Сумарно електрично поле от няколко точкови заряда в две измерения

Нека опитаме нещо трудно. Това е класика. Да кажем, че имаш два заряда. +8 нанокулона и -8 нанокулона. И вместо да питаме какво е електричното поле някъде по средата, което е задача за едноизмерното пространство, ще попитаме какво е електричното поле тук горе, в тази точка Р. Това е задача от двуизмерното пространство, понеже ако искаме да намерим сумарното електричното поле тук горе, големината и посоката на сумарното електрично поле в тази точка, в началото подхождаме по същия начин. Казваме, че всеки заряд ще създаде поле тук горе, което отива в определена посока. Този положителен заряд създава поле тук горе, което отива радиално навън от него и радиално надалеч от този положителен заряд в точка Р е нещо подобно. Ще нарека това електрично поле синьо Е, понеже е създадено от този син положителен заряд. А този отрицателен заряд създава свое собствено електрично поле в тази точка, което отива радиално към отрицателния заряд, а радиално към отрицателния заряд ще изглежда ето така. Ще нарека това електрично поле жълто Е, понеже е създадено от жълтия заряд. Дотук добре. Същият подход, но сега нещата стават малко странни. Виж, тези полета дори не сочат в една и съща посока. Те лежат в тази двуизмерна равнина и искаме да намерим сумарното електрично поле. При тези задачи с двуизмерно електрично поле разделяме електричните полета на техните компоненти. С други думи, полето, създадено от този положителен заряд, ще има хоризонтална компонента и тя ще сочи надясно. Ще нарека това синьо Ех, понеже това беше хоризонталната компонента, създадена от синия положителен заряд. И това електрично поле ще има вертикална компонента, която ще сочи нагоре. Ще нарека това синьо Еу. И подобно, за електричното поле, което създава този отрицателен заряд – то има хоризонтална компонента, която сочи надясно. Ще наречем това жълто Ех. И вертикална компонента, но тази вертикална компонента сочи надолу. Ще нарека това жълто Еу. Какво правим с всички тези компоненти, за да намерим сумарното електрично поле? Обикновено при тези двуизмерни електрични задачи се фокусираш върху намирането на компонентите на сумарното електрично поле във всяка посока поотделно. Разделяме и владеем. Ще попитаме каква е хоризонталната компонента на сумарното електрично поле и каква е вертикалната компонента на сумарното електрично поле. И след като знаем тези, можем да ги комбинираме, като използваме питагоровата теорема, ако искаме, за да получим големината на това сумарно електрично поле. Но в тази задача имаме късмет. Има определено количество симетрия в тази задача и когато има определено количество симетрия, можеш да спестиш доста време. Имам предвид, че и двата от тези заряда имат една и съща големина на заряда. И понеже тази точка, Р, лежи точно по средата им, разстоянието от заряда до точка Р ще е същото като разстоянието от отрицателния заряд до точка Р, така че в тази точка и двата от тези заряди създават електрично поле с еднаква големина. Полетата просто сочат в различни посоки и това означава, че този положителен заряд ще създаде електрично поле, което има някаква вертикална компонента нагоре с някакво положително количество. Не знаем точно колко е това, но ще е положително число, понеже сочи нагоре. А този отрицателен заряд ще създаде електрично поле, което има вертикална компонента надолу, която ще е отрицателна, но ще има същата големина като вертикалната компонента на синьото електрично поле. С други думи, полето, създадено от положителния заряд, е точно толкова нагоре, колкото полето, създадено от отрицателния заряд, е надолу. Когато ги събереш, когато събереш тези две вертикални компоненти, за да намериш вертикалната компонента на сумарното електрично поле, просто ще получиш 0. Те ще се съкратят напълно, което е хубаво, понеже означава, че трябва да се тревожим само за хоризонталните компоненти. Те не се съкращават. Как така не се съкращават? Понеже и двете сочат надясно. Ако едното сочеше надясно, а другото сочеше наляво, тогава хоризонталните компоненти щяха да се съкратят, но тук не се случва това. Тези компоненти се събират, за да образуват обща компонента в посока х, която е по-голяма от всяка от тях. Всъщност ще е два пъти толкова голяма, понеже всеки заряд създава едно и също количество електрично поле в тази посока х, поради симетрията на тази задача. Сведохме тази задача единствено до намиране на хоризонталната компонента на сумарното електрично поле. За да намерим това, ни трябват хоризонталните компоненти на всяко от тези отделни електрични полета. Ако мога да намеря хоризонталната компонента на полето, създадено от положителния заряд, това ще допринася положително за общото електрично поле, тъй като сочи надясно, и ще добавя това към хоризонталната компонента на жълтото електрично поле, понеже то също сочи надясно. Въпреки че зарядът, който създава полето, е отрицателен, хоризонталната компонента на това поле е положителна, понеже сочи надясно. Ако мога да намеря тези двете, просто ще ги събера и ще получа общото електрично поле в посока х. Как да получа тези? Как да определя тези хоризонтални компоненти? За да получа хоризонталната компонента на това синьо електричnо поле, първо трябва да намеря каква е големината на това синьо електричnо поле. Знаем формулата за това. Ще я запиша ето тук. Големината на електричното поле винаги е kQ/r^2. За това синьо поле ще кажем, че Е е равно на 9 по 10^9, а зарядът е 8 нанокулона. Нано означава 10^(-9). И после делим на r, но колко е r в този случай? Не е 4 или 3. Спомни си, че r в тази формула за електричното поле винаги е от заряда до точката, в която опитваш да определиш електричното поле. Тоест r е това. Това разстояние е r. Как да намерим колко е това? Имаме късмет. Ако знаеш за триъгълниците 3-4-5, виж, това образува 3, тази страна е 3 метра, а тази страна е 4 метра. Това означава, че автоматично знаем, че тази страна е 5 метра. Ако не ти е удобно да използваш това, винаги можеш да използваш питагоровата теорема. Питагоровата теорема казва, че a^2 + b^2 = c^2 в един правоъгълен триъгълник, какъвто имаме тук. 