Задачи за въртене без приплъзване

Последният път видяхме, че има два вида кинетична енергия – транслационна и ротационна – но не е задължително тези кинетични енергии да са пропорционални една на друга. С други думи, не е задължително количеството транслационна кинетична енергия да е свързано с количеството ротационна кинетична енергия. Но има цял друг клас задачи, един често срещан вид задачи, при който тези енергии са пропорционални. За това ще говорим този път. И това се получава в този случай. Представи си следното. Представи си, че вместо да хвърляме тази бейзболна топка, търкулнем бейзболната топка по цимента. Да кажем, че взимаме тази бейзболна топка и просто я търкулваме по цимента. Какво ще направи? Ще се върти, докато се движи напред. Ще направи нещо, което наричаме търкаляне без плъзгане. Поне е много вероятно тази бейзболна топка да направи това. Освен ако не търкулнеш тази бейзболна топка много силно или земята е скована в лед, вероятно няма да се плъзга по земята или дори да го направи, това ще спре много бързо, понеже ще започне да се търкаля и това търкаляне ще продължи с движението напред. Когато имаш повърхност като кожа срещу цимент, тя ще може да се захване към повърхността достатъчно, че докато тази топка се движи напред, да се търкаля и това търкалящо движение продължава, така че повърхностите никога не се плъзгат една към друга. С други думи, топката ще се движи напред, но няма да се плъзга по земята. Няма да има плъзгащо движение по тази горна повърхност тук, което означава, че във всеки даден момент – малко е странно да мислим за това – във всеки даден момент тази бейзболна топка, която се търкаля по земята, има скорост от 0 на най-долния си край. Тази долна повърхност тук всъщност не се движи по отношение на земята, понеже иначе щеше да се плъзга по земята. Но тази точка тук, която е в контакт със земята, всъщност не се плъзга по земята, а това означава, че тази точка тук върху бейзболната топка има скорост 0. Това е странно – скорост 0. И още по-странно е, че това означава, че когато караш по магистралата с висока скорост, без значение колко бързо караш, най-долната част на гумата ти има скорост 0. Не се движи по отношение на земята. Движи се само останалата част на гумата, която се върти около тази точка. Тази точка се заседява тук за една кратка секунда. Благодарение на това, гумата може да се избута около тази точка и после една нова точка става точката, която не се движи, а после това бива завъртяно около тази точка и после една нова точка е точката, която не се движи. Те се редуват, много са мили. Други точки се движат. Тази точка тук горе се движи много бързо в сравнение със земята. Но точката, която докосва земята, освен ако не караш опасно, не трябва да се плъзгаш тук. Ако всичко работи както трябва, при нормални условия, долната част на гумата ти не трябва да се плъзга по земята и това означава, че долната точка на гумата ти всъщност не се движи по отношение на земята, което означава, че за една кратка секунда тя е неподвижна. Няма скорост. Това имаме предвид под търкаляне без плъзгане. Защо това е толкова важно? Ще ти покажа защо това е толкова важно. Това предполага, че тези две кинетични енергии тук са пропорционални. И още повече, предполага, че тези две скорости – скоростта на центъра на масата и тази ъглова скорост, също са пропорционални. Това искам да ти покажа тук. Как доказваме това? Как доказваме, че скоростта на центъра на масата е пропорционална на ъгловата скорост? Представи си, че покрием външната част на бейзболната топка с боя. И ще я търкулна на земята. Ще я търкулна, без да я плъзгам. Да кажем, че просто покрия тази външна част с боя, тоест тук има боя. И да кажем, че търкулна тази бейзболна топка напред. Какво ще видим на земята? Ще видим, че тя ще отбележи разстояние, което е равно на това колко надалеч се е търкулнала. Ако се е търкулнала до тази точка, с други думи, ако тази бейзболна топка се върти толкова надалеч, тя ще се е придвижила