Радиус на Бор (извеждане с помощта на физиката)

При модела на Бор на водородния атом имаме един протон в ядрото. Рисувам положителен заряд тук. И отрицателно зареден електрон, обикалящ в орбита около ядрото, един вид като планетите, обикалящи в орбита около Слънцето. Въпреки че моделът на Бор не представя действителността, той е полезен за разбирането на атома. Той е полезен за изчисляване. Например можем да изчислим радиуса на тази окръжност. Всъщност в това видео ще направим именно това. Струва си да навлезем в някои от детайлите. Но трябва да те предупредя, че те очаква и доста физика. Ако не обичаш физика, може да прескочиш към следващото видео, където ти показвам резултата от това, което ще изчислим в това видео. Да се върнем към електрона тук, да кажем, че електронът обикаля обратно на часовниковата стрелка. Скоростта на този електрон при тази точка е допирателна на окръжността. Това е посоката на вектора на скоростта. Електронът има маса, да кажем, m. Електронът ще изпитва сила. Ще бъде привлечен към ядрото. Противоположните заряди се привличат. Този отрицателно зареден електрон ще изпитва сила към центъра на окръжността. Това е центробежна сила. В този случай говорим за електрическата сила. Електрическата сила е това, което кара електрона да се движи в кръг. Можем да намерим електрическата сила, като използваме закона на Кулон. Това тук вляво е законът на Кулон – електричната сила е равна на К, което е константа, по q1, което е един от зарядите. Да кажем, че q1 е зарядът на протона. Умножаваме по другия заряд, q2, като ще кажем, че той е зарядът на електрона. Делено на разстоянието между тези два заряда на квадрат. Това е законът на Кулон. Нека продължим и използваме това, което знаем дотук. К е някаква константа, до която ще стигнем по-късно. q1 казах, че е зарядът на протона, а зарядът на протона засега ще кажем, че е 'е', тоест елементарен заряд. Казах, че q2 е зарядът на електрона, а електронът има същия по големина заряд като протона, но е отрицателен. Така че тук ще поставим -е. Делено на разстоянието между двата заряда на квадрат. Силата е равна на масата по ускорението, ако използваме втория закон на Нютон. m е масата на електрона. Това ще е центробежното ускорение, след като говорим за центробежна сила. Знаем, че центробежното ускорение е равно на V^2/r. Можем да поставим m*(v^2/r). Веднага можем да изключим една двойка r. След като ни интересува само големината на силата, знаем посоката на електричната сила, не ни интересува този отрицателен знак, така че можем да кажем, че ни интересува само големината на електричната сила. Можем да опростим нещата малко. Това ще е ke^2/r вляво, а отдясно това ще е mv^2. Ще продължим с класическата физика – след това ще говорим за ъглов момент (момент на импулса), което е сложна концепция. Ъгловият момент е главно L, а едно уравнение за него е r x p, където r е вектор, а p е линейният момент. Линейният момент е равен на масата по скоростта. Говорим за линеен момент на електроните, тоест масата на електрона по скоростта на електрона. Нека използваме това за ъгловия момент. Ще вземем ъгловия момент около центъра на окръжността тук. Ъгловият момент около центъра, тоест r е вектор. Нека начертая r тук. r е вектор. Това е разстоянието от центъра до мястото, където се намира нашият електрон. Тук имаме r. Това е r вектор. Поставям r. "х" означава векторно произведение. Това ще е по линейния момент, тоест по р, което е mv. По синуса на ъгъла между двата вектора. Нека помислим за другия им вектор тук. Другият вектор е векторът на импулса. Погрижихме се за r вектора. Векторът на импулса е в същата посока като скоростта. Ако това е посоката на скоростта, тогава това също е и посоката на вектора на линейния момент. Ъгълът между тези