If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Връзка между променливите за въртеливо движение и обикновено движение

В това видео Дейвид показва връзката между ъглово отместване и дължина на дъга, между ъглова скорост и скорост, между ъглово ускорение и тангенциално ускорение. Създадено от Дейвид СантоПиетро.

Видео транскрипция

В предишното видео дефинирахме нови променливи за ъглово движение и казахме, че те са по-полезни за използване в много случаи, отколкото нормалните променливи на движението, за неща, които се въртят в кръг. След като всяка точка на нишката на тенис топката... Да кажем, че това е една тенис топка и връзваш нишка към нея, и я въртиш в кръг. Всяка точка на нишката, включително тенис топката, ще има едни и същи ъглово преместване, ъглова скорост и ъглово ускорение. Но въпреки че използването на променливите на ъглово движение е по-удобно за тези задачи с въртеливо движение, важно е да знаеш как да преобърнеш тези променливи за ъглово движение в стандартните променливи за движение. В това видео искам да ти покажа точно това – как да превърнеш променливите за ъглово движение в променливи за нормално движение. Нека направим това. Възможно най-простата променлива за ъглово движение беше ъгловото преместване, понеже това просто представляваше през какъв ъгъл се е завъртял обектът. Да кажем, че се е завъртял с толкова. Представихме ъгловото преместване с делта тита и наричаме това ъглово преместване. Във физиката обикновено избираме да измерваме това в радиани, поради определена причина, която ще ти покажа след малко. Как ще преобразуваме това в променлива за нормално движение? Каква променлива за нормално движение ще е това? Ако се срещна с това за пръв път, ще си кажа: "Това е ъгловото преместване. Нека намерим как да го свържем с нормалното преместване." Но това ще е странно, понеже помисли, нормалното преместване на топката, която започна оттук и стигна дотук, ще е от тази точка до тази точка, това ще е нормалното преместване на топката, нормалното линейно преместване на топката. Това е малко странно. Не искам да ти покажа как да намериш това, защото, първо, трябва да използваш законите за косинусите. Това е по-задълбочено, отколкото искам да навляза в това видео. И, второ, по-добрата причина е, че се оказва, че това не е чак толкова полезно. Има много по-полезна величина, която ще ти каже колко надалеч е отишла топката. Това е дължината на дъгата на топката. Топката е проследила пътя през пространството около окръжността. Наричаме това дължина на дъгата и се оказва, че е много по-полезна в множество различни задачи. Добрите новини са, че е много по-лесна за намиране от нормалното преместване. Това е дължината на дъгата. Хората използват различни букви тук. Виждал съм l, но повечето учебници по математика използват s, така че просто и ние ще използваме s. Може да си мислиш, че е трудно да намериш това, но не е така. Всъщност ако използваме радиани – и поради тази причина използваме радиани – е много лесно да намериш това. Ако искахме да намерим дължината на дъгата на тази тенис топка, просто ще вземем радиуса на кръговия път, който тази тенис топка проследява. В този случай това ще е дължината на нишката. Взимаме този радиус. Ако сме в радиани, просто умножаваме по ъгловото преместване. Ето затова радианите са толкова удобни. Просто взимаме това измерване в радиани, умножено по радиуса на кръговия път, който обектът проследява. Получаваш дължината на дъгата, която е в метри по този път, който обектът е изминал. Ако това ти изглежда като чудо, то всъщност не е. Причината да върши толкова добра работа е понеже така е дефиниран радианът. Един радиан се дефинира като ъгъла, през който трябва да преминеш, така че дължината на дъгата да е равна на радиуса на тази окръжност. Това не е изненада. Това е било избрано и дефинирано стратегически, така че да можем да използваме тази мерна единица и получаваме лесен начин да преобразуваме между ъгловото преместване – през колко радиана се е завъртяло нещо – и колко метра реално е изминало през дъгата си. Тази дължина на дъгата ще има мерни единици метри, стига да измерваме радиуса в метри. Това е една зависимост между ъгловото преместване – с какъв ъгъл се е завъртяло нещо – и колко метра реално е изминало. Следващата зависимост, за която искам да говоря, свързва ъгловата скорост с нормалната скорост. Приомни си, че в предишното видео дефинирахме ъгловата скорост като ъгловото преместване върху времето. Това е скоростта, с която нещо се върти през определен ъгъл. И буквата, която използваме, за да представим ъгловата скорост, беше гръцката буква омега. Тази ъглова скорост представяше скоростта, с която нещо в окръжност. Това се върти бавно, ще има малка ъглова скорост. Ако се върти бързо, ще има голяма ъглова скорост. Очевидно големината на скоростта и ъгловата скорост ще са свързани, понеже колкото по-голяма е ъгловата скорост, толкова по-голяма е скоростта. Но каква е зависимостта? Как ще стигнем от ъгловата скорост до нормалната скорост? Не е толкова трудно, понеже просто трябва да преобърнем тази цифра радиани в секунда в метри