Извеждане на уравнението на Бернули, част 1

Да кажем, че имаме една тръба отново – това е отворът – и през нея преминава течност. Течността се движи със скорост v1. Налягането, навлизащо в тръбата, е Р1, а площта на този отвор на тръбата е А1. И после има тръба, дори може да отиде нагоре. И другият край е още по-малък. Течността излиза от тръбата със скорост v2, налягането, което прилага, докато излиза – ако имаше мембрана отвън, налягането, което щеше да приложи върху нея, докато избутва съседната вода, е Р2, а площта на по-малкия отвор – не е нужно да е по-малък – е А2. Да кажем, че този отвор е при височина, средно, от h1, а водата, която излиза през този отвор, е на средна височина h2. Няма да се тревожим прекалено за диференциала между горната част на тръбата и долната част на тръбата. Ще приемем, че тези h са много по-големи, в сравнение с големината на тръбата. Височината на това е h2. Като решихме това – и помни, през това нещо преминава течност – нека се върнем към това, което постоянно виждаме, което е законът за запазване на енергията, който е, че във всяка затворена система количеството енергия, която поставяш в нещо, е равно на количеството изходяща енергия. Енергията навътре е равна на енергията навън. Каква е енергията, която поставяш в системата, или с която системата започва в този край? Това е работата, която влагаш, плюс потенциалната енергия в тази точка от системата, плюс кинетичната енергия в тази точка от системата. Тогава от закона за запазване на енергията знаем, че това трябва да е равно на изходящата работа плюс изходящата потенциална енергия, плюс изходящата кинетична енергия. Много пъти в миналото просто казвахме, че входящата потенциална енергия плюс входящата кинетична енергия е равно на изходящата потенциална енергия плюс изходящата кинетична енергия, но началната енергия в системата също може да бъде получена чрез работа. Просто добавихме работата към това уравнение, което казва, че енергията навътре е равна на енергията навън. С тази информация да видим дали можем да направим нещо интересно с тази тръба, която начертах. Каква е работата, която бива въведена в тази система? Работата е силата по разстоянието, така че нека се фокусираме върху това. Тя е силата навътре по разстоянието навътре. И за период от време, t, какво е било извършено? В последното видео научихме, че за период от време t течността тук може да се е придвижила толкова надалеч. Какво е това разстояние? Разстоянието е входящата скорост по времето, с което работим, тоест t – това е разстоянието. Каква е силата? Силата е просто налягането по площта и можем да намерим това като просто разделим силата на площта и после умножаваме по площта. Получаваме входящата сила, делено на входящата площ, по входящата площ. Това е разделено и умножено по едно и също число – това е налягане, това е площ. Това е равно на входящото разстояние за това количество време и това е скоростта по времето, тоест входящата работа е равна на входящото налягане по входящата площ по входящата площ по времето. Какво е тази площ по скорост по време по това разстояние? Това е обемът на течността, която е изтекла за това количество време. Това е равно на обема на течността за този период от време, така че можем да наречем това обем навътре, или обем i – това е входящият обем. Знаем, че плътността е просто масата върху обема, или че обемът по плътността е равен на масата. Или знаем, че обемът е равен на масата, делена на плътността. Работата, която въвеждам в системата – знам, че правя много шантави неща, но ще видиш, че са логични – е равна на входящото налягане по количеството обем на течността, който се е преместил за този период от време. Този обем течност е равен на масата на течността, която е навлязла за този период от време – и наричаме това входяща маса – делено на плътността. Надявам се, че виждаш логиката. Както знаем, входящият обем ще е равен на изходящия обем, тоест входящата маса – понеже плътността не се променя – е равна на изходящата маса, така че не е нужно да пишем "входяща" и "изходяща" за масата. Масата ще е константа; за всеки даден период от време масата, която навлиза в системата, ще е равна на масата, която излиза от системата. Ето: имаме интересен израз за работата, която бива въведена в системата. Каква е потенциалната енергия на системата в лявата страна? Входящата потенциалната енергия на системата ще е равна на същата тази маса от течност, за която говорих, по гравитацията, по тази входяща височина – началната височина – по h1. Началната кинетична енергия на течността е равна на масата на течността – тази маса тук, на същия този обем на цилиндъра, към която продължавам да соча – по скоростта на течността на квадрат. Помним това от кинетичната енергия, делено на 2. Каква е общата енергия в тази точка от системата за този период от време? Колко енергия е навлязла в системата? Това ще е извършената работа, което е входящото налягане – свършва ми мястото, така че нека изтрия всичко това. Вероятно и времето ще ми свърши, но това не е проблем, по-добре е, отколкото да те объркам. Нека изтрия всичко. Добре, готови сме. Обратно към това, което правим. Общата енергия, влизаща в системата, е работата, извършена върху системата – и го преобразувах в този формат, което е входящото налягане – ще наречем това Р1 – по масата, делено на плътността на течността, каквато и да е тя. Работата навътре плюс – и каква е потенциалната енергия? Записах я тук – това е mgh, където m е масата на обема течност, h е нейната средна височина и почти можем да помислиш за това колко нависоко е центърът на масата над повърхността на планетата. След като тук имаме g, приемаме, че сме на Земята. Това е h1, понеже височината всъщност се променя, така че това е входящата потенциална енергия плюс кинетичната енергия mv1^2 върху 2. Това е входящата кинетична енергия. Знаем, че това трябва да е равно на енергията, излизаща от системата. Нека освободя малко място тук. За да можем да запишем всичко на чисто. Да направим място за уравненията си. Нямаше нужда да изтривам това тук. Най-вероятно няма да използвам това място тук горе. Това ще е равно на същото нещо от изходната страна. Това ще е равно на изходящата работа, тоест това ще е изходящото налягане по масата, делено на плътността, плюс изходящата потенциална енергия, което ще е просто mgh2, плюс изходящата кинетична енергия, което ще е mv2^2, делено на 2. Осъзнах, че ми свърши времето. Ще продължа това в следващото видео. Ще се видим скоро.