Експоненциален и логистичен растеж на популациите

Да кажем, че имаме популация от 1000 заека, като знаем, че тя нараства с 10 % на месец. Искам да изчислим как ще нарасне тази популация, ако на месец се увеличава с 10 %. Ще направя една таблица. В лявата колона е броят на изминалите месеци, а в дясната – големината на популацията. От дадената информация знаем, че в нулевия месец има 1000 зайци. Да помислим какво ще се случи след един месец. Нашата популация ще нарасне с 10%, така че взимаме броя в началото на месеца и нарастването от 10%, което е равнозначно на това да се умножи по 1,1. Имаме първоначалния брой и я увеличаваме с 10 % – едно плюс 10 % е 1,1. Така че можем да умножим по 1,1. Получаваме 1100. Ще го запиша като 1000 по – не 1,5, а по 1,1. Да помислим какво ще се случи на втория месец. Имаме отново началния брой, отново умножаваме по 1,1, тоест броят на зайците в началото на втория месец, който беше ето това тук горе, и ще го умножим отново по 1,1 или това е 1,1 на квадрат. Мисля, че вече виждаш зависимостта. Следващият месец броят на зайците в популацията е 1000 по 1,1 на трета степен. Просто умножаваме по 1,1 отново. Когато имаме n на брой месеци виждаш какво ще се случи. Това ще бъде 1000 умножено n пъти по 1,1 или 1000 по 1,1 на n-та степен. Получихме формулата и можем да намерим числеността на популацията. Да кажем, че тя е П (P). Броят на зайците в популацията като функция на n е равен на първоначалния брой по 1,1 на n-та степен. Може би ще кажеш, че това е логично, едва ли ще получим странни числа. Но за да се упражним, нека да видим какво ще се случи след 10 години. 10 години имат 120 месеца. Броят на зайците в популацията в края на 120-ия месец ще бъде 1000 по 1,1 на 120-та степен. Ще взема калкулатора, за да го сметна. Не мога да изчисля 1,1 на 120 степен наум. 1,1 на 120 степен е равно на това, по първоначалния брой, т.е. по 1000, едно, две, три – това ще е равно на грубо на 93 милиона зайци – нека го запиша. Започнахме с 1000, а сега имаме приблизително 93 милиона зайци. Броят им се увеличи с коефициент 93 000 за 10 години, така че за още 10 години ще нараснат с 93 000 пъти по това. Ясно виждаме, че 10% на месец е голям прираст и това може да изглежда изключително бързо, но това всъщност не е странно за популацията на зайците, ако не са ограничени от пространство, хищници или храна. Ако трябва да изобразиш графично нещо подобно, ако трябва да направиш диаграма на числеността на заешката популация спрямо времето, ще получиш – нека го начертая. На тази ос е времето, да кажем в месеци, а на тази – числеността на популацията. Това е нашата популация. Този тип функция или този израз се нарича показателна функция. Числеността на популацията като функция на времето ще изглежда така – ще бъде нещо подобно на хокеен стик във формата на J. Ако оставим тези зайци да се размножават достатъчно дълго, те наистина биха завзели планетата, ако имат достатъчно храна и място да го направят. Но ако забелязваш, непрекъснато повтарям "ако имат достатъчно храна и достатъчно пространство". Действителността е, че няма безкрайна храна или необятно пространство и няма случай, при който да не съществуват хищници или конкуренция за ресурси. Всъщност има максимален капацитет за всяка част от околната среда, за всеки един вид. Много по-вероятно е да настъпи вместо това, което описахме – този експоненциален растеж – а защо се нарича така? Нарастването зависи от това, което е в скобите – времето – което отива в степенния показател или експонентата. Това е експоненциален растеж, но очевидно не можем да имаме безброй зайци и не можем да ги отглеждаме вечно. Има някакъв естествен максимален капацитет, на който всъщност може да издържи средата. Действителният растеж, който бихме наблюдавали, когато числеността е много под този максимален размер, е логично да има експоненциален растеж, но когато се приближава все повече и повече до този капацитет, кривата ще се приближи към него, ще се приближи, но няма да го пресече. Това е просто модел. Има други ситуации, в които вероятно го достига или надвишава, след това спада и периодично се мени. Това са различни начини да се разгледа, но общата идея е, че не можем да очакваме нещо да нараства свободно завинаги. Синята крива, която хората често използват, за да моделират числеността на една популация, особено когато смятат, че тя се е доближила до капацитета на околната среда, е тази крива във формата на S и се нарича логистичен растеж. Има и логистична функция, която го описва, но не е необходимо да я знаеш, докато учиш начална биология. Това е логистичен растеж и той е описан от логистичната функция. Око ти е любопитно, със сигурност в Кан Академия имаме видео уроци за логистичен растеж, а също и за експоненциален растеж, където навлизаме в много по-големи подробности. Но главната идея тук е, че когато популациите не са ограничени от околната им среда, храната, ресурсите и пространството, те започват да нарастват експоненциално, но когато се приближат до максималния капацитет, този експоненциален растеж се забавя, и щом започне наистина да се пренасища тяхната среда или се приближи близо до пределната точка, тогава логистичната функция или логистичния растеж е по-подходящ модел за описание на случващото се.