Скорост на удара според зададена височина

В това видео искам да отговоря на един стар въпрос или поне един интересен за мен въпрос. И въпросът е – да кажем, че имам един ръб, имам ръб или скала, или може би това е някакъв вид сграда. Да кажем, че има височина h. Да кажем, че това има височина h. И ми е любопитно, ако – да кажем, че това тук съм аз. Ако или скоча – това не е препоръчително за много голямо h, или хвърля нещо, може би камък, от този ръб, колко бързо аз или камъкът ще се движим, преди да ударим земята? И както всички други видеа, в които правихме задачи с изстрелване на тяло, ще игнорираме въздушното съпротивление. За малко h и малки скорости това всъщност е логично. Или ако обектът е много аеродинамичен и донякъде плътен, тогава въздушното съпротивление ще има по-малко значение. Това съм аз, падащ от голяма височина, тогава въздушното съпротивление ще започне да има голямо значение. Но за простота ще приемем, че няма въздушно съпротивление. Или няма да вземем предвид ефектите на въздушното съпротивление, или ще приемем, че правим това на планета, подобна на Земята, където няма атмосфера. Както искаш. Нека помислим просто за задачата. Може да си кажеш, че това не е реалистично. Но това ще е реалистично за малко h. Ако скоча от покрива на едноетажна сграда, въздушното съпротивление няма да е основен фактор в определянето на скоростта ми. Трябва да е много по-голяма сграда, тогава изведнъж започва да има значение. И не препоръчвам никое от тези неща. Това са много опасни неща. Много по-добре е да го направиш с камък. Това всъщност е примерът, който ще разгледаме. Нека помислим малко за това. Искаме да намерим – на върха, точно когато нещото бива пуснато, точно когато камъкът бива пуснат, имаш начална скорост 0. Отново ще използваме общоприетата практика, че положителна скорост означава нагоре, или положителен вектор означава нагоре, а отрицателен вектор означава надолу. Тук ще имаме начална скорост 0. И най-долу ще имаме някаква крайна скорост тук, която ще е отрицателно число. Ще има някаква отрицателна стойност тук. Това ще е отрицателно. Това тук ще е отрицателно число. И знаем ускорението от гравитацията за обект в свободно падане близо до повърхността на земята. Знаем я и ще приемем, че е константа. Постоянното ни ускорение ще е -9,8 метра в секунда на квадрат. При дадено h и дадена начална скорост 0, и големина на ускорението -9,8 метра на квадрат, искаме да намерим каква ще е крайната скорост, точно когато ударим земята. Ще приемем, че това h е дадено в метри. И ще получим отговор в метри в секунда за крайната скорост. Да видим как можем да намерим това. Знаем някои основни неща. И цялата идея на това е да ти покажа, че винаги можеш да намериш тези по-интересни въпроси от много основни неща, които знаем. Знаем, че преместването е равно на средната скорост по промяната във времето. И знаем, че средната скорост – ако приемем, че ускорението е константа, което правим – средната скорост е крайната скорост плюс началната скорост, върху 2. И после промяната във времето, количеството изминало време – това е промяната в скоростта. Изминалото време е същото нещо. Ще го запиша тук – е промяната в скоростта, разделена на ускорението. И за да се уверя, че разбираш това, то произлиза директно от идеята, че ускорението – или нека го запиша по този начин – че промяната в скоростта е просто ускорението по времето. Или трябва да кажа ускорението по промяната във времето. Тоест ако разделиш двете страни на това уравнение на ускорението, получаваш това тук. Това е преместването – помни, искам израз за преместването по отношение на нещата, които знаем, и на това, което искаме да намерим. За този пример тук знаем няколко неща. Нека карам стъпка по стъпка. Знаем, че началната скорост е 0. За първия израз, за примера, който правим, средната скорост ще е крайната скорост, разделена на 2, тъй като началната ни скорост е 0. Промяната в скоростта е същото нещо като крайната скорост минус началната скорост. И отново, знаем, че началната скорост тук е 0. Тоест промяната в скоростта е същото нещо като крайната скорост... Отново, това ще е по – вместо да пиша промяна в скоростта тук, просто можем да запишем крайната ни скорост, понеже започваме от 0, началната скорост е 0 – по крайната скорост, разделена на ускорението. Крайната скорост е същото нещо като промяната в скоростта, понеже началната скорост беше 