Решаване на задачи с експоненциален разпад

Две видеа назад учихме за времената за полуразпад. И видяхме, че те са ни полезни, ако искаме да разберем какво количество вещество ни е останало след един период на полуразпад, след два или три периода на полуразпад. Просто намаляваме наполовина количеството за един период. Но това не е толкова удобно, ако искаме да разберем колко вещество имаме след половин период на полуразпад, или след един ден, след 10 секунди или след 10 милиарда години. И за да разрешим този проблем, в предишното видео изведох формула, но това включваше доста сложна математика. Ако не разбираш от математически анализ, можеш просто да пропуснеш това видео. Не ти е нужно да го гледаш за уводен клас по математика. Но ако ти е любопитно, там доказах следната формула. Във всеки момент от времето, ако имаме един разпадащ се атом, някакъв химичен елемент, количеството от този елемент във всеки един момент от време е равно на началното количество по е на степен някаква константа, в последното видео използвах ламбда, λ, сега ще използвам k... минус k по t. И за конкретен елемент с конкретно време за полуразпад, можеш просто да намериш k и да я използваш в твоята задача. Нека да го направим в това видео, просто за да станат по-конкретни всички тези променливи. Нека да намерим общата формула за въглерода. Въглерод-14, това е този, на който разглеждахме полуразпада. Казахме, че въглерод-14 има време за полуразпад 5730 години. Да видим как можем да използваме тази инфорамция и да я приложим към формулата. Това ни казва, че след един период на полуразпад,... това са 5730 години. N от 5730 е началната стойност. Започваме с... Nо по е на степен минус... виждаш, че тук t е –5730... значи минус k по 5730. Това са изминалите години. Периодът на полуразпад означава, че след 5730 години ние ще имаме половината от началното количество. Ще е останало половината от началното количество. Какво ще получим, ако решим да намерим k от това уравнение? Делим двете страни на N. Освобождаваме се от тази променлива, ни остава е на степен –5730k, просто разменям тези двете, е равно на 1/2. Ако логаритмуваме двете страни, какво ще получим? Натурален логаритъм от е на някаква степен натурален логаритъм от е на степен а е просто а. Значи натурален логаритъм от това е –5730k, е равно на натурален логаритъм от 1/2. Просто логаритмувах двете страни. Натурален логаритъм от тази страна и от тази страна. За да намерим k, то е равно на натурален логаритъм от 1/2 върху –5730, което намерихме в предишното видео. Да видим дали можем да го направим отново, за да избегнем... за тези, които са го пропуснали. Ако имаме 1/2, 0,5, намирам натурален логаритъм, и след това го деля на 5730 със знак минус, получавам 1,2 1,2 по 10^(–4). Това е равно на 1,2 по 10^(–4). Това е общата формула за времето на полуразпад на въглерод-14. Във всеки момент във времето, след началния момент... това е за въглерод-14, С-14... количеството останал С-14 ще бъде равно на началното количество по е на степен –k, което току-що намерихме. 1,2 по 10^(–4), по изминалото време. Това е формулата за въглерод-14. Ако направим това за някой друг елемент, ще можем да намираме количеството във всеки момент от време, след като намерим стойността на k. Хайде да го приложим в една задача. Да кажем, че имаме... имаме 300 грама въглерод-14. Искам да знам какво количество ще остане след 2000 години. Колко ще остане? Просто заместваме във формулата. N = 2000 е равно на началното количество 300 грама по е на степен –1,2 по 10^(–4), по t, което е 2000. Колко е това? В калкулатора вече имам 1,2 по 10^(–4). По 2000 е равно на... тук има знак минус. Знак минус. Повдигам е на тази степен и получавам 0,241. Това е равно на N от 2000. Количеството, което ще е останало след 2000 години, е равно на 300 по е на степен –0,2419. Моят калкулатор няма е на степен, трябва ми по-добър калкулатор. Трябва да си взема отново научния калкулатор. Но е е 2,71... просто ще го въведа с цифри... нека да е 2,71 на степен –0,24, което е равно на 0,78 по началното количество, т.е. по 300, което е равно на 236 грама. Значи с помощта на тази формула за радиоактивен разпад можахме да намерим колко въглерод ще имаме след един необичаен период от време, различен от периода на полуразпад. Хайде да решим още една задача. Нека сега да е наобратно. Да кажем, че искам да разбера, ако започна с 400 грама С-14... Искам да знам след какъв период от време ще имам останали 350 грама С-14. 350 грама е количеството, което е останало. То е равно на началното количество, 400 грама, по е на степен –k. Това е – 1,2 по 10^(–4) по времето. И сега да намерим времето. Как ще го намерим? Можем да разделим двете страни на 400. Колко е 350 делено на 400. Това са 7/8. Равно е на 0,875. Получавам 0,875 е равно на – 1,2 по 10^(–4). Намирам натурален логаритъм от двете страни. Намирам натурален логаритъм от 0,875 е равно на натурален логаритъм от е на някаква степен. равно на – 1,2 по 10^(–4). Значи t е равно на това, делено на 1,2 по 10^(–4). Значи натурален логаритъм 0,875 делено на 1,2 по 10^(–4) е равно на времето, за което от 400 грама остават 350 грама. (Телефонен звън) Телефонът ми звъни, нека да го изключа. Остават 350. Хайде да го сметнем. Ако имаме 0,875 и искаме да намерим натурален логаритъм от него, и да го разделим на 1,2 по 10^(–4). Това е отрицателно число. Просто деля на това и после слагам знак минус. Равно е на това, и после слагам минус. Значи трябват 1112 години, за да получим от 400 грама 350 грама от нашето вещество. Това може да изглежда малко сложно, но ако трябва да направиш едно нещо, то е да запомниш формулата. А ако искаш да знаеш откъде я получихме, гледай предишното видео. За всеки конкретен елемент намираш стойността на k. И после просто заместваш и намираш това, което е неизвестно. Ще направя още няколко такива задачи в следващото видео.