Кинетика на радиоактивния разпад

Стронций-90 е радиоактивен изотоп, който преминава през бета разпад. Понеже радиоактивният разпад е процес от първи порядък, радиоактивните изотопи се характеризират с период на полуразпад, който е константа. Периодът на полуразпад се означава като t с индекс 1/2 и това е времето, необходимо 1/2 от пробата от определен радиоактивен изотоп да се разпадне. Например периодът на полуразпад на стронций-90 е равен на 28,8 години. Да кажем, че започнем с 10 грама от радиоактивния изотоп стронций-90. На оста у ще поставим масата на стронциевия изотоп в грамове. На оста х ще имаме времето. Когато времето е равно на нула, имаме 10 грама от изотопа си. Тъй като периодът на полуразпад на стронций-90 е 28,8 години, ако изчакаме 28,8 години, масата ще намалее от 10 грама до пет грама. Следващата точка от графиката ни ще е при пет грама и това време трябва да е 28,8 години. Ако изчакаме още 28,8 години, ще преминем от пет грама до половината от това количество, което ще е 2,5 грама. Следващата точка ще е тук при 2,5. Ако изчакаме още 28,8 години ще преминем от 2,5 грама до 1,25. Това е приблизително тук на графиката. Графиката ни показва експоненциален разпад. Да кажем, че от нас искат да намерим колко радиоактивен изотоп на стронция е останал след 115,2 години. Ще трябва да вземем 115,2 години и ще разделим това на период на полуразпад 28,8 години. И като направим това, осъзнаваме, че 115,2 години е просто четири периода на полуразпад. Един подход към този проблем ще е да започнем с 10 грама. След един период на полуразпад ще имаме пет грама, след още един период на полуразпад ще имаме 2,5 грама, след още един период на полуразпад ще имаме 1,25 грама, и накрая, след още един период на полуразпад, ще имаме 0,625 грама. Просто като направим задачата по този начин, можем да видим, че това са един, два, три, четири периода на полуразпад. Така че крайният ни отговор е, че 0,625 грама остават след 115,2 години. Друг подход към същия проблем ще е да започнем с 10 грама и да умножаваме това количество по 1/2, за да получим останалото количество след един период на полуразпад. И можем да направим това още три пъти, за да получим количеството, което остава след четири периода на полуразпад. Можем също така да запишем това като 10 по 1/2 на степен 4, тъй като трябва да изчакаме четири периода на полуразпад. Всички тези подходи ще ни доведат до отговора, че 0,625 грама от радиоактивния изотоп ще са останали след 115,2 години. За химична реакция с реактант А, която е от първи порядък, законът за скоростта ни казва, че скоростта на реакцията е равна на скоростната константа k по концентрацията на А на степен първа. Тъй като радиоактивният разпад е процес от първи порядък, можем да запишем, че скоростта на разпад е равна на скоростната константа k по n на първа степен, където n е броят радиоактивни ядра в една проба. Тъй като радиоактивният разпад е процес от първи порядък, можем също да използваме това уравнение за скоростната константа, което идва от кинетичното уравнение за реакция от първи порядък, което ни казва, че скоростната константа k е равна на 0,693 делено на периода на полуразпад. Например, ако искаме да намерим скоростната константа за радиоактивния разпад на стронций-90, скоростната константа ще е равна на 0,693 делено на периода на полуразпад на стронций-90, който, както видяхме, е 28,8 години. Когато направим тези изчисления, намираме, че k е равно на 0,0241 по едно върху годините. Друго кинетично уравнение за реакция от първи порядък е интегрираният закон за скоростта за реакция от първи порядък. Интегрираният закон за скоростта ни казва, че естественият логаритъм от концентрацията на реактант А в някакъв момент t е равно на -kt плюс естествения логаритъм на началната концентрация на реактант А. Тъй като използваме n, което е броят радиоактивния ядра в пробата ни, вместо концентрацията на А можем да запишем интегрирания закон за скоростта за процеса на радиоактивен разпад от първи порядък, който ни казва, че естественият логаритъм от броя радиоактивни ядра в даден момент t е равен на -kt плюс естествения логаритъм на началния брой радиоактивни ядра. Да кажем, че сме започнали с 1,000 грама от радиоактивния изотоп стронций-90 и целта ни е да намерим колко остава след две години. Ще изчакаме две години и ще определим колко от радиоактивния изотоп остава. Ще използваме уравнението за интегрирания закон за скоростта. Нека заместим стойностите, които знаем. Вече знаем колко е k, намерихме това в по-ранна задача, така че можем да запишем, че това е равно на -k, което е 0,0241. Знаем също така и времето, което ни интересува. Знаем колко е t, то е две години. Нека запишем 2,00 тук за времето. След това ще добавим естествен логаритъм от началния брой радиоактивни ядра в нашата проба. Не знаем началния брой, но знаем масата. И тъй като масата е пропорционална на броя радиоактивния ядра, можем да я заместим в уравнението. Ще заместим естествен логаритъм от едно. И всичко това е равно на естествен логаритъм от началния брой радиоактивни ядра в някакъв момент t. Имаме естествения логаритъм от това. Естественият логаритъм от едно е нула. И сега имаме, че естественият логаритъм от n е равен на – като направим изчислението, ще получим -0,0482. След това трябва да се отървем от естествения логаритъм. И правим това, като повдигнем 'е' на степен двете страни на равенството. Като повдигнем 'е' на степен двете страни, естественият логаритъм се съкращава и получаваме, че n е равно на 0,953 грама. Това е количеството радиоактивен изотоп, което ни остава след две години.