0. И всичко това ще е преместването. И сега изглежда имаме всичко, записано по отношение на нещата, които знаем. Ако умножим двете страни на този израз, или двете страни на това уравнение, по 2 по ускорението ни от тази страна... и умножим лявата страна по – ще го направя в същите цветове – 2 по нашето ускорение, вляво получаваме, че 2 по ускорението по преместването ще е равно на – вдясно това 2 се съкращава с това 2, ускорението се съкращава с ускорението – ще е равно на скоростта, на крайната ни скорост на квадрат. Крайната скорост по крайната скорост. И просто можем да намерим крайната скорост тук. Знаем, че ускорението е -9,8 метра в секунда на квадрат. Нека запиша това тук. Това е -9,8. Имаме 2 по (-9,8) – нека просто умножа това. Това е -19,6 метра в секунда на квадрат. И какво ще е преместването ни? Какво е преместването по време на падането на този камък от ръба или от покрива? Може да ти се иска да кажеш, че преместването е h. Но, помни, това са векторни количества, така че искаш да се увериш, че посоката ти е правилна. От мястото на началото до мястото на края, какво прави? Ще измине разстояние h, но ще измине разстояние h надолу. И общоприетата практика е, че надолу е отрицателно. В този пример преместването от когато напусне ръката ти до когато удари земята, преместването ще е равно на -h. Ще измине разстояние h, но ще измине това разстояние надолу. И затова векторното обозначение е много важно тук. Общоприетата практика е много важна тук. Преместването тук ще е -h метра. Това е променливата и това е съкращение за метри. Когато умножиш тези две неща, за наше щастие, отрицателните знаци се съкращават, получаваш 19,6h метра на квадрат за секунда на квадрат е равно на крайната ни скорост на квадрат. И, забележи, когато повдигнеш нещо на квадрат, губиш информацията за знака. Ако крайната ни скорост беше положителна, повдигаш я на квадрат, получаваш положителна стойност. Ако беше отрицателна и я повдигнеш на квадрат, пак получаваш положителна стойност. Но, помни, в този пример ще се движим надолу. Тоест искаме отрицателния вариант на това. За да намерим крайната скорост, взимаме отрицателния квадратен корен от двете страни на това уравнение. Ако вземем корен квадратен от двете страни на това, намираш корен квадратен от тази страна, намираш корен квадратен от тази страна, ще получиш – и ще ги обърна – крайната скорост е равна на корен квадратен от 19,6h. И можеш да намериш квадратен корен от метър на квадрат за секунда на квадрат, да ги третираш като променливи, въпреки че са мерни единици. И после извън знака за корен ще получиш метри в секунда. И тук искам да внимавам, понеже ако просто вземем корен квадратен, корен квадратен тук е положителният квадратен корен. Но знаем, че скоростта ще е надолу тук, понеже това е общоприетата практика. И искаме да се уверим, че получаваме отрицателния квадратен корен. Нека изпробваме това с някои числа. Решихме това, което искахме да решим в началото на това видео – колко бързо ще падаме като функция на височината. Нека го изпробваме с нещо. Да кажем, че височината е – да кажем, че височината е 5 метра, което ще е вероятно скачане от или хвърляне на камък от едноетажна сграда, може би търговска едноетажна сграда. Това е около 5 метра, това ще е около 15 фута. Приблизително покрива на търговска сграда, приблизително. Нека включим това. И какво получаваме? Ако поставим 5 метра тук, получаваме 19,6 по 5 ни дава 98. Почти 100. И после искаме да намерим корен квадратен от това, така че ще е почти 10. Корен квадратен от 98 ни дава приблизително 9,9 и искаме отрицателния корен квадратен от това. В тази ситуация, когато височината е 5 метра – ако скочиш от едноетажна търговска сграда, точно най-долу, или ако хвърлиш камък от това, точно най-долу, точно преди да удари земята, ще има скорост от -9,9 метра в секунда. Тоест -9,9 метра в секунда. Ще го оставя на теб, като упражнение, да намериш колко бързо е това в километри в час или мили в час, понеже това става бързо. Не е нещо, което искаш да направиш... И това е просто от едноетажна сграда. Но обикновено можеш да направиш това. Можеш да използваш това за всяка височина, стига да сме разумно близо до повърхността на Земята и да игнорираш ефектите на въздушното съпротивление. При много големи височини, особено ако обектът не е толкова аеродинамичен, тогава въздушното съпротивление ще започне да има голямо значение.