в секунда и мога да направя това. Ако умножим двете страни на това уравнение тук долу по R, ще получа, че R по омега ще е равно на R по делта тита и все още трябва да разделя на делта t. Просто умножаваш двете страни на това уравнение по R. Но виж какво получавам. R по делта тита е просто дължината на дъгата. Цялата страна тук е просто колко метра е изминал този обект по ръба на окръжността, делено на времето, което е било нужно. Но това е просто големината на скоростта. Дължината на тази дъга е просто разстоянието, което обектът е изминал, а времето е времето, което му е било нужно, а разстоянието за времето е просто големината на скоростта. Това е големината на скоростта на обекта. Ще запиша това като v, въпреки че това не е скорост. Това не е вектор и не е скорост, понеже, помисли, дължината на дъгата не е преместването. Това беше разстоянието, което обектът е изминал. Разстоянието върху времето е просто големината на скоростта. Преместването върху времето е скоростта. Не използвахме преместването. Преместването беше странно и не исках да се занимаваме с това. След като избираме да работим с дължината на дъгата, което е разстояние, ще свържем ъгловата скорост с големината на скоростта. Сега имаме тази зависимост. Виж това. Това е R, радиусът, по ъгловата скорост е равно на големината на скоростта на обекта. Това е зависимостта между ъгловата скорост и големината на скоростта. Големината на скоростта ще е равна на радиуса на кръговия път, по който обектът се движи, по ъгловата скорост. Трябва да оградя тези. Те са важни. Тази формула за дължината на дъгата е начинът да свържеш броя радиани, през които се е завъртял обекта, с това каква дължина на дъгата е изминал, тоест какво разстояние е преминал. Тази формула тук долу свързва ъгловата скорост омега, броят радиани в секунда, с които нещо се върти, с това с колко метри в секунда се движи. С други думи, колко метра в секунда изминава по дължината на тази дъга. Това е добре. Сега знаем как да свържем ъгловото преместване с разстоянието, което обектът е изминал, и знаем как да свържем ъгловата скорост с големината на скоростта на обекта, така че вероятно знаеш какво следва. Трябва да свържем ъгловото ускорение с нормалното ускорение. Казваме, че ъгловото ускорение, което представихме с гръцката буква алфа, беше определено като промяната в ъгловата скорост върху времето. То е скоростта, с която ъгловата скорост се променя. Тук се движи с постоянна скорост. Нямаме ъглово ускорение, понеже няма промяна в омега. Но ако омега започне бавно, а после стане по-бърза и по-бърза, тогава имаш ъглово ускорение. Вероятно не е изненада, че ако имаш ъглово ускорение, топката също ще има нормално ускорение, понеже ускорява в своето ъглово въртене. Ще променя и скоростта си. Как правим това? Как свързваме ъгловото ускорение с нормалното ускорение? Най-простото нещо да направиш е – ще работим тук долу. Ще умножим двете страни на уравнението ни по радиуса и намираме зависимостта, която свързва големината на скоростта с ъгловата скорост. Нека изпробваме това отново. Нека умножим двете страни на това уравнение по радиуса и да видим какво ще получим. Вляво можем да получим радиуса по ъгловото ускорение. Това ще е равно на радиуса по промяната в ъгловата скорост върху промяната във времето. Тук просто умножих двете страни на това уравнение. Това е дефиниция на ъгловото ускорение според радиуса. Да видим какво получаваме вдясно. Получихме R по делта омега. Това всъщност е R по промяната в омега. Това е просто крайната омега минус началната омега и просто деля на делта t, така че да мога да разпределя R и получавам това. Това ще е равно на R по крайната омега минус R по началната омега, делено на общото време, което е било нужно. Но виж какво се случва. Получихме R по крайната омега и R по началната омега. Знаем колко е R по омега. Това е големината на скоростта – не скоростта, а големината на скоростта. Мога да преобразувам това. Мога да кажа, че това е крайната големина на скоростта минус началната големина на скоростта върху времето, което е било нужно, за да променим големината на скоростта с толкова. Това е, ако просто преобразувам лявата страна, на това е равно R по алфа. Ако бях теб, щеше да ми се иска да кажа, че сме готови. Tова е ускорението, което е промяната в големината на скоростта върху времето. Но трябва да внимаваш. Ускорението, реалният вектор на ускорението, е промяната в скоростта върху времето, но това не са вектори на скоростта. Това бяха големини на скоростта. Това не е реалният вектор на ускорението. Това е нещо по-различно. Това е промяната в големината на скоростта върху времето. Това все още е ускорение, но не е задължително цялото ускорение, понеже има два начина за ускоряване. Можеш да промениш големината на скоростта си или да промениш посоката си. По същество, това ускорение, което току-що намерихме, не взима предвид ускорението, което идва от промяната на посоката. Това е само ускорението, което ще променя големината на скоростта. Ако бях теб, вероятно в този момент щях да съм объркан. Нека опитам да ти покажа какво означава това. Ако