Доказателство на формулата за експоненциалния разпад (включва висша математика)

Понятието период на полуразпад е удобно, ако работим с интервали от време, които са кратни на периода на полуразпад. Например в момент нула имаме 100% от нашето вещество. След един период на полуразпад ще имаме 50% от веществото. След два периода на полуразпад ще имаме 25% от веществото и т.н. Значи ако са изминали три периода на полуразпад... В случая с въглерода това ще бъдат около 15 000 години... мога да кажа грубо, или почти точно, какъв процент от изходното вещество е останал. В случая с въглерод-14 мога да кажа какъв процент от първоначалния въглерод-14 не се е превърнал още в азот-14. И това е полезно, но ако искам да знам колко въглерод е останал след половин година или след половин период на полуразпад, или след три милиарда години, или след 10 минути? Трябва ми обща формула. Обща формула като функция от изминалото време, която показва какво количество от моето разпадащо се вещество е останало. Ето това ще направя в това видео. Ще има повечко математика, но мисля, че математическата част е доста проста, особено за този, който е минал първата част на математическия анализ. И това е едно много елегантно приложение. Хайде да помислим малко за скоростта на изменение, или вероятността, или броят на частиците, които се променят за дадено време. Можем да кажем, разликата или промяната на броя частици, или количеството частици, за всеки безкрайно малък период от време, от какво ще зависи то? Това е броят частици, които имаме в произволен период от времето. Това е скоростта на изменение. Знаем, че скоростта на изменение се понижава. Знаем, че тя е отрицателно число. Знаем, че при радиоактивния разпад, мога да направя същото като при сложното нарастване, където мога да кажа, че изменението на скоростта не е отрицателно число, и че растежът зависи от началното количество. Сега количеството, което се разпада, е пропорционално, но с отрицателен знак, на количеството, което имаме. Нека да го обясня. Имам предвид, че количеството, което се разпада, е пропорционално на количеството, което имаме в началото. И за да бъде малко по-логично, представи си ситуация, в която имам 1 по 10^9. Имаме милиарди въглеродни атоми. А тук имам 1 по 10^6 въглеродни атоми. И ако ги проверим след някакъв малък период от време, да кажем след една секунда, нека това да е нашето dt. dt е незначително кратко време, нека това е промяната във времето. Това е ∆t. И нека след една секунда да проверим пробата, да кажем, че имаме 1000 въглеродни частици. Това не е точно случаят с въглерод-14, но това е само за да видим логиката. Нека след една секунда да видим 1000 въглеродни частици за секунда. Нека тук да имаме една хилядна от броя частици в тази проба. Значи за всеки 1000 частици, които се разпадат, тук очакваш да видиш разпад на една въглеродна частица за секунда. Тъй като имаш по-малко количество. Сега не знам стойността на действителната константа. Но знаем, че независимо какво вещество имаме, тази константа е специфична за това вещество. Различна за въглерода, за урана, различна е за... например за радона. За всички тях тук ще има различни стойности. Това всъщност ще го направим в следващото видео, то може да се изчисли от периода на полуразпад. Но скоростта на изменение винаги ще зависи от броя частици, които имаме, нали? Имам предвид, ние го видяхме тук с периода на полуразпад. Когато имаме половината от частиците, ние сме загубили другата половина. Тук, ако започнем със 100 частици, отиваме на 50, после на 25. Когато започнем с 50, за един период на полуразпад губим 25. Ако започнем със 100, ще загубим 50. Очевидно количеството, което губим, зависи от началното количество, нали? За всеки период от време, това е много малка част. Това, което съм написал тук, е наистина много просто, макар да не изглежда така за много хора, ако им кажеш, че това е диференциално уравнение. И можем да го решим по много лесен начин. Това е задача за разделяне на променливите. Какво можем да направим? Хайде да разделим двете страни на N. Искаме всички N от едната страна и всичко останало от другата страна. Значи имаме 1/N dN/dt е равно на – λ. Просто разделих двете страни на N. А сега просто ще умножа двете