If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Реакции от първи порядък (с математически анализ)

Извеждане на интегрален вид на кинетичното уравнение за реакции от първи порядък с помощта на математически анализ. Как може да се представят графично данните за скоростта на реакция от първи порядък, за да се получи линейна връзка.

Видео транскрипция

Нека имаме реакция от първи порядък, в която А се превръща в някакви продукти и когато времето е нула, имаме първоначална концентрация на Ао, а след някакво време Т имаме концентрация Аt в момент Т. Нека сега да изразим скоростта на реакцията. В предходно видео казах, че можем да изразим скоростта на реакцията по отношение на изчерпването на А, така че можем да кажем, че промяната на концентрацията на А върху промяната на времето, и тук слагаме знак минус, за да получим положителна стойност за скоростта. Можем да запишем и кинетичното уравнение, където скоростта е равна на скоростната константа К по концентрацията на А, и тъй като това е реакция от първи порядък, това е на първа степен, обсъждахме го в предходно видео. Можем да направим тези равни едно на друго, нали? Тъй като и двата израза са за скоростта на реакцията, можем да кажем, че скоростта на изчерпване на А, т.е. отрицателната промяна на концентрацията на А върху промяната на времето, е равно на скоростната константа К по концентрацията на А на първа степен. Тук отляво е средната скорост на реакцията, така че ако искаш да я запишеш като моментна скорост, се намесва висшата математика. Моментната скорост ще бъде – dA, нали? dA, отрицателната скорост на промяна на А по отношение на времето, а това ще бъде dТ, което е равно на К А на първа степен, и сега имаме диференциално уравнение, а когато решаваме диференциално уравнение, вероятно стигаме до функция, и нашата функция ще бъде концентрацията като функция от времето, значи евентуално идваме тук, но първата стъпка за решаване на едно диференциално уравнение е да разделим променливите, така че всички А трябва да са от едната страна, а всички Т трябва да са от другата страна. Значи трябва да разделим на А, и отляво получаваме... Делим двете страни на А и получаваме d A върху концентрацията А. Сега ще умножим двете страни по d T, за да получим dТ отдясно, така че тук отдясно ще имаме К dТ, и трябва да поставим и знака минус също така, така че ние просто разместихме малко, и сме готови да интегрираме, нали? След като разделихме променливите, трябва да интегрираме, ще интегрираме отляво, и тъй като К е константа, ще я изнеса от интеграла, ето така, и да видим, какво интегрираме? За времето – нека да се върнем горе. Ще интегрираме от Т равно на 0 до Т равно на Т. За концентрацията ще интегрираме от началната концентрация до концентрацията в момента Т, така че хайде да заместим, ще интегрираме от 0 до Т отдясно, а отляво ще интегрираме от началната концентрация А до крайната концентрация, концентрацията в момент Т. Добре, значи отляво d A върху А, това е натурален логаритъм от А, нали? Значи това е равно на натурален логаритъм от А, като това е от началната концентрация до концентрацията в някакъв момент t, отдясно интеграл от dt е просто t, така че имаме – Кt от нула до t. Сега използваме основната теорема на анализа и отляво имаме натурален логаритъм от концентрацията на А в момента t, минус натурален логаритъм от А... Минус натурален логаритъм от началната концентрация на А, след това отдясно имаме – К t, това е единият начин да запишем интегрираното кинетично уравнение, в момента в списъка с формули по химия (АР) това е уравнението за реакция от първи порядък, това е интегралната форма на кинетичното уравнение. Това е един начин на представяне на кинетичното уравнение в интегрална форма. Но можеш да продължиш и да го преработиш в друг вид, ще го направим в някое следващо видео, а това е формулата, която можеш да използваш, за да решаваш задачи тук. Хайде да я преработим малко. Да прибавим натурален логаритъм от първоначалната концентрация отдясно, нека да го преработим, и имаме натурален логаритъм от концентрация А във време t е равно на – К t, плюс натурален логаритъм от началната концентрация А. Причината да искам да го преработя е, че сега можеш да видиш, че графиката ще бъде права линия. Спомни си y = mx + b. Знаем, че y = mx + b има графика, която е права. Ако се замислиш какво трябва да начертаем тук, трябва да сложим натурален логаритъм от А на оста y, а на оста х ще сложим времето. И след това виждаме, че М, което е ъгловият коефициент (наклонът) ще бъде равен на –К, а В е ордината на пресечната точка по оста y, така че това е натурален логаритъм от началната концентрация А, и ако направим тук една малка графика... Нека съвсем набързо да я начертая. Това е оста у. След това имаме оста х, нали? Нека да ги надпиша, отляво е оста у, това е натурален логаритъм от концентрацията А в момент t, а на оста х ще поставим времето, нали? Ето това е, което ще изобразим графично. И неговата графика ще бъде права, нали? Графиката ще бъде права. Нека да го начертая тук, ще се опитам да направя една права, ето така. Това е пресечната точка с оста Оу, нали Oрдината на пресечната точка с Оу ще бъде натурален логаритъм от началната концентрация на А, нали? Значи тази точка тук, пресечната точка с Оу, е натурален логаритъм от първоначалната концентрация на А, а наклонът на правата, нека да се върна малко... Наклонът на правата М, е равен на –К, така че ако имаш наклонът на правата, наклонът е равен на –К, така че от наклона можеш да намериш скоростната константа. Графиката на натурален логаритъм от А по отношение на времето представлява права с наклон – К.