тази топка се върти в кръг, просто поради самия факт, че топката се върти в кръг, тя трябва да ускорява, дори ако топката не увеличава или намалява скоростта си. Тук трябва да има ускорение, понеже тази топка променя посоката на скоростта си. Тоест тук трябва да има една сила. Това е центростремителна сила, която в този случай ще е силата на опън. Ще има и центростремително ускорение, което променя посоката на скоростта. То не е това ускорение ето тук. Това е различно ускорение. Знаем, че центростремителното ускорение е насочено навътре. Вече знаем как да намерим това центростремително ускорение. Спомни си формулата за центростремителното ускорение е големината на скоростта на квадрат, делена на радиуса. Тази компонента, това центростремително ускорение е компонентата на ускорението, която променя посоката на скоростта. И ще кажа това отново, понеже е важно. Центростремителното ускорение, което можеш да намериш с v^2/R е компонентата на ускорението, която променя посоката на скоростта. Ако нещо се върти в окръжност, то трябва да има центростремително ускорение. Но тази компонента на ускорението, която намерихме тук долу, е различна. Тя променя големината на скоростта. Не е нужно да имаш това, ако се въртиш в кръг. Можеш да си представиш нещо, което се движи в кръг с постоянна скорост. Ако това се случва, това има центростремително ускорение, но няма това нещо тук долу, понеже това – намерихме, че R по алфа е промяната в големината на скоростта на обекта за времето. Как ще начертая това тук горе, ако исках да представя това а, което намерихме тук долу, нагледно? Ще начертая допирателна на посоката на движение, тоест допирателна до окръжността, понеже компонентите на ускорението, които са насочени перпендикулярни на скоростта, променят посоката на скоростта, но компонентите на ускорението, които са насочени успоредно на посоката на скоростта, променят големината на скоростта. За да промениш големината на скоростта – с други думи, за да увеличиш или намалиш скоростта на даден обект – ти трябва компонента на това ускорение, която е или в посоката на движението или в противоположна на посоката на движението. Ако беше в противоположна на посоката на движението, ускорението ще намалява скоростта на обекта. Ако компонентата на ускорението е в посоката на движението, тогава тя увеличава скоростта на обекта. Това открихме тук долу. Това е компонентата на ускорението, R алфа, и затова често се нарича допирателно ускорение. Ще запиша това тук. Допирателното ускорение, което е равно на R по алфа, радиусът по ъгловото ускорение, е компонентата на ускорението, която променя големината на скоростта. За да направи това, трябва да е насочена допирателно на посоката на движението. Това представлява R по алфа. Нека оградя това. То е важно. Това е формулата за намиране на допирателното ускорение. Тя не ти дава общото ускорение. Знаем, че винаги има компонента на ускорението, която действа центростремително, ако обект се движи в кръг, и можеш да намериш това с v^2/R. Но ако обектът, който се движи в кръг, също увеличава скоростта си, не само се движи в кръг, но и променя големината на скоростта си, той също ще има тази компонента на ускорението, която е допирателното ускорение. В този момент може да се объркаш, понеже имаме допирателно ускорение и имаме центростремително ускорение. Кое от тях е ускорението? И двете са просто компоненти на общото ускорение, което можеш да намериш, ако искаш. Можеш да кажеш, че общото ускорение на квадрат... Можеш да използваш питагоровата теорема, понеже това са двете перпендикулярни компоненти на общото ускорение. Казахме, че общото ускорение на квадрат ще е равно на допирателното ускорение на квадрат плюс центростремителното ускорение на квадрат. Това, което ще намерим, е общото ускорение на квадрат, което, ако искаш посока, посоката на това общо ускорение ще сочи някъде насам. Ако имаше центростремително ускорение навътре и, да кажем, обектът увеличаваше скоростта си... Да кажем, че не забавя. Тоест нямаш тази компонента. Имаш тази компонента напред и тази компонента навътре. Общото ускорение ще е насочено някъде насам. След като можеш да образуваш правоъгълен триъгълник от това с тези две страни, можеш да си представиш преместване това центростремително ускорение насам към тази страна, и можеш да намериш хипотенузата, която ще е общото ускорение, просто като вземеш допирателното ускорение на квадрат плюс центростремителното ускорение на квадрат. После, ако намериш квадратния корен, това ще ти даде големината на общото ускорение. Да обобщим, има две компоненти на ускорението – допирателното ускорение, което е R по алфа, или намалява, или увеличава скоростта на обекта, центростремителното ускорение променя посоката на движение на обекта. Свързваш големината на скоростта на един обект с ъгловата скорост чрез умножаване по R. Можеш да свържеш дължината на дъгата, тоест разстоянието, което обектът е изминал покрай ръба на тази окръжност, с ъгловото преместване, като също умножиш по R. Чрез тези три уравнения свързваш променливата за ъглово движение със съответната ѝ линейна променлива.