If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:12:51

Видео транскрипция

Открих, че за много хора най-трудната част при решаването на задачи с кръгово движение е да следят всички нови имена за всички ротационни величини. В това видео искам да преминем през различните ротационни променливи като ъглово преместване, ъглова скорост и ъглово ускорение. Ще обясним какво означават, как биват дефинирани и как можеш да ги намериш – нека направим това. Да вземем предвид този пример. Да кажем, че взимаш една тенис топка и я връзваш с нишка, а после въртиш тенис топката по една окръжност. Ако направиш това и искаш да започнеш да дефинираш променливите на движението, които ще опишат кръговото движение на тази тенис топка, може би най-основната величина, за която ще се сетиш, е под какъв ъгъл се върти тази тенис топка по време на движението си. Ако си представим, че тенис топката започне оттук и се върти дотук, можем да определим величина, която ни казва какъв ъгъл е изминало това. И това просто се нарича ъглово преместване. И се дава от символа делта тита, понеже тита е ъгълът, а делта тита е промяната в ъгъла, така че това е просто крайната тита минус началната тита. Например ако тази тенис топка започне тук от нула и стигне до 180, крайната тита ще е 180, началната тита ще е 0, тоест ъгловото ни преместване ще е 180 градуса или π радиана. И ако започнем от нула и преминем по цялата окръжност и после още веднъж по цялата окръжност, ъгловото ни преместване няма да е нула. Технически то ще е две цели обиколки, което ще е или 720 градуса, или 4 π радиана. И дори не е нужно да започваме от нула. Началната ни тита може да е тук при 180 и ще слезем надолу до 270, в който случай ъгловото ни преместване ще е 90 градуса или π/2 радиана. Ето така дефинираме ъгловото преместване и обикновено го измерваме в радиани, вместо в градуси, поради причини, които ще ти покажа след малко. И името на този символ тук е тита. И трябва да споменем, че това е аналогично на това как определихме нормалното преместване. Тоест ако си представиш една тенис топка, която се движи в права линия, обикновеното преместване беше дефинирано като крайната позиция минус началната позиция, което нарекохме делта х. И това обикновено се нарича преместване и се измерва в метри. Сега знаем как да намерим величината на ъгъла, през който се е завъртяла тази топка, но друга величина, която може да е полезна, е скоростта, с която тя пътува през този ъгъл. Точно както тук горе, да знаем преместването е добре, но може да искаш да знаеш нещо за скоростта, с която това бива преместено. Що се отнася до нормални линейни величини, това се наричаше скорост на топката и беше дефинирано като преместването върху времето. Тук долу ще дефинираме подобна величина, но тя ще е ъгловата скорост, която се дефинира аналогично да нормалната скорост. Ако нормалната скорост е преместването върху времето, ъгловата скорост ще е ъгловото преместване върху времето. И символът, който използвахме, за да представим ъгловата скорост, е гръцката буква омега, която изглежда като w, но всъщност е гръцката буква омега. И мерните единици на омега, ъгловата скорост, ще са радиани в секунда. След като делта тита, ъгловото преместване, е в радиани, а времето е в секунди, точно както нормалната скорост имаше мерни единици метри в секунда, ъгловата скорост има мерни единици радиани в секунда. Какво означава ъглова скорост? Какво е това омега? То представлява скоростта, с която един обект променя ъгъла си с времето. Да кажем, че тенис топката започне от тук и ще премине през една окръжност с тази незначителна скорост – това означава, че скоростта, с която променя ъгъла си, е много малка и това има много малка омега. Докато ако тенис топката минаваше около окръжността много бързо, скоростта, с която ще се движи в окръжност, ще е голяма и това означава, че ъгловата скорост и омега също ще са големи. Скоростта и ъгловата скорост са свързани. Не са равни, понеже скоростта ти дава с колко метра в секунда се движи нещо, а ъгловата скорост ти дава с колко радиана в секунда се движи това нещо, но ако то има по-голяма ъглова скорост, то тогава ще има и по-голяма скорост. И точно както скоростта е вектор, ъгловата скорост също е вектор, така че ще поставя стрелка върху това омега. Накъде сочи? Технически