If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:8:08

Намиране на разстояние или дължина на дъгата при дадено ъглово преместване

Видео транскрипция

В това видео ще опитам да начертая връзки между ъглов преместване и идеите за дължина на дъгата или изминато разстояние. Да си представим, че тук имам някакъв вид тенис топка или нещо такова и това е вързано с въже към някакъв пирон. Ако опиташ да премести тенис топката, тя ще се върти около този пирон. Ще се движи по този син кръгов път. Да кажем, за целта на дискусията, че радиусът на тази синя окръжност ето тук е 6 метра. Можеш да гледаш на това като на дължината на нишката. Знаем какво става тук. Началният ни ъгъл, тита начален - общоприетата практика е да го измерим спрямо положителната ос х. Тита начален е пи върху две. Да кажем че после го за въртим в 2 пи радиана. + 2 пи радиана. Ще го за въртим обратно на часовниковата стрелка с 2 пи. Тогава топката ще отиде обратно там, откъдето започна. Тита краен ще е това + 2 пи, това ще е 5 пи върху 2. Разбира се, казахме, че завъртяхме в положителна посока обратно на часовниковата стрелка. Казахме, че завъртяхме 2 пи радиана. Така че един вид ти дадох какво е ъгловото преместване. Ъгловото преместване в тази ситуация, делта тита, ще е равно на 2 пи радиана. Следващият въпрос, който ще задам, е какво разстояние ще е изминала топката. Помни, разстояние казваме, когато ни интересува пътят. Изминато то разстояние ще е обиколката на тази окръжност. Помисли каква е... и спри видеото и помисли какво е изминатото от топката разстояние и също помисли какво ще е преместването, през което топката преминава. Приемам че опита. Лесният отговор е преместването. Топката приключва там, откъдето е тръгнала, така че преместването в тази ситуация е - не говорим за ъгловото преместване, просто говорим за линейното преместване, което ще е 0. Ъгловото преместване беше 2 пи радиана, но какво да кажем за разстоянието? Отбелязване разстоянието с S. Както ще видим можеш да гледаш на това като на дължина на дъгата. Тук дъгата е цялата окръжност. На какви ще е равно това? От по-ранните уроци по геометрия знаем, че това просто ще е обиколката на окръжността, която ще е равна на 2 пи по радиуса. Ще е равно на 2 пи по 6 метра, което в този случай ще е 12 пи. Единиците ни в този случай... Това ще е 12 пи метра, това е разстоянието, което сме изминали. Интересното тук, поне за този определен случай, е да открием изминатото разстояние, да намерим тази дължина на дъгата. Изглежда взехме ъгловото преместване, големината на ъгловото преместване, можеш да приемеш това за неговата абсолютна стойност, и умножихме по радиуса на окръжността. Ако разгледаш дължината на тази нишка като R, просто умножаваме това по R. Казахме, че в този случай дължината на дъгата е равна на големината на промяната ни в преместването по радиуса. Да видим дали това винаги е вярно. В тази ситуация имам топка и, да кажем, това е по-къса нишка. Да кажем, че нишката е само три метра и началният ъгъл, тита начален, е пи радиана. Виждаме това измерено от положителната ос х. Да кажем, че завъртим по часовниковата стрелка. Да кажем, че тита краен е пи върху 2 радиана. Тита краен е равна на пи върху 2 радиана. Спри видеото и виж дали можеш да намериш ъгловото преместване. Ъгловото преместване в тази ситуация ще е равно на тита краен, която е пи върху 2, минус тита начален, която е пи, което ще е равно на минус пи върху 2. Логично ли е това? Да, понеже се движи ме по часовниковата стрелка. Въртене по часовниковата стрелка според общоприетата практика е отрицателно. Това е логично. Имаме въртене по часовниковата стрелка от пи върху 2 радиана. Въз основа на тази информация, която открихме сега, виж дали можеш да откриеш дължината на дъгата, или разстоянието, което тази тенис топка на края на нишката изминава. Тази тенис топка на края на 3-метровата нишка. Какво ще е това разстояние? Има два начина, по които можеш да помислиш за това. Можеш да кажеш, че това е 1/4 от обиколката на окръжността. Можеш да кажеш, че дължината на дъгата, S, ще е 1/4 по 2 пи по радиус от 3 метра, по 3. И това ще ти даде верния отговор. 2 върху 4 е 1/2, така че получаваш 3 пи върху 2 и работим с метри. Това ще е 3 пи върху 2. Но да видим дали съвпада с тази формула, която имахме тук. Дали това е същото нещо, ако вземем абсолютната стойност на преместването. Да направим това. ако вземем абсолютната стойност на ъгловото преместване, взимаме абсолютната стойност на ъгловото преместване и умножаваме по радиуса. Радиусът е 3 метра. Тези ще са равни, понеже това ще е плюс пи върху 2 по 3, което наистина е 3 пи върху 2. Изглежда тази формула работи доста добре. Логично е, понеже просто казваш: "Виж, имаш традиционната обиколка на окръжност. " После мислиш каква част от окръжността е тази дължина на дъгата. Частта ще е големината на ъгловото ти преместване. Това е частта от обиколката на окръжността, която и минаваш. Ако това беше 2 пи, изминава цялата окръжност. Ако е пи, изминаваш половината от окръжността. Забележи, тези двете се съкращават. И това ще ти даде дължината на дъгата. Да направим още един пример. Да кажем, че в тази ситуация, нишката, към която е свързана топката, е дълга 5 метра. И да кажем, че началният ъгъл е пи върху 6 радиана, ето тук. Да кажем, че крайният ъгъл - приключвам ето тук, тита краен е равен на пи върху 3. Въз основа на всичко, за което говорихме, какво ще е разстоянието, което топката изминава? Каква ще е дължината на дъгата? Първо можем да открием ъгловото преместване. Ъгловото преместване ще е равно на тита краен, която е пи върху 3, минус тита начален, което е пи върху 6, което е равно на пи върху 6 и това е логично. Този ъгъл тук... Преминахме през въртене от плюс пи върху 6 радиана. Преминахме в посока обратна на часовниковата стрелка. После искаме да намерим дължината на дъгата. Просто умножаваме това по радиуса. Дължината на дъгата ще е равна на пи върху 6 по радиуса, по 5 метра. Това ще ни даде 5 пи върху 6 метра и сме готови. Отново, тук няма нищо магическо. Това произлиза директно от идеята за обиколка на окръжност.
AP® е регистрирана търговска марка на College Board, които не са прегледали този ресурс.