Стоящи вълни в затворени тръби

Добре, последният път видяхме, че за отворена в двата края тръба са позволени само определени дължини на вълните, понеже трябваше да имаш върхове в двата края. Имахме тази. Имахме тази. Имахме и тази. И намерихме дължината на вълната за всички тези. После осъзнахме, че можем да запишем формула за всяка възможна дължина на вълната в отворена в двата края тръба и това зависи само от дължината на тръбата, L, и n. n е за коя хармонична вълна говорим. 1 е фундаменталната, 2 е втората хармонична вълна, 3 е третата хармонична вълна, 4, и така нататък. Това ти даде всяка възможна дължина на вълната. Въпросът е дали можем да направим същото нещо, ако имахме един отворен и един затворен край. Какво се случва, ако единият край е затворен? А ако затворим този край, така че вече да не е отворен? Нека направим това сега. Ето. Тук има един затворен край. Този край е затворен. Това е повече като бутилка сода, понеже този край ще е отворен – гърлото, от което пиеш – а дъното е затворено. Вътре имаме въздух. Ако духнеш в гърлото, какви възможни честоти, какви възможни дължини на вълните можем да създадем? Какво знаем тук? Знаем, че този край, този въздух е отворен. Tази страна е отворена и затова тази въздушна молекула може силно да трепти. Какъв вид възел ще е това? Това ще е връх, тъй като може силно да трепти. Този край тук, тези въздушни молекули продължават да се блъскат в тази страна. В този край трябва да има възел, понеже тук не може да има преместване. Какво правим тук? Този край е възел. Знаем това. И ще поставя това на оста тук. Знам, че този край няма преместване. Чертаем отново графика на преместването спрямо х. В този случай това е хоризонталното преместване. Този край ще трепти силно, тоест тук ще има връх. Ще го сложа ето тук. Ще начертая най-простата възможна вълна, която може да премине от този връх до този възел – ще изглежда ето така. Връх и се извива надолу до възела. Ето, това е. Каква дължина на вълната е това? По отношение на дължината на тази тръба, тоест ако това е L, каква дължина на вълната е това по отношение на L? Трябва да намерим колко дължина на вълната е това. Това е сложната част, която шашка учениците. Те не обичат да намират колко дължина на вълната е това. Не е толкова трудно. Първо предпочитам да начертая една дължина на вълната. Как изглежда една дължина на вълната? Една дължина на вълната изглежда ето така. Ако започнем оттук, една дължина на вълната изминава целия път и обратно до същата точка в процеса. Ето, това е една цяла дължина на вълната, поне ако това е графика спрямо х. Колко дължина на вълната е тази лилава линия за тази първа фундаментална честота? Тази първа фундаментална дължина на вълната. Започва отгоре, така че нека започнем отгоре. Движи се и това нещо просто стига до първото пресичане на оста и това е възел. Това нещо пресича оста тук и това е. Това е всичко, което имаме – една голяма, дълга... Какво е това? Това е 1/4 дължина на вълната. Това е 1/4 и стига дотук. Това е друга четвърт. Това е друга четвърт и това е друга четвърт. Това е само 1/4 от една дължина на вълната. На много хора им е трудно да видят това. Цялото нещо е една дължина на вълната. Половината от него е 1/2 и ако разделя това наполовина, това е 1/2 и ако разделя тази 1/2 отново наполовина, получавам 1/4. Намирам, че дължината L в този случай е равна на 1/4 от една дължина на вълната. Нашата фундаментална дължина на вълната, делена на 4, е равна на дължината на тази тръба. Ако искам да знам каква е дължината на вълната – това означава, че дължината на вълната за фундаменталния случай с един отворен и един затворен край е 4L. Ще запиша това ето тук. Ламбда е равно на 4L и това ще е фундаменталната дължина на вълната за тази тръба с един отворен и един затворен край. Това е по-голямо. За тръба с два отворени края това беше 2L, а това е 4L. А следващата? Започнахме от връх и стигнахме до възел. Следващият най-прост случай – нямахме възли по средата. Имахме само един в края. Сега ми трябва един възел в средата. Ще създам един възел в средата и после трябва да стигна чак до възела в този край. Имам един възел тук, имам един възел в края. Имам този връх тук и един връх тук. Колко дължини на вълната е това? Нека открием – започваме отгоре. Добре, това стига чак до долу, преминава възела и се връща обратно нагоре. Чак до долу, през възела, обратно нагоре и приключва при възел. Ето толкова дължина на вълната имам тук. Колко е това? Това е 1/4, 2/4, 3/4. Този път L е дължината на тръбата ми. Побира ли се дължината на вълната ми в L? В този случай това е 3/4 от една дължина на вълната. Още