Реакции от първи порядък (с математически анализ)

Нека имаме реакция от първи порядък, в която А се превръща в някакви продукти и когато времето е нула, имаме първоначална концентрация на Ао, а след някакво време Т имаме концентрация Аt в момент Т. Нека сега да изразим скоростта на реакцията. В предходно видео казах, че можем да изразим скоростта на реакцията по отношение на изчерпването на А, така че можем да кажем, че промяната на концентрацията на А върху промяната на времето, и тук слагаме знак минус, за да получим положителна стойност за скоростта. Можем да запишем и кинетичното уравнение, където скоростта е равна на скоростната константа К по концентрацията на А, и тъй като това е реакция от първи порядък, това е на първа степен, обсъждахме го в предходно видео. Можем да направим тези равни едно на друго, нали? Тъй като и двата израза са за скоростта на реакцията, можем да кажем, че скоростта на изчерпване на А, т.е. отрицателната промяна на концентрацията на А върху промяната на времето, е равно на скоростната константа К по концентрацията на А на първа степен. Тук отляво е средната скорост на реакцията, така че ако искаш да я запишеш като моментна скорост, се намесва висшата математика. Моментната скорост ще бъде – dA, нали? dA, отрицателната скорост на промяна на А по отношение на времето, а това ще бъде dТ, което е равно на К А на първа степен, и сега имаме диференциално уравнение, а когато решаваме диференциално уравнение, вероятно стигаме до функция, и нашата функция ще бъде концентрацията като функция от времето, значи евентуално идваме тук, но първата стъпка за решаване на едно диференциално уравнение е да разделим променливите, така че всички А трябва да са от едната страна, а всички Т трябва да са от другата страна. Значи трябва да разделим на А, и отляво получаваме... Делим двете страни на А и получаваме d A върху концентрацията А. Сега ще умножим двете страни по d T, за да получим dТ отдясно, така че тук отдясно ще имаме К dТ, и трябва да поставим и знака минус също така, така че ние просто разместихме малко, и сме готови да интегрираме, нали? След като разделихме променливите, трябва да интегрираме, ще интегрираме отляво, и тъй като К е константа, ще я изнеса от интеграла, ето така, и да видим, какво интегрираме? За времето – нека да се върнем горе. Ще интегрираме от Т равно на 0 до Т равно на Т. За концентрацията ще интегрираме от началната концентрация до концентрацията в момента Т, така че хайде да заместим, ще интегрираме от 0 до Т отдясно, а отляво ще интегрираме от началната концентрация А до крайната концентрация, концентрацията в момент Т. Добре, значи отляво d A върху А, това е натурален логаритъм от А, нали? Значи това е равно на натурален логаритъм от А, като това е от началната концентрация до концентрацията в някакъв момент t, отдясно интеграл от dt е просто t, така че имаме – Кt от нула до t. Сега използваме основната теорема на анализа и отляво имаме натурален логаритъм от концентрацията на А в момента t, минус натурален логаритъм от А... Минус натурален логаритъм от началната концентрация на А, след това отдясно имаме – К t, това е единият начин да запишем интегрираното кинетично уравнение, в момента в списъка с формули по химия (АР) това е уравнението за реакция от първи порядък, това е интегралната форма на кинетичното уравнение. Това е един начин на представяне на кинетичното уравнение в интегрална форма. Но можеш да продължиш и да го преработиш в друг вид, ще го направим в някое следващо видео, а това е формулата, която можеш да използваш, за да решаваш задачи тук. Хайде да я преработим малко. Да прибавим натурален логаритъм от първоначалната концентрация отдясно, нека да го преработим, и имаме натурален логаритъм от концентрация А във време t е равно на – К t, плюс натурален логаритъм от началната концентрация А. Причината да искам да го преработя е, че сега можеш да видиш, че графиката ще бъде права линия. Спомни си y = mx + b. Знаем, че y = mx + b има графика, която е права. Ако се замислиш какво трябва да начертаем тук, трябва да сложим натурален логаритъм от А на оста y, а на оста х ще сложим времето. И след това виждаме, че М, което е ъгловият коефициент (наклонът) ще бъде равен на –К, а В е ордината на пресечната точка по оста y, така че това е натурален логаритъм от началната концентрация А, и ако направим тук една малка графика... Нека съвсем набързо да я начертая. Това е оста у. След това имаме оста х, нали? Нека да ги надпиша, отляво е оста у, това е натурален логаритъм от концентрацията А в момент t, а на оста х ще поставим времето, нали? Ето това е, което ще изобразим графично. И неговата графика ще бъде права, нали? Графиката ще бъде права. Нека да го начертая тук, ще се опитам да направя една права, ето така. Това е пресечната точка с оста Оу, нали Oрдината на пресечната точка с Оу ще бъде натурален логаритъм от началната концентрация на А, нали? Значи тази точка тук, пресечната точка с Оу, е натурален логаритъм от първоначалната концентрация на А, а наклонът на правата, нека да се върна малко... Наклонът на правата М, е равен на –К, така че ако имаш наклонът на правата, наклонът е равен на –К, така че от наклона можеш да намериш скоростната константа. Графиката на натурален логаритъм от А по отношение на времето представлява права с наклон – К.