казано, използваш същото правило, което използваш, за да определиш посоката на ъгловото преместване. Но отново, ако се върти обратно на часовниковата стрелка, можем просто да приемем това за положително, а ако се върти по часовниковата стрелка, можем да приемем това за отрицателна омега, или отрицателна ъглова скорост. Нека махна тези и нека дефинираме последната ни променлива за ъгловата скорост. Вероятно можеш да предположиш каква е тя. Има нормално преместване и има ъглово преместване. Има нормална скорост и има ъглова скорост. И следващата логична стъпка в тази поредица на променливи на двжиението ще е ускорението, което за нормалната променлива беше дефинирано като промяната в скоростта върху промяната във времето. Ще дефинираме аналогична ъглова величина, която ще е ъгловото ускорение. И това ще е дефинирано като, вместо промяна в скоростта върху промяна във времето, то ще е промяна в ъгловата скорост върху промяната във времето. И буквата, която използваме, за да обозначим ъгловото ускорение, е гръцката буква алфа, това е гръцката буква алфа. Изглежда като малка рибка. Това представлява ъгловото ускорение на един обект. Какво означава това ъглово ускорение? Като погледнем мерните единици, това ще ни помогне да разберем това. Мерните единици на нормалното ускорение бяха метри в секунда в секунда, нормалното ускорение представляваше скоростта с която се променя скоростта, а тази дефиниция тук е аналогична. Мерните единици тук долу ще са радиани в секунда в секунда, тоест това ще представлява – това ъглово ускорение ще представлява скоростта, с която ъгловата скорост се променя. Как ще изглежда това? Ако тази топка се върти в окръжност, ако се върти с постоянна скорост, няма ъглово ускорение, след като омега, ъгловата скорост, няма да се променя. С други думи, ако се върти с постоянна скорост, няма промяна в ъгловата скорост, а това означава, че няма ъглово ускорение. Но обратно, ако започне да се движи бавно и ускори, ъгловата скорост се увеличава, тогава има ъглово ускорение, понеже има промяна в ъгловата скорост на тази топка. И точно както всяко ускорение, това ъглово ускорение може да увеличи ъгловата скорост и да ускори дадено нещо. Или може да забави обекта и да намали ъгловата скорост. Но ако ъгловата скорост остава константа – с други думи, върти се в окръжност с постоянна скорост, тогава ъгловата скорост е нула и това означава, че алфа е равна на 0. И точно както останалата част от тези променливи на движението, ъгловото ускорение е вектор, точно както нормалното ускорение е вектор. И посоката, в която сочи ъгловото ускорение, ще е посоката на промяната в ъгловата скорост. С други думи, ако тази тенис топка ускорява, тогава ъгловото ускорение е насочено в същата посока като ъгловата скорост. И ако ъгловата скорост намалява, ъгловото ускорение сочи в противоположната на ъгловата скорост посока. В този момент няма да те виня, ако се чудиш защо трябва да дефинираме всички тези нови ъглови променливи, когато вече имаме всички тези обикновени променливи. Отговорът е, че е по същата причина, по която дефинираме повечето променливи във физиката, понеже се оказва, че това е доста удобно, а тези ъглови променливи ще са много по-удобни да опишем един обект, който се върти, отколкото с тези стандартни променливи. Поради тази причина, представи си, че искаш да опишеш не само топката в края на нишката, но и всички точки на нишката. Ако се ограничиш до тези стандартни променливи на движението, ще имаш проблем. Ще осъзнаеш, че тази топка преминава през една окръжност за определен период от време, но всяка точка на тази нишка също преминава през една окръжност за същия период от време, тоест скоростта на топката ще е по-голяма от скоростта на точките на нишката, които са по-близо до центъра. Понеже на всичко му отнема едно и също количество време, за да премине през една окръжност, но окръжността, през която топката преминава, има по-голяма обиколка, отколкото окръжността, през която преминават точките, които са по-близо до центъра. И всички точки на нишката ще имат различна скорост, колкото по-близо стигнеш до центъра на нишката. Да се опиташ да обясниш движението им само със скоростта може да е кошмар, докато ако просто използваш ъглова скорост, забележи, че всяка точка на нишката, включително