напред точно с дължина на дъгата напред, нали така? Понеже, ако тази бейзболна топка се търкаля, без да се плъзга, тогава докато тази бейзболна топка се върти напред, тя ще се е придвижила напред точно с дължината на дъгата. С други думи, ако развиеш тази лилава форма или ако разгледаш пътя, който тя ще измине на земята, той ще е точно толкова, колкото дължината на дъгата. И защо ни интересува това? Защо ни интересува, че изминава дължината на дъгата напред? Понеже това означава, че центърът на масата на тази бейзболна топка е изминал тази дължина на дъгата напред. Центърът на масата на тази бейзболна топка се е придвижил с толкова напред. Това е разстоянието, на което центърът на масата се е преместил и знаем, че това е равно на дължината на дъгата. Каква е дължината на дъгата? Помни, имаме формула за това. Ако нещо се завърти през определен ъгъл... Ако вземем предвид ъгъла оттук дотук и си представим радиуса на бейзболната топка, дължината на дъгата ще е равна на r по промяната в тита, през каква тита се е завъртяло това нещо. Но отбележи, че това не е вярно за всяка точка на бейзболната топка. Да вземем предвид тази точка на върха. Тя се е въртяла около центъра на масата, докато центърът на масата се е движил напред, така че е поела по някакъв сложен изкривен път през пространството. Това може да е изглеждало така. Не е задължително това разстояние тук да е равно на дължината на дъгата, но центърът на масата не се е въртял около центъра на масата, понеже той е центърът на масата. Центърът на масата тук на тази бейзболна топка просто се е движил в права линия и затова можем да кажем, че изминатото разстояние от центъра на масата на бейзболната топка е просто равен на дължина на дъгата, през която тази бейзболна топка се е въртяла. С други думи, равен е на дължината, боядисана на земята, така да се каже. Защо ни интересува това? Защо ни интересува, че разстоянието, което изминава центърът на масата, е равно на дължината на дъгата? Ето защо ни интересува – виж това. Можем да разделим двете страни на времето, което е било нужно, и виж какво получаваме – получаваме разстоянието, на което центърът на масата се е придвижил, върху времето, което е било нужно. Това е просто големината на скоростта на центъра на масата и получаваме, че това е равно на радиуса по делта тита върху делта t, а това е просто ъгловата скорост. Това ни показва, че големината на скоростта на центъра на масата за нещо, което се върти без да се плъзга, е равна на радиуса на този обект по ъгловата скорост около центъра на масата. Големината на скоростта на центъра на масата е равна на r по ъгловата скорост около този център на масата. И това е важно. Искаш да запомниш това, понеже когато в една задача се казва, че нещо се върти или се търкаля, без да се плъзга, това е все едно кодова дума за v = r по омега, където v е големината на скоростта на центъра на масата, а омега е ъгловата скорост около този център на масата. Може би не те впечатлих. Може би си казваш: "Чакай малко. Не знаехме ли вече това? Не знаехме ли, че v = r по омега?" Да, знаехме, но това е различно. Това v, което показахме тук долу, е v на центъра на масата, големината на скоростта на центъра на масата. Това v тук горе беше за големината на скоростта в някаква точка от обекта на разстояние r от центъра и беше по отношение на центъра на масата. С други думи, да кажем, че имаме бейзболна топка, която се върти. Ако искаме да знаем колко бързо се е движила тази точка, v, която е на разстояние r от центъра, в сравнение с ъгловата скорост. Ако това нещо се върти ето така, това ще има някаква големина на скоростта, v, но това е големината на скоростта, v, по отношение на центъра на масата. Това, което намерихме в това уравнение, е нещо по-различно. Това е големината на скоростта на центъра на масата. Това ни казва колко бързо се движи този център на масата, а не просто колко бързо се движи една точка на бейзболната топка в сравнение с центъра на масата. Това ни дава начин