два вектора очевидно е 90 градуса. Синус от 90 е 1. Можем просто да кажем, че ъгловият момент е равен на rmv*1. Нилс Бор сметнал, че този ъглов момент трябва да бъде квантуван. Той поставил този ъглов момент да е равен на някакво цяло число, като 1, 2 или 3, или можеш да продължиш. Но да кажем – едно цяло число n, по h, което е константата на Планк, делено на 2 пи. Това е измислил Бор. Той взел това и намерил скоростта. Нека направим това. Вдясно просто ще намерим v. Скоростта е равна на – това просто ще е n*h делено на 2 пи mr. Просто намираме v, а после ще вземем това. Намираме v и ще поставим това в другото си уравнение тук вляво. Нека направим това. Ще имаме ke^2/r. Вдясно ще имаме m по всичко това, n по h върху 2 пи mr. После повдигаме всичко това на квадрат. Ще освободя малко пространство и да продължим с алгебричните изчисления. Имаме ke^2/r е равно на масата по... повдигаме на квадрат всичко в скобите. n^2, h^2, 4 пи^2, m^2, r^2. Можем да съкратим някои неща. Можем да съкратим една двойка m. Можем да съкратим тези r. Сега вляво имаме ke^2 е равно на (n^2)(h^2) върху 4 пи^2. И ще имаме едно m и едно r. Целта на всичко това е да намерим радиуса на тази окръжност. За да намерим r, можем да започнем, като умножим и двете страни по 4 пи^2 mr. Ще получим ke^2 4 пи^2 mr вляво. Вдясно ще получим (m^2)(h^2). Ще намерим r. Нека направим това. r ще е равно на (n^2)(h^2) върху – това ще е върху ke^2 4 пи^2 m. След това ще вземем всичко това и ще го заместим с числата. Например h е константата на Планк, а знаем колко е това. Това е 6,626*10^(-34). Ще повдигнем това число на квадрат. Това ще е върху всичко това. Ако учиш физика, знаеш, че k = 9*10^9. То е константа. "е" е елементарният заряд, големината на заряда на един протон или един електрон и е 1,6*10^(-19) кулона. Поставяме това тук и това число също трябва да бъде повдигнато на квадрат. Имаме 4 пи^2. Помни, m беше масата на електрона. Можеш да потърсиш масата на електрона, тя е 9,11*10^(-31) килограма. Това са доста математически изчисления. Вместо да вадя калкулатора и да ти показвам, можеш да направиш това самостоятелно. Ще видиш, че числото ще е – това ще е... това е равно на – ще го запиша тук долу – 5,3*10^(-11). Ако имаше време да запишеш мерните единици, тогава щеше да получиш метри. Направи тези изчисления самостоятелно и ще видиш, че получаваш това число. Това е много важно число. Нека поставим това, за да видим какво имаме дотук вляво. Радиусът е равен на n^2 по това число. 5,3*10^(-11). Нека поставим n=1, тоест на цяло число. Това представлява електрон в основно състояние във водорода. Ако n=1, това ще е r1=1^2 по това число. Очевидно това е много просто изчисление. Знаем, че радиусът, когато n=1, радиусът е равен на това число, 5,3*10^(-11) метра. Нека се върнем тук горе. Нека се върнем тук горе към картинката, така че да мога да ти покажа за какво говорим, защо това е важна стойност. Ето това изчислихме току-що. Изчислихме този радиус за електрон в основно състояние във водорода. Изчислихме това разстояние и го нарекохме r1. Идеята на Нилс Бор е, че чрез квантуване на ъгловия момент, това ще ограничи радиусите, различните радиуси, които може да имаш. Нека обобщим това уравнение. Можем да кажем, че r, за всяко цяло число n, ще е равно на n^2 по това число, по r1. (n^2)*r1, което току-що изчислихме, че е 5,3*10^(-11) метра. Това е много важно. r за всяко цяло число n е равно на (n^2)*r1. Това означава, че са позволени само определени радиуси, понеже Нилс Бор е квантувал ъгловия момент. Трябва да имаш специални радиуси. Ще говорим за другите радиуси в следващото видео. В това видео, след цялата тази физика, получихме това уравнение. Ще използваме това, за да навлезем в повече детайли за радиусите на модела на Бор.