страни по dt, и получавам 1/N = – λdt. Сега можем да интегрираме двете страни на уравнението. Какво получавам? Каква е примитивната функция? Съставям неограничен интеграл на примитивната функция. Това е натурален логаритъм от N плюс някаква константа. ще го напиша в синьо – плюс някаква константа. Каква е първообразната функция на една константа? Това е самата константа по производната, по променливата. Намираме първообразната функция по отношение на нея. Значи – λ по t минус някаква константа. Това са различни константи, но те са произволни. Ако искаме, можем да извадим тази константа от тази константа, да ги сложим и двете от едната страна, при което се получава нова константа. И това ни води до решението на нашето диференциално уравнение, което е натурален логаритъм от N е равно на – λt, плюс някаква нова константа, нека я нарека с3, не е важно как. И ако искаме да изразим това като функция на N от t, антилогаритмуваме двете страни. Това е като обратната операция на намиране на натурален логаритъм. Значи e на степен ln от N, това е просто на коя степен повдигаме е, за да получим N? Ако повдигнем е на тази степен, ще получим N. Затова просто повдигам на степен двете страни на уравнението. Повдигам е на степени, които са равни на двете страни на уравнението. е на степен ln от N е просто N. И това е равно на е на степен (– λt + с3). Това може да се преработи като N е равно на е на степен – λt + е на степен с3. Повтарям, че това е произволна константа, така че можем можем да я кръстим... например с4. Значи решението на диференциалното уравнение е: N(t) = с4 е^(– λt). Сега нека да допуснем, че t е равно на нула. Ние знаем Nо за нашата проба. Това е началното количество. Нека да видим дали можем да заместим в уравнението, за да намерим с4. Имаме N(0) е равно на... нека да сложа нула тук... равно е на Nо. И това е равно на с4 по е^(– λt). Нещо по нула е нула, значи имаме е на нулева степен. Това е 1. значи с4 е равно на Nо, началното количество. Получихме този израз. Имаме броят на частиците, или количеството, като функция от времето, е равно на началното количество, по е^(– λt). Трябва да внимаваме, че използваме константата за времето, когато търсим различни коефициенти. Това изглежда доста абстрактно. Каква връзка има с периода на полуразпад? Сега ще опитам да го изясня с въглерода. Това важи за всеки елемент, който подлежи на радиоактивен разпад. Ако тук имаме знак плюс, това ще бъде експоненциално нарастване. Знаем, че въглерод-14 има период на полуразпад от 5700 години. Ето защо можем да го разглеждаме като във време t = 0... нека да го запиша. Ако N(0) е равно на... мога да взема 100 като пример. Защо не? Нека Nо е 100. И след това в N(5700), това ще бъдат години, трябва да внимаваш с единиците. Колко ще ни е останало? Ще имаме останали 50 частици. Ако запишем тук х и тук х/2, всичко ще проработи накрая. Нека да заместим в това уравнение и да намерим λ. Знаем, че N(0) e 100. Значи можем да напишем уравнението като N(t) = 100е^(– λt), поне за този случай. Знаем също, че N(5700) е равно на... току-що казахме на един период на полуразпад. Значи имаме 1/2 отляво. това е 50, по е на степен 5700 по λ. Значи това е 100 по е на степен –λ по 5700. И сега само трябва да намерим ламбда. И ще получим обща формула за количеството въглерод, което имаме в произволен момент. Ако разделим двете страни на 100, какво ще получим? Получаваме 0,5 или 1/2 е равно на е на степен... нека да запиша –5700 λ и после можем да логаритмуваме двете страни. Нека да слеза малко надолу... получавам натурален логаритъм от 1/2 е равно на ... натурален логаритъм от това е просто – 5700 λ. Значи λ е равно на натурален логаритъм от 1/2 върху –5700. Да видим колко е това. Натурален логаритъм от 0,5, делено на– 5700, е равно на 1,21 по 10^(–4). Ето това е нашето ламбда. И общата формула за очакваното количество въглерод-14 в произволен момент от време (в години) е: N(t) = Nо по е^(– λ). λ е 1,21 по 10 ^(–4), в години. И сега ако търсиш колко имаш след половин година, просто заместваш, но трябва да знаеш първоначалното количество, и тогава можем да намерим колко има след 1/2 година, след милиард години, или милион милиарди години. В следващото видео ще редиш доста такива задачи.