Векторно произведение 2

Да видим дали можем да се упражняваме още малко и да разберем логически векторните произведения. В последния пример умножихме а векторно по b. Да видим какво се случва, когато умножим b векторно по а. Нека изтрия част от това. Не искам да изтрия всичко, понеже може да е полезно, за да ни даде някаква логика да сравняваме. Ще задържа това Всъщност, мисля, че мога да изтрия това. Това беше а векторно умножено по b. Нека го премахна, за да не се объркаш. Това е картинка на мен, използващ правилото на дясната ръка, когато опитах да умножа а векторно по b, и после видяхме, че дължината на това беше 25, а n, посоката, сочеше надолу. Или, когато го начертах тук, ще сочи към страницата. Да видим какво се случва при b векторно умножено по а – просто променям реда. b векторно умножено по а. Тази дължина ще е същата, нали така? Понеже пак ще взема дължината на b по дължината на а, по синуса на ъгъла между тях, който беше пи върху 6 радиана, а после по някакъв единичен вектор n. Но това ще е същото. Когато умножа скаларни величини, няма значение в какъв ред ги умножавам. Това пак ще е 25 каквито са ми мерните единици по някакъв вектор n. И пак знаем, че този вектор n трябва да е перпендикулярен и на а, и на b, а сега трябва да намерим дали той, като е перпендикулярен, той може да сочи към страницата или може да "изскача" от страницата, да сочи навън от страницата. Кое от двете е? И после използваме дясната си ръка и отново опитваме това. Използваме дясната си ръка. Всъщност използвам дясната си ръка в момента, въпреки че не можеш да ме видиш, просто за да се уверя, че чертая правилно. В този пример, ако използвам дясната си ръка, поставям показалеца си в посоката на b. Поставям средния си пръст в посоката на а, така че средният ми пръст ще изглежда ето така. И после имам два останали пръста. После палецът отива в посоката на векторното произведение, понеже палецът ти е под прав ъгъл тук. Това е правият ъгъл на палеца ти. В този пример това е в посоката на а, това е в посоката на b и умножаваме b векторно по а. Затова показалецът е в посоката на b. Показалецът е в посоката на първия член, средният пръст е в посоката на втория член, а палецът се озовава в посоката на векторното произведение. В този пример посоката на векторното произведение е нагоре. Или, когато го чертаем в две измерения тук, векторното произведение на b векторно умножено по а ще "изскача" от страницата. Ще начертая това ето тук. Това ще е кръгът с точката. Или, ако го начертая аналогично на това, това тук беше а векторно умножено по b. И b векторно умножено по а е със същата големина, но отива в другата посока. Това е b векторно умножено по а. Просто се обръща към противоположната посока. И затова трябва да използваш дясната си ръка, понеже, може да знаеш, че нещо ще е към или навън от страницата и така нататък, но трябва да знаеш – дясната ти ръка ще знае дали отива в посока към, или навън от страницата. Да видим дали можем да видим логиката зад всичко това, понеже тук логиката е всичко. И, честно казано, векторното произведение се използва в много случаи, за които, честно казано, нямаме много преки впечатления от реалния живот, като електрони, прелитащи през магнитни полета, или магнитни полета през намотка. И много неща в ежедневието ни, може би ако бяхме метални пълнежи, живеещи в магнитно поле – е, ние всъщност живеем в магнитно поле – в силно магнитно поле, може би бихме разбрали логиката, но е трудно да имаме пряк опит, както за падащи обекти или триене, или сили, или дори динамика на течностите, понеже всички сме си играли с вода. Но както и да е, нека поразсъждаваме. Нека помислим защо има синус тита. Защо просто не умножим големините една по друга и не използваме правилото на дясната ръка, и не открием посоката? Защо ни е синус тита? Мисля, че трябва да поразчистя малко това, за да може – това може да е полезно. Защо ни е синус тита тук? Нека преначертая някои вектори. Ще ги начертая малко по-широки. Да кажем, че това е а, а това е b. b не е нужно да е по-дълъг от а. Това е а и това е b. Можем малко да поразсъждаваме. Можем да кажем, че това е същото нещо като а синус тита по b, или можем да кажем, че това е b синус тита по