веднъж, ако намеря тази дължина на вълната, получавам 4L/3. Следващата възможна дължина на вълната е 4L/3. Ако намерим следващата – нека я начертаем, започнва от връх, приключва при възел – следващата възможна – ами, последната имаше един възел, този път ще има два възела. Ще сляза тук долу. Един възел, два възела и после стига до възела в края. Един възел в този край – трябва да има възел в този край, понеже той е затворен. Този път имам два възела в средата. Имам един връх в този край и два върха в средата. Колко дължини на вълната е това? Нека намерим колко. Започва отгоре. Слиза надолу – нека я проследим. Надолу, стига до първия възел, надолу до връх, обратно до възел – сега стигнах дотук. Продължавам – стигам до горе, още не съм готов. Сега съм обратно тук. Трябва да продължа още 1/4 от една дължина на вълната. Това е повече от една дължина на вълната. Този път L е равно – това до тази точка тук беше една цяла дължина на вълната. После трябва да добавя още 1/4 от една дължина на вълната към това. Това е една дължина на вълната и 1/4 или друг начин да кажем това е, че това е 5/4 от една дължина на вълната. 5/4 от една дължина на вълната. Понеже само дотук е една цяла дължина на вълната и към това трябва да добавя още една 1/4. Ако намеря ламбда, получавам, че ламбда е 4L... виждаме модел. Моделите са чудесни – 4L/5. Следващата възможна дължина на вълната е 4L/5 и – давай, сега можем да направим това. Вече виждам достатъчно. Ако искам да запиша всяка възможна дължина на вълната, това ще е 4L... Виж, 4L, 4L/3, 4L/5, следващото е 4L/7. Получавам, че възможните дължини на вълните за тръба с един отворен и един затворен край е 4L/n. Освен, че вместо да са всяко възможно цяло число, единствените позволени цели числа са нечетните такива. Не ми е позволено да сложа 2 или 4. Трябва да е 1, 3, 5 и т.н. Това е формулата – ето я. Ако искам да знам какви са възможните дължини на вълните, позволени в тръба с един отворен и един затворен край, ето ги. Зависят от дължината, зависят от n. Изглежда точно както за случая с двата отворени края, освен че в онзи случай беше 2L. В този случай отгоре е 4L. 4 пъти дължината на тръбата. А отдолу са само нечетни цели числа. Това означава, че получавам само нечетни хармонични вълни. Това 4L/3 – няма да нарека това втората хармонична вълна – ще нарека това третата хармонична вълна. Това 5 тук долу – няма да нарека това третата хармонична вълна, ще я нарека петата хармонична вълна. Пропускаме всички четни хармонични вълни за този случай за тръба с един отворен и един затворен край. Това е малко странно, но това се случва, когато в този край имаш връх, а в този край трябва да има възел. Можеш да изпробваш това – виж, това е функция на L. Ако искаш да провериш това, следващият път, когато пиеш сода... Виж, ако L е голямо, ако дължината на тръбата е голяма, това означава, че дължината на вълната трябва да е голяма. Ако дължината на вълната е голяма – да видим. v е равно на ламбда F. Ако имаш голяма дължина на вълната, това ще означава малка честота, понеже големината на скоростта няма да се промени. Големината на скоростта се определя от средата. И вероятно няма да променяш много температурата на средата. Може би в напитката си имаш лед или нещо подобно, но ако той се разтопи, това малко ще се промени. Това няма да промени чак толкова много големината на скоростта. Ако увеличиш дължината на вълната, това ще намали честотата. Ниска честота означава ниска нота. Ще чуеш ниска басова нота. Изпробвай това – искам да изпробваш това следващия път, когато пиеш сода или може би това е здравословна напитка, каквото и да е. Тук имаш малко сода, тя е до определено ниво. Там, където е течността, действа като дъното на тръбата. Сега имам тръба само с тази дължина. Горната част е отворена, а дъното е там, където е нивото на водата, понеже въздухът не може да премине отвъд нивото на водата. Това ще е само дължината на това. Докато продължаваш да пиеш, продължавай да духаш над отвора. Като продължаваш да духаш над отвора, слушай каква нота ще чуеш. Трябва да чуваш все по-ниска нота. Колкото по-малко става течността – когато е тук долу, сега дължината на тръбата ти е по-голяма. Това е отворено отгоре и затворено отдолу. Ще чуеш още по-ниска нота, когато това стигне тук долу. А като изпиеш напитката, сега е още по-дълга и ще чуваш много по-ниски ноти. Нотите трябва да стават все по-ниски и по-ниски. Не по-шумни и по-шумни, а по-ниски и по-ниски, честотата трябва да звучи по-ниска и по-ниска, колкото по-малко напитка ти остава. Колкото по-голяма е дължината, толкова по-голяма е дължината на вълната, толкова по-малка е честотата.