да определим каква е била големината на скоростта на центъра на масата. И се оказва, че това е много полезно и има много подобни задачи. Сега ще ти покажа. Нека направим няколко примера. Нека се отървем от всичко това. Нека направим тази задача тук. Да кажем, че вземеш един твърд цилиндър от 5 килограма, който има радиус 2 метра, и навиеш нишка около него и завържеш свободния край за тавана, и го пуснеш – оставиш този цилиндър да се развие надолу. Докато се търкаля, той ще се движи надолу. Да кажем, че го пуснеш от височина 4 метра. И искаш да знаеш колко бързо ще се движи този цилиндър. Колко бързо ще се движи този център на масата, точно преди да удари земята? Това искаме да знаем. Наричаме това йо-йо, но не е точно йо-йо. Едно йо-йо има кухина във вътрешността си и може би нишката е увита около един малък улей, който е само толкова голям. Ние навиваме нишката си около външния ръб и това ще е важно, понеже това е случай, при който имаме търкаляне без плъзгане. Може да си кажеш: "Това дори не се търкаля", но това все още е същата идея – просто си представи, че нишката е земята. Все едно имаш колело или топка, което се търкаля по земята и не се плъзга по отношение на земята, само че този път земята е нишката. Трябва да приемем, че този цилиндър не се плъзга по отношение на нишката. Ще приемем, че това йо-йо се развива, но нишката не се плъзга по повърхността на цилиндъра и това означава, че можем да използваме онова, което намерихме преди – че големината на скоростта на центъра на масата на този цилиндър ще трябва да е равна на радиуса на цилиндъра по ъгловата големина на скоростта на цилиндъра, тъй като центърът на масата на този цилиндър ще се придвижи надолу на разстояние, равно на дължината на дъгата, маркирана от външния край на цилиндъра. Но това не ни позволява да решаваме, понеже, виж, не знам големината на скоростта на центъра на масата и не знам ъгловата скорост, така че тук ни трябва друго уравнение, друга идея и тази идея ще е запазването на енергията. Тази задача просто си умира да бъде решена със запазване на енергия, така че нека направим това. Ще поставим всичко в системата си. Ще кажем, че енергията бива запазена. Започваме от височина от 4 метра. Това означава, че започваме с потенциална енергия. Ще кажа, че това започва с mgh и в какво се превръща това? Този цилиндър, когато стигне до земята, вече няма потенциална енергия, стига да имаме предвид най-долната точки, където h е равно на 0. Но това ще се движи, така че ще има кинетична енергия, и не просто ще има транслационна кинетична енергия. Ще има транслационна кинетична енергия, понеже центърът на масата на този цилиндър ще се движи. Центърът на масата на този цилиндър ще има големина на скоростта, но също ще има ротационна кинетична енергия, понеже цилиндърът ще се върти около центъра на масата, за същото време, за което центърът на масата се движи надолу, така че трябва да добавим 1/2I по омега на квадрат. И все още изглежда сякаш не можем да решаваме, понеже, виж, не знаем v и не знаем омега, но това е ключът, това е причината да трябва да знаеш тази формула и да прекараме 5-6 минути в извличането ѝ. Това е връзката между v и омега. Можем да поставим цялата тази формула тук по отношение на една променлива, като заместим или v, или омега. Ще заместя омега, понеже искаме да намерим v. Просто ще кажа, че омега – можеш да преобърнеш това уравнение и просто да кажеш: "Омега е равна на големината на скоростта на центъра на масата, делена на радиуса." Ще използвам това по този начин, току-що реших за омега, ще въведа това за омега. Да видим какво се случва, когато получиш v на центъра на масата делено на радиуса – и не трябва да забравяш да го повдигнеш на квадрат – повдигаме това на квадрат. След като повдигнем това на квадрат отново ще получим същото нещо, така че ще копирам това, ще го поставя отново, но целият този член ще бъде на квадрат. Тоест ще имам v на центъра на масата на квадрат върху радиуса на квадрат. И сега това