Реакции от втори порядък (с математически анализ)

Нека имаме реакцията, която е от втори порядък спрямо А. Значи А се превръща в нашите продукти. Когато времето е нула, имаме начална концентрация Ао. След известно време ще имаме концентрация Аt в момент t. Ако искаме да изразим скоростта на реакцията, знаем, че това може да стане по няколко начина. Можем да кажем, че скоростта е равна на отрицателната промяна на концентрацията на А, върху промяната на времето. Правихме го в предишни видеа. Можем също да кажем, че скоростта е равна на... спомни си уравнението за действие на масата. Скоростта е равна на скоростната константа К по концентрацията на А. Тъй като казах, че това е реакция от втори порядък, концентрацията на А ще бъде на втора степен. Сега можем да направим тези два израза равни. Това е равно на това. Имаме отрицателната промяна на концентрацията на А, върху промяната на времето, и това е равно на скоростната константа К по концентрацията на А на втора степен. Сега можем да ползваме математически анализ. Вместо да изразим това като средна скорост, промяната на А върху промяната на времето, можем да намерим моментната скорост. Значи скоростта на изменение на концентрацията на А по отношение на времето. Можем да запишем –d[A], d за изменението на концентрацията на А, върху dt, т.е. скоростта на изменение концентрацията на А по отношение на времето. И това е равно на К по А^2. И имаме нашето диференциално уравнение. Можем да решим това диференциално уравнение и да получим функция, и първото нещо, което правим, за да решим диференциално уравнение, е да разделим променливите. Трябва да сложим А от едната страна, а dt от другата страна, Делим двете страни на А^2, отляво получаваме – d[A] върху концентрацията на А на квадрат, и умножаваме двете страни по dt. Отдясно получаваме Кdt. Сега сме готови да интегрираме. Готови сме да интегрираме, но нека да преработя лявата страна първо. Тук ще бъде минус. Това е концентрацията на А на степен минус две, d[A], просто за да бъде по-лесно решаването на интеграла. Отдясно все още имаме Kdt. Добре, готови сме да интегрираме. Ще интегрираме отляво, ще интегрираме и отдясно. К е константа, затова я изваждаме пред интеграла. И сега да се върнем горе и да си припомним как ще интегрираме. За времето нека да видим тук. Имаме от време равно на нула до време равно на t. За концентрацията, имаме от началната концентрация до концентрацията в момент t. Хайде да използваме това, Значи интегрираме от 0 до t. И интегрираме от началната концентрация до концентрацията в някакъв момент t. Добре, а сега отляво какво имаме? Какъв е интегралът? Това е като Х до –2DX. Това е като интеграл от Х до –DX. Това ще ни даде концентрацията на А на степен –1. върху минус едно. Определено трябва да знаеш поне малко математически анализ, за да гледаш тези видеа. И после все още имаме знак минус. Нека го поставя тук. Този отрицателен знак е все още тук. И решаваме това, това ще бъде равно на... нека само го преработя. Това ще бъде същото като 1 върху концентрацията на А. Имаме два пъти знак минус, значи става плюс. И това е едно върху концентрацията на А, тъй като А на минус първа степен е равно на 1 върху А. Решаваме това от първоначалната концентрация до концентрацията в момент t. Отдясно, интеграл dt ще бъде просто t. Имаме интеграл от kt от нула до t. Сега използваме основната теорема на математическия анализ. Заместваме с това, което имаме. Заместваме първо това. Имаме 1 върху концентрацията на [A]t минус 1 върху началната концентрация на А, и след това отдясно, това ще бъде просто kt. Намерихме интегралния вид на закона за действие на масите за реакция от втори порядък. Това е интегралната форма на закона за действие на масите. Някои хора го наричат интегрален вид на кинетичното уравение. Но всъщност няма значение как го наричаш. Но това е много удобно, защото можем да го преработим. Можем да преместим едно върху началната концентрация на А отдясно и така получаваме едно върху концентрацията на А е равно на kt плюс едно върху началната концентрация на А. А сега то изглежда много познато. Това е уравнение на права. Прилича на y= mx + b. Ако поставим времето по оста х, и на оста у е 1 върху концентрацията на А, ще получим права линия. И наклонът на тази права, който е М, наклонът ще бъде равен на скоростната константа К. А ордината на пресечната точка с оста у, която е В, е едно върху началната концентрация на А. Нека много бързо да направя една графика тук. Имаме нашите оси. На оста х ще поставя времето. Значи върху Ох е времето. На оста у ще поставя едно върху концентрацията на А. И за реакция от втори порядък графиката трябва да бъде права. Затова ще построя тук една права, или поне ще се опитам. Схващаш идеята. Наклонът на тази права е равен на К. Равен е на скоростната константа. Това е, което виждаме тук горе, наклонът е равен на скоростната константа. Пресечната точка с Оу, тази точка тук, е равна на едно върху началната концентрация на А. Тази точка тук е едно върху началната концентрация на А. Това е идеята на интегралния вид на закона за действие на масите, интегралния вид на кинетичното уравнение за реакции от втори порядък.