'а' е тази страна, 3. b е страната от 4 метра. А 'с' ще е r, ще наречем това r^2. И ако решиш това, за да получиш r, корен квадратен от (19 + 6) ти дава, че r е 5 метра, точно както казахме. Но ако знаеш за триъгълниците 3-4-5, това е хубаво, понеже можеш просто да използваш това. И това е r, което ще използваме тук горе. Ще използваме 5^2, което, ако изчислиш, получаваш, че електричното поле е 2,88 нютона на кулон. Това е големината на електричното поле, създадено в тази точка, Р, от положителния заряд. Как получаваме хоризонталната компонента на това поле? Има няколко начина да направим това. Един начин е, първо, нека намерим този ъгъл тук. Ако можем да намерим какъв е този ъгъл, можем да използваме тригонометрия, за да получим хоризонталната компонента. Как да намеря този ъгъл? Забележи, че този ъгъл ще е същият като този ъгъл тук долу. Това ще са подобни ъгли, понеже имам хоризонтални прави, а тази диагонална права просто преминава право през тях. Този ъгъл тук е същият като този ъгъл, така че ако мога да намеря този ъгъл тук, тогава съм намерил и този ъгъл тук горе. Как получавам този ъгъл? Знам всяка страна на този триъгълник, така че мога да използвам или синус, или косинус, или тангенс. Просто ще използвам тангенс. Ще кажем, че тангенсът на този ъгъл е дефиниран като срещулежащата страна върху прилежащата страна. Знаем, че срещулежащата на този ъгъл страна е 4 метра, а прилежащата страна беше 3 метра, така че тангенс от тита ще е равно на 4/3. Как получаваме тита? Казваме, че тита ще е равно на аркустангенс от 4/3. Взимаме аркустангенс от двете страни. Вляво получаваме тита и, ако въведеш това в калкулатора си, получаваш 53,1 градуса. Това е този ъгъл тук. Това е 53,1 градуса, но това означава, че този ъгъл тук също е 53,1 градуса, понеже тези ъгли са еднакви. Тази хоризонтална компонента не е същата като тези 3 метра. И това диагонално електрическо поле не е 5 метра, но ъгълът между тези компоненти е същият като ъгъла между тези компоненти на дължината. Какво правя, за да получа тази хоризонтална компонента? Това е прилежащата на този ъгъл страна, така че това Ех е прилежащата на този ъгъл. Ще използваме косинус. Ще кажем, че косинус от 53,1 градуса ще е равно на прилежащата страна, която е Ех. Ще запишем това като Ех, делено на хипотенузата и намерихме хипотенузата. Това е големината на общото електрично поле тук, което е хипотенузата на този триъгълник, тоест това е 2,88. И получаваме, че Ех ще е 2,88 нютона на кулон по косинус от 53,1 което, ако въведеш това в калкулатора, ще ти даде 1,73 нютона на кулон. Толкова електрично поле създава този положителен заряд в посока х. Такава е тази компонента тук горе. Това е 1,73 нютона на кулон. Толкова е това. Това ще въведа тук. За да получиш хоризонталната компонента на жълтото поле, създадено от отрицателния заряд, можеш отново да преминеш през всичко това или можеш да забележиш, че поради симетрията, тази хоризонтална компонента трябва да е точно същата като тази хоризонтална компонента, създадена от положителния заряд. И двете са 1,73, и двете са положителни, понеже и двете от тези компоненти сочат надясно. За да получим общото електрично поле в посока х, ще вземем 1,73 от положителния заряд и ще добавим това към хоризонталната компонента от отрицателния заряд, която също е +1,73, за да получим, че хоризонталната компонента в посока х на сумарното електрично поле е равна на 3,46 нютона на кулон. Това е хоризонталната компонента на сумарното електрично поле в тази точка. Взехме тези две стойности и ги събрахме, което просто е едното от тях по 2. И сега може да се разтревожиш – това е просто хоризонталната компонента на сумарното електрично поле. Как получаваме големината на общото сумарно електрично поле? Това ще е същата стойност, понеже тъй като няма вертикална компонента на електричното поле, хоризонталната компонента ще е равна на големината на общото електрично поле в тази точка. Ако имаше вертикална компонента на електричното поле, щеше да трябва да използваме питагоровата теорема, за да получим общата големина на сумарното електрично поле, но тъй като имаше само хоризонтална компонента и вертикалните компоненти се съкратиха, общото електрично поле просто ще сочи наляво и ще е равно на две по едната от тези хоризонтални компоненти, което, когато ги събереш, ти дава 3,46 нютона на кулон. Това е големината на сумарното електрично поле, а посоката му ще е право надясно. Да обобщим, когато имаш задача с двуизмерно електрично поле, начертай полето, създадено от всеки заряд, раздели тези полета на отделните им компоненти. Ако има някаква симетрия, намери кои компоненти се съкращават, а после, за да намериш сумарното електрично поле, използвай компонентата, която не се съкращава, и определи колко допринася всеки заряд в тази посока. Събери или извади в зависимост дали тези компоненти сочат надясно, или наляво, и това ще ти даде сумарното електрично поле в тази точка, създадено от двата заряда.