Уравнение на Ван дер Ваалс

Вече обяснихме подробно закона за идеалния газ, при който приемаме, че газът в даден съд се държи като идеален газ. Основните условия са, че не действат никакви сили между молекулите на газа, и че обемът на самите молекули е пренебрежим, особено в сравнение с обема на съда. Тогава можем да приемем, че газът се държи като идеален и да приложим закона за идеалния газ: налягането по обема е равно на броя молове по константата на идеалния газ по температурата, измерена в келвини. Но също обяснихме вече в предишното видео, че реалните газове не се държат напълно така; особено, когато доближават точката си на кондензация. Не можем винаги да предполагаме, че условията за идеален газ ще важат и за реалните газове. В това видео ще разгледаме един начин да пригодим закона за идеалния газ, така, че да описва по-добре поведението на реалните газове. Това е уравнението на Ван дер Ваалс, което носи името на същия учен, описал силите на Ван дер Ваалс, едни от силите на привличане, които пречат на реалните газове да изпълнят първото условие за идеален газ. Идеята на Ван дер Ваалс е да преобразува закона за идеалния газ в частта му за налягането и обема, за да описва по-добре реалните газове. След малко ще видим самото уравнение на Ван дер Ваалс, но първо да надникнем в логиката му, като помислим как да преобразуваме налягането P, после и обема V. Най-напред ни е нужен съд. Ще сложим в него няколко молекули газ. Ето така. Помним, че налягането е сила, прилагана върху единица площ: тук налягането се получава от сблъсъците между молекулите на газа, които се движат хаотично из съда, и стените на самия съд. Всеки път, когато молекула срещне стената, тя упражнява сила върху тази площ. Знаем, че колкото по-голяма е температурата, толкова по-бързо се движат частиците и по-често ще има сблъсъци. Колкото повече са молекулите, толкова повече блъскащи се частици има, съответно налягането се увеличава, особено ако обемът се запазва постоянен. Това е, ако приемем, че имаме идеален газ. Да помислим какво ще се промени, ако имаме реален газ. При него ще действат сили на привличане. Например сили на Ван дер Ваалс. Значи, има сили на привличане между молекулите на газа, но ще предположим, че няма привличане със стените на съда, което не винаги е вярно на практика. Понякога частиците на газа се привличат повече към стените на съда. Но засега да премахнем това привличане от разсъжденията. Молекулите в съда се привличат помежду си и приемаме, че са равномерно разпределени в обема му. Молекулите в средата биват дърпани към всички посоки равномерно, затова общата им сила не е от значение, но тези близо до стените на съда, например тази молекула, има повече съседни молекули от едната си страна, тук е отляво, и ще се привлича от тях. Тя няма много съседки от свое дясно в този случай, затова общата сила, която ѝ действа ще я дърпа навътре. По подобен начин на тези молекули ще действа обща сила, дърпаща ги навътре. Колкото по-близо отиваме към средата на съда, толкова по-слаба ще е тази сила. Но резултатът на тази сила е, че частиците ще се стремят да се намират по-близо до центъра и по-рядко ще се блъскат в стените. Все пак ще има някои удари от хаотичното движение на частиците, но ако има малка сима на привличане, тя ще увеличи вероятността те да се движат към центъра, отколкото към стените на съда. Както видяхме и в предишното видео, ако поддържаме всичко останало постоянно, очакваме реалното налягане да бъде по-малко от налягането на идеалния газ. Тук разликата е причинена от силите на привличане. Ван дер Ваалс се заема да изчисли тази разлика. Да приемем, че реалното налягане е по-малко от идеалното налягане поради силите на привличане. Реалното налягане ще е равно на идеалното налягане минус някакъв израз, който изразява действието на тази обща сила, най-вече за частиците в близост до стените на съда. За всеки газ това ще бъде различно, според специфичните му взаимодействия между частиците, но сега ще използваме една константа, която да показва за всяка от тези молекули нетната сила, дърпаща я навътре; тя ще е пропорционална на броя на молекулите в съда. Това отговаря на плътността: плътността е броя молове