а. Надявам се, че не те обърквам – казвам, че можеш да интерпретираш това като – понеже това са само дължините, нали така? Тоест няма значение в какъв ред ги умножаваш. Можеш да кажеш, че това е а синус тита по дължината на b, всичко това в посоката на нормалния вектор, или можеш да поставиш синус тита наобратно. Но нека помислим какво ще означава това. а синус тита, ако това е тита... Какво е а синус тита? Синусът е противоположната страна върху хипотенузата. Противоположната страна върху хипотенузата. Това ще е дължината на а. Нека начертая нещо. Нека начертая една права тук. Нека начертая една права тук – имам прав ъгъл. Имам прав ъгъл. Какво е а синус тита? Това е противоположната страна. Тоест а синус тита е а и синус тита е противоположната страна върху хипотенузата. Хипотенузата е дължината на а. Синус тита е равен на тази страна, която ще нарека о за противоположна (opposite) върху дължината на а. Това е противоположната страна върху дължината на а. Този член а синус тита е просто дължината на тази отсечка тук. Друг начин, по който можеш – нека преначертая това. Няма значение откъде започват векторите. Интересува те само тази дължина и посока, така че можеш да преместваш векторите. Този вектор тук – и можеш да го наречеш противоположния вектор, това е същото като този вектор. Това е същото като това. Преместих го. Друг начин да помислим за това – това е компонентата на вектор а. Взимаме един вектор и го разделяме на компоненти х и у, но сега вземаме един вектор а и го разделяме на – можеш да си го представиш като компонента, която е успоредна на вектор b, и компонента, която е перпендикулярна на вектор b. а синус тита е дължината на компонентата на вектор а, която е перпендикулярна на b. Когато търсиш векторното произведение на две числа, казваш – в този случай не ме интересува цялата дължина на вектор а, интересува ме дължината на вектор а, която е перпендикулярна на вектор b, и това са двете числа, които искам да умножа, а после давам посоката чрез правилото на дясната ръка. Ще ти покажа някои приложения. Това е особено важно – ще го използваме при въртящия момент и ще го използваме при магнитните полета, но при тези две приложения е важно да намерим компонентите на вектора, които са перпендикулярни на дадена сила или радиус. Ето защо във векторното произведение има синус тита, понеже виждаме – тук, ако го гледаш като дължината на а синус тита по b, това все едно казваш, че това е дължината на компонентата на а, която е перпендикулярна на b, или можеш да го интерпретираш обратно. Можеш да го интерпретираш като а по b синус тита. Поставям скоби тук. И тогава можеш да го приемеш по обратния начин. Можеш да кажеш, че b синус тита е компонентата на b, която е перпендикулярна на а. Нека начертая това, за да го осъзнаем. Това е а, това е b. Това е а, това е b. b има някаква компонента, която е перпендикулярна на а, и това ще изглежда – свърши ми мястото. Нека го начертая тук. Ако това е а, това е b, компонентата на b, която е перпендикулярна на а, ще изглежда ето така. Нека я начертая в различен цвят. Това ще е перпендикулярно на а и това ще е толкова насам. И можеш да се върнеш към тригонометрията, и можеш да си докажеш, че големината на този вектор е b синус тита. Оттук идва синус тита. Това гарантира, че не просто умножаваме векторите. Това гарантира, че умножаваме компонентите на векторите, които са перпендикулярни една на друга, за да получим трети вектор, който е перпендикулярен и на двете. И хората, които изобретили векторното произведение, казали: "Това все още е двусмислено, понеже ни казва – винаги има два вектора, които са перпендикулярни на тези два. Единият отива навътре, другият отива навън. Те са в противоположни посоки." И тук идва правилото на дясната ръка. Те казали: "Просто ще въведем едно правило, че ако използваш дясната си ръка, насочиш я като пистолет, пръстите ти са перпендикулярни, тогава знаеш в каква посока сочи този вектор." Надявам се, че не те обърках. Сега искам да гледаш следващото видео. То се занимава с електричество, магнетизъм и въртящ момент и това са приложенията на векторното произведение, и това ще ти даде малко повече логика върху начина за използването му. Ще се видим скоро.