, че тези две вълни се припокриват и искаме да определим честотата на биенето. Периодът на първата вълна е 4 секунди. Това означава, че честотата на първата вълна е 1 върху 4 секунди, което е 0,25 херца. А периодът на втората вълна е 2 секунди, което означава, че честотата е 1/2, или 0,5 херца. За да получиш честотата на биенето, изваждаш едната честота от другата. 0,5 - 0,25 ще е 0,25 херца.