Радиоактивно разпадане и логаритмични графики

Имаме графика на радиоактивно разпадане. С N означаваме броя на радиоактивните ядра като функция от времето. Значи тази формула описва нашата графика. Броят на радиоактивните ядра в произволен момент T, е равно на Nо, първоначалният брой ядра, по е на степен –λt. Ламбда, λ, е константата на радиоактивно разпадане. Това е просто някакво постоянно число. Можеш да я наричаш К, ако искаш, като скоростната константа. Това е просто константа, която умножаваме по времето. И нека да кажем, че искаме да намерим какво представлява тази точка от нашата графика. Тук времето е нула. Да заместим във формулата, времето е равно на нула. Това е броят на радиоактивните ядра, когато t = 0, N(0) = Nо по е^(– λt), като t е нула. Значи става Nо по е на степен нула. Всяко число на нулева степен е равно на едно. Значи броят на радиоактивните ядра при t = 0 е равен на Nо. Това е Nо, първоначалният брой радиоактивни ядра. И можем да намерим броя за всяко t, нали? Ако изберем време, нека да кажем, че това е времето, което ни интересува, отиваме тук горе и намираме стойността на графиката. Във всеки момент t това е броят на радиоактивните ядра. Нека да го намерим за периода на полуразпад. Спомни си, че когато времето е равно на периода на полуразпад, броят на радиоактивните ядра, нека това е един период на полуразпад, значи това е началният брой, делен на две. Останало е половината. Нека да го видим на графиката, ако вземем Nо, делим го на две, това е приблизително тук, нека го наречем Nо/2. Отиваме дотук и спускаме перпендикуляр надолу, и това е нашият период на полуразпад. Ето така изглежда графично. Нека да вземем тези числа, да вземем периода на полуразпад и броя ядра, които имаме, и да заместим във формулата. Нека да си направя малко място. Просто ще преработя формулата. Имаме броя на радиоактивните ядра като функция от времето, който е равен на първоначалния брой на радиоактивните ядра по е на степен – λt. Замествам с тези стойности. Говорим за периода на полуразпад, заместваме тук времето. И после броя на радиоактивните ядра е Nо/2. Замествам във формулата. Получаваме Nо/2 е равно на Nо по е на степен – λ по периода на полуразпад. Добре, Nо се съкращава. Остава 1/2 е равно на е на степен – λ по периода на полуразпад, t 1/2. Сега трябва да се отървем от е. Логаритмуваме двете страни. Става натурален логаритъм от 1/2 отляво е равно на натурален логаратъм от е на степен (– λ по t 1/2). Натурален логаритъм от 1/2 е равен на –0,693. Просто го изчислих с калкулатора и получих –0,693. Отдясно става всичко това, което е в степенния показател. Добре, сега имаме... това е – λ по t 1/2. Не трябва да се притесняваме от знаците минус, това е просто 0,693 е равно на λ по T 1/2. Можем да намерим периода на полуразпад, t 1/2. То ще бъде равно на 0,693 делено на λ, константата на радиоактивно разпадане. Това е една от формулите, които ще виждаш за периода на полуразпад. Но какво ще стане, ако изразиш λ, константата на радиоактивно разпадане? Това изглежда доста просто. Получаваме, че константата на радиоактивно разпадане е равна на 0,693 върху периода на полуразпад. Просто преобразувах уравнението. От него можем да намерим периода на полуразпад или константата на радиоактивно разпадане. Можем да намираме или едното, или другото. Ако знаеш едно от двете, можеш да намериш другото. Да видим пак графиката на радиоактивно разпадане. Сега ще говорим за логаритмични графики, което е друг начин на представяне на данните. Нека да си направя малко място. Ще преработя формулата, значи броят на радиоактивните ядра е равен на началния брой по е на степен – λt. Сега ще представим това като права, като линейна зависимост. Сега трябва да разделим на Nо. Получаваме N/Nо. Делим двете страни на Nо и получаваме отдясно е на степен – λt. За да се отървем от това е, отново логаритмуваме. Логаритмуваме двете страни и получаваме натурален логаритъм от N/Nо е равно на натурален логаритъм от е на степен – λt. От свойствата на логаритмите отляво, натурален логаритъм от N/Nо е равно на натурален логаритъм от N минус натурален логаритъм от Nо. И после отдясно това изчезва и остава това. – λt остава отдясно. И ако просто преработим това, натурален логаритъм от N е равно на – λt, и добавяме Ln от Nо от тази страна. И сега получаваме много интересен вид. Ако погледнеш внимателно, това е същият вид като y = mx + b, което е уравнение на права. Значи у ще бъде натурален логаритъм от N, m ще бъде – λ, а t ще бъде нашият х тук. И накрая натурален логаритъм от Nо е нашето b. Значи y = mx + b, спомни си, че това е уравнение на права, в което m е наклонът (ъгловият коефициент). Значи можем да кажем, че наклонът на тази права е равен на – λ. Спомни си също, че това е пресечната точка с оста у. b е пресечната точка с Оу, която на нашата графика ще бъде натурален логаритъм от Nо. Сега ще направя много бързо една графика. Няма да се задълбочавам, просто ще го начертая. Нека това да е оста у, ще го сложа в скоби, защото не е точно това. А това е оста х, Ох. Значи по оста у, Оу, ще поставя натурален логаритъм от N. Нека взема друг цвят, за да се вижда по-добре. По Оу е натурален логаритъм от N. По оста х ще бъде времето. Това е времето. Знаем пресечната точка с Оу, тя е натурален логаритъм от Nо. Значи пресечната точка с Оу е натурален логаритъм от Nо. Можем да го докажем много бързо, когато времето е нула, нека да заместим, тогава натурален логаритъм от N е равен на –λ по нула, плюс натурален логаритъм от Nо. Това е нула и виждаме, че натурален логаритъм от Nо е тази точка ето тук. Значи това е пресечната точка с Оу. Знаем, че графиката ще бъде права. И