Визуално разбиране на формулата за центростремително ускорение

Да кажем, че имаме някакъв обект, който се движи в кръг ето така. И това, което начертах тук, е векторът му на скоростта при различни точки по този кръг. И това тук ще е v1, вектор на скоростта 1. Това ще е вектор на скоростта 2. И това тук ще е вектор на скоростта 3. И в това видео ще приемем, че големината на тези вектори на скоростта е постоянна. Или друг начин да помислим за това е, че големината на скоростта е постоянна. И ще кажа, че малко v без стрелкичка отгоре – това ще е скаларна величина – ще нарека това големина на скоростта. Или можеш да наречеш това големината на тези вектори. И това ще е постоянно. Това ще е равно на големината на този вектор 1, която е равна на големината на вектор 2 – посоката очевидно се променя, но големината ще е същата – което е равно на големината на вектор 3. И ще приемем, че това се движи в кръг с радиус r. И ще начертая вектор на позицията при всяка точка. Нека наречем r1 – ще го направя в розово – r1 това тук. Това е векторът на позицията r1. Това е вектор на позицията r2. Позицията очевидно се променя. Това е векторът на позицията r2. И това е векторът на позицията r3. Но големината на нашите вектори на позицията очевидно са едни и същи. И ще нарека големината на векторите на позициите r. И това е просто радиусът на окръжността. Това е това разстояние тук. r е равно на големината на r1, което е равно на големината на r2, което е равно на големината на r3. В това видео искам визуално да ти покажа, че като имаме този радиус и големина на скоростта, големината на центростремителното ускорение – и ще запиша това като а с индекс с, нямам стрелка отгоре, така че това е скаларна величина. Големината на центростремителното ускорение ще е равна на нашата големина на скоростта на квадрат, постоянната ни големина на скоростта на квадрат, делено на радиуса на окръжността. До края на видеото искам да се увериш, че това е така. И за да разберем това, искам да поставя отново тези вектори на скоростта на друга окръжност и да помисля как самите вектори се променят. Нека копирам и поставя това. Нека копирам и поставя v1. Копирам и поставям. Това е v – искам да го направя от центъра – това е v1. После нека направя същото нещо за v2. Нека го копирам и поставя. Това е v2. И после нека направя това и за v3. Ще взема векторната част, не е нужно да взимам означението. Копирам и поставям. Това ето тук е вектор v3. И нека малко поразчистя това. Това очевидно е v2. И не мисля, че трябва да отбелязваме нещата повече. Знаем, че v2 е в оранжево. И какъв ще е радиусът на тази окръжност? Радиусът на тази окръжност ще е големината на векторите на скоростта. И вече знаем, че големината на векторите на скоростта е тази величина v, тази скаларна величина. Радиусът на тази окръжност е v; радиусът на тази окръжност, вече знаем, е равен на r. И точно както векторът на скоростта ни дава промяната в положението през времето, векторът на промяната в положението върху времето, какъв е векторът, който ще ни даде промяната във вектора на скоростта върху времето? Това ще са векторите на ускорението. Ще имаш някакво ускорение. Ще наречем това а1. Ще наречем това а2. И ще наречем това а3. Искам да се уверя, че схващаш аналогията, която показваме тук. Докато преминаваме покрай тази окръжност, векторите на позицията първо сочат наляво, после нагоре в позиция "11 часа", горе вляво, а после нагоре. Сочат в тези различни посоки като стрелка на часовник. И това, което се движи тук, е векторът на промяната в позицията върху времето, които са тези вектори на скоростта. Ето тук векторите на скоростта се движат наоколо като стрелките на часовник. И това, което ще се движи наоколо, са тези вектори на ускорението. Ето тук тези вектори на скоростта са допирни на пътя, който е окръжност. Те са перпендикулярни на един радиус. И знаеш това от геометрията – че една права, която е допирателна на една окръжност, е перпендикулярна на един радиус. И това тук ще е същото нещо. И като се върнем към това, което научихме, когато учихме за логиката зад центростремителното ускорение, ако разгледаш а1 тук и пренесеш този вектор, той ще се движи така. Той ще се движи към центъра. а2, отново, се движи към центъра. а3, отново, ако пренесеш това, то ще се движи към центъра. Всички тези вектори се движат към центъра. И виждаш това ето тук. Това тук са вектори на центростремителното ускорение. Тук просто говорим за големината. И ще приемем, че всички тези имат една и съща големина. Ще приемем, че всички те имат големина от а с индекс с. Това е големината. И това е равно на големината на а1. Този вектор е равен на големината на а2. И е равен на големината на а3. Искам да помисля колко време ще е нужно на това нещо да стигне от тази точка на окръжността до тази точка на окръжността. Начинът да помислим за това е каква е дължината на дъгата, която е изминало? Дължината на тази дъга, която това е изминало. Това е 1/4 около окръжността. Това ще е 1/4 от обиколката. Обиколката е 2πr. Това ще е 1/4 от това. Това е дължината на дъгата. И колко време ще е нужно, за да стигне дотам? Ще разделиш дължината на пътя на реалната големина на скоростта – реалното нещо, което го движи по този път. Искаш да разделиш това на големината на скоростта. Това е големината на скоростта, а не скоростта. Това тук не е вектор, а е скалар. Това ще е времето, нужно за изминаване на този път. Времето, нужно за изминаване на този път, ще е точно същото количество време, което е нужно на вектора на скоростта да измине този път. Това е за вектора на позицията да се движи ето така. Това е за вектора на скоростта да се движи ето така. Тоест това ще е точно същото Т. И каква е дължината на този път? И сега помисли за това чисто геометрически. Тук гледаме една окръжност. Радиусът на окръжността е v. Дължината на този път тук ще е 1/4. Ще е – ще направя това в същия цвят, за да видиш аналогията – ще е равно на 1/4 по обиколката на окръжността. Обиколката на тази окръжност е 2π по радиуса на окръжността, който е v. Какво го бута по тази окръжност? Какво го бута по този път? Каква е аналогията за големината на скоростта? Големината на скоростта е това, което го бута по този път. Това е големината на вектора на скоростта. Това, което го бута по тази дъга тук, е големината на този вектор на ускорението. Това ще е а с индекс с. И тези времена ще са еднакви. Количеството време, което е нужно на този вектор, за да се движи така, на вектора на позицията, е същото количество време, което е нужно на вектора на скоростта да се движи така. Можем да поставим тези две неща да са равни едно на друго. От тази страна получаваме 1/4 от 2πr върху v е равно на 1/4 от 2πv върху големината на вектора на ускорението. Сега можем малко да опростим това. Можем да разделим двете страни на 1/4. Да се отървем от това. Можем да разделим двете страни на 2π, да се отървем от това. Нека го преобразувам. После получаваме, че r/v е равно на v върху центростремителното ускорение. И сега можеш да умножиш кръстосано. Получаваш v по v. Просто умножавам кръстосано. v по v, получаваш v^2, е равно на а с индекс с по r. Кръстосаното умножаване, помни, е същото нещо като умножаването на двете страни по двата знаменателя, като умножаваме двете страни по v и а с индекс с. Това не е някакво магическо нещо. Ако умножиш двете страни по v и ас, тези v се съкращават. Тези а с индекс с се съкращават. Получаваш v по v е v^2 и е равно на а с индекс с по r. И за да намерим големината на центростремителното ускорение, просто делиш двете страни на r. И ти остава – заслужихме аплодисменти – големината на нашето центростремително ускорение е равна на постоянната големина на скоростта ни. Това тук е големината на скоростта, делена на радиуса на окръжността. И сме готови!