газ, разделен на обема на съда. Това се отнася за всяка от тези молекули и тъй като молекулите са много, техният брой също е пропорционален на плътността, затова ще умножим отново по плътността. Да обясня пак: взимаме под влияние силата, действаща на всяка отделна молекула, и тъй като на всяка от молекулите дърпащата навътре сила действа с различна степен, имаме този параметър на пропорционалност а, който се променя според конкретния тип газ. Изведохме идеята, че реалното налягане е равно на идеалното налягане минус а по (n/V) на квадрат. След известни алгебрични преобразувания добавяме това към двете страни на уравнението и получаваме, че реалното налягане плюс а по n/V на квадрат е равно на идеалното налягане. Интересно е какво намира Ван дер Ваалс: Ако приемем това за идеалното налягане, а това за идеалния обем, то ще мога да заместя идеалното налягане с този израз. Така малко по малко ще изведем уравнението на Ван дер Ваалс Заместваме в закона за идеалния газ P с реалното налягане плюс а по (n/V)². Уравнението става малко по-сложно, но пък и по-логично, тъй като реалното налягане е по-малко от идеалното. То е идеалното налягане минус нещо. Затова идеалното налягане логично е равно на реалното плюс това нещо. Стойността, която добавяме към него е свързана с плътността на реалните молекули и с константа, описваща типа газ. Тази константа е положителна, което предполага сили на привличане. Има и сили на отблъскване, но няма да ги разглеждаме, защото знаем само за положителни константи за реалните газове. Затова тук става въпрос за сили на привличане. Сега ще помислим и за обема. Ето този тук. Искаме да използваме реалния обем, към който ще добавим или извадим стойност, и това ще стане равно на nRT. Сега да помислим как да нагласим обема, за да получим реалния обем от този на идеалния газ. ще нарисувам друг съд. Тук ще разсъждавам за второто условие за идеалния газ. Да приемем, че обемът на тези молекули не е пренебрежим. В тази ситуация, докато всичко останало е постоянно, за да поддържаме същото налягане, реалният обем в съда ще трябва да стане по-голям. Реалният обем трябва да е по-голям от идеалния обем. Защо това е така? Ако запазим обема и не го увеличим, частиците ще се блъскат една в друга много повече, защото всяка от тях заема повече пространство, отколкото предполага условието на идеалния газ за липстващ обем на частиците. След като се блъскат повече една в друга и отскачат повече една от друга, за да останат в същия обем, ще се увеличи налягането. Но ние искаме налягането да не се променя, тогава ще е нужен по-голям обем на реалния газ, отколкото на идеалния газ. С колко да е по-голям? Реалният обем може да се получи от идеалния обем, като добавим пространство за собствения обем на всяка от молекулите. И така към идеалния обем прибавяме обема на самите молекули. Това ще е някаква константа по броя на молекулите, изразен в молове. Тази константа ще зависи от размера на самите молекули. Можем да я наречем фактор големина. Константата за налягането е един вид фактор привличане, а тази е фактор големина. Отново с просто алгебрично преобразувание получаваме, че реалният обем минус обема на самите молекули е равно на идеалния обем. Това можем да заместим в уравнението. Целият този израз е равен на идеалния обем: той е реалният обем минус тази константа за пропорционалност по броя на молекулите, изразен в молове. Целият израз, който попълних току-що е уравнението на Ван дер Ваалс. Изведох го от закона за идеалния газ чрез този логичен мисловен експеримент, за да се види смисъла в този иначе сложен и неразбираем на пръв поглед израз. Сега виждаме, че в първите скоби стои просто идеалното налягане, а във вторите скоби е идеалният обем, които сме изразили чрез реалните стойности като взехме под внимание някои сили, действащи между частиците на газа и собствения обем, който тези частици притежават в реалността. Ще уточня, че уравнението на Ван дер Ваалс не отговаря перфектно на реалността, но обикновено се използва като по-добро приближение от закона за идеалния газ. То може още да се променя, например чрез компютърни модели, за да постигне по-голяма точност, но уравнението на Ван дер Ваалс е добро начало.