изглежда много по-добре. Имаме само една променлива, която не знаем и тя е v на центъра на масата. Това I може би те стряска. Това е инерционният момент. Какво правим с него? С инерционния момент на един цилиндър – често трябва просто да ги проверяваш. Оказва се, че инерционният момент на един цилиндър е 1/2m, масата на цилиндъра, по радиуса на цилиндъра на квадрат. Можем да вземем това, да го въведем за I и какво ще получим? Ако просто копирам това и го поставя отново, ако заместим I, моментът на инерция – ще преместя малко това – моментът на инерция беше 1/2mr^2. Ще имам 1/2 и това е добавка към това 1/2, тоест това 1/2 вече беше тук. Това е друго 1/2 от момента на инерция, 1/2mr^2, но това r е същото като това r. Така че, виж, имаме r^2 и 1/r^2 – тези се съкращават и това е много странно. Няма значение какъв е радиусът на този цилиндър. И ето още нещо странно. Не само, че радиусите се съкращават, но и всички тези членове съдържат маса. Без значение каква е масата на цилиндъра всички те ще стигнат до земята със същата големина на центъра на масата. С други думи, всички йо-йо-та с една и съща форма ще стигнат до земята с една и съща скорост, стига всичко друго да е еднакво, когато игнорираме въздушното съпротивление. Без значение колко голямо е йо-йо-то или колко е масивно, или какъв е радиусът, всички те трябва да стигнат до земята с една и съща скорост, което е малко странно. Най-накрая можем да намерим центъра на масата. Имаме това в дясната страна. В лявата страна имаме само gh. Тези ще са равни, така че получаваме 1/2 по v на центъра на масата на квадрат плюс 1/4 по v на центъра на масата на квадрат. Това просто е равно на 3/4 по големината на скоростта на центъра на масата на квадрат. Ако вземеш 1/2 плюс 1/4, получаваш 3/4. Ако търся тази големина на скоростта на центъра на масата ще получа, ако умножа gh по 4/3, и намираме квадратния корен, ще получим корен квадратен от 4gh/3. И сега мога да въведа числата. Ако искам, можга просто да кажа, че това ще е равно на корен квадратен от 4 по 9,8 метра в секунда на квадрат, по 4 метра, оттам започнахме, това беше височината ни, делено на 3. Това ще ни даде големина на скоростта на центъра на масата от 7,23 метра в секунда. Ето нещо, което да помниш – може да има други задачи, които изглеждат различно от тази, но начинът на решаване може да е идентичен. Например можем просто да вземем цялото това решение тук – ще копирам това. Нека изпробвам нова задача, тя ще е лесна. Няма да отнеме много време. Да кажем, че вземем същия цилиндър и в начало е в покой, и го го пуснем от върха на един наклон, който е висок 4 метра, и го оставим да се търкаля, без да се плъзга до долната част на наклона. И отново питаме колко бързо ще се движи центърът на масата на този цилиндър, когато стигне долната част на наклона. Това е същата задача. Изглежда различно от другата задача, но концептуално и математически, това е същото изчисление. Това нещо започна с потенциална енергия, mgh, и запазването на енергия ни казва, че това трябваше да се превърне в ротационна кинетична енергия и транслационна кинетична енергия. Отново, ако това е цилиндър, моментът на инерция е 1/2mr^2. И ако се търкаля, без да се плъзга, отново, можем да заместим омега с v/r, тъй като тази зависимост е вярна за нещо, което се върти без да се плъзга. Тези m също ще се съкратят и получаваме същото изчисление. Този цилиндър отново ще се движи със 7,23 метра в секунда. С толкова ще се движи центърът на масата, когато се търкаля надолу по рампа, която е висока 4 метра. Да обобщим, въпреки че големината на скоростта на центъра на масата за един обект не е задължително пропорционална на ъгловата скорост на този обект, ако обектът се върти или се търкаля, без да се плъзга, зависимостта е вярна. И това ти позволява да превърнеш уравнения, които биха имали две неизвестни, в уравнения, които имат само една неизвестна. Което след това ти позволява да намериш големината на скоростта на центъра на масата на обекта.