топката, се е придвижила със същия ъгъл за същото количество време. Те не се придвижват със същото количество метри в секунда, но се придвижват със същото количество радиани в секунда, понеже когато топката се е завъртяла през 2 π радиана, пълен кръг, всяка точка от нишката се е завъртяла с 2π радиана, ако тази топка и нишката ще поддържат същата форма. Това е страхотното нещо за тези променливи за ъглово движение – всички точки от един твърд обект ще имат едно и също ъглово преместване, една и съща ъглова скорост и едно и също ъглово ускорение. Като няма да има значение за коя точка говориш, ъгловото преместване, ъгловата скорост и ъгловото ускорение ще са едни и същи за всяка точка от този въртящ се обект. Преди нещата да станат твърде абстрактни, нека опитаме да направим примерна задача. Да кажем, че топката започне оттук от покой и се завърти чак до тази точка за 4 секунди. Започва тук в покой и са ѝ нужни 4 секунди, за да се завърти до тази точка. И да кажем, че когато топката стигне до тази страна, тя се движи с 1,57 радиана в секунда. Да кажем, че това е крайната ъглова скорост. Нека просто преминем през задачата и да се опитаме да намерим тези. Какво ще е ъгловото преместване за този пример? Ако топката започне оттук и стигне дотук, ъгловото преместване ще е π радиана, или 180 градуса. Каква ще е ъгловата скорост? Започнахме от покой, така че в началото омега при тази точка тук беше 0, а после ни казват каква ще е крайната омега, 1,57. Може да се зачудиш какво да направим с тази формула. Ако използваме тази формула, какво ще получим? Ако използваме тази формула тук, ще получим, че е изминала π радиана и го е направила за 4 секунди, което ни дава 0,785 радиана в секунда. Може да си кажеш: "Чакай малко. Тази омега не съответства на началната омега или на крайната омега. На какво съответства тя?" Това ще е средната омега. Това е средната ъглова скорост между тези начална и крайна точки. Това, че в началото е била в покой ни показва, че омега в началото е била 0. Началната омега е 0 и моментната омега, или крайната ъглова скорост, ще е 1,57, така че трябва да внимаваш. Не е задължително моментните скорости да са равни на средната стойност. Можеш да получиш средната промяна, като вземеш промяната в тита върху промяната във времето, но не е нужно това да ти даде моментната ъглова скорост в определен момент от завъртането. И можем да намерим и ъгловото ускорение, ако използваме тази формула. Промяната в омега върху промяната във времето. Това ще е ъгловото ускорение, нашата крайна омега минус началната омега, върху времето, ще ни даде 1,57 за крайна ъглова скорост, минус 0 – това беше началната ъглова скорост, а за постигане на това бяха нужни 4 секунди, така че ъгловото ускорение ще е 0,393 радиана в секунда в секунда, или можеш да запишеш това като радиани в секунда на квадрат. Технически това също е средното ъглово ускорение по време на това завъртане, но ако ъгловото ускорение беше постоянно през това завъртане, както ще е при почти всички случаи, които ще разгледаме, ъгловото ускорение ще е постоянно. И ако това е така, това ще е и средната стойност, и моментната стойност на ъгловото ускорение във всеки момент от завъртането, тъй като ъгловото ускорение ще остане константа. В този пример можем да кажем, че ъгловото преместване беше π радиана. Средната ъглова скорост беше 0,785 радиана в секунда. Началната ъглова скорост беше 0. Крайната ъглова скорост беше 1,57 и ъгловото ускорение беше 0,393 радиана в секунда на квадрат. Да обобщим, ъгловото преместване представлява ъгълът, с който бива завъртян един обект. Обикновено се измерва в радиани и се представя като делта тита. Ъгловата скорост представлява скоростта, с която се върти един обект. Измерва се в радиани в секунда и се представя с гръцката буква омега. И ъгловото ускорение представлява скоростта, с която един обект променя ъгловата си скорост, тоест ако един обект се върти с постоянна скорост, има нулево ъглово ускорение. Но обратно, ако въртенето на един обект се увеличава или намалява, трябва да има ъглово ускорение. То се измерва в мерни единици радиани в секунда в секунда, или радиани в секунда на квадрат и се представя с гръцката буква алфа.
AP® е регистрирана търговска марка на College Board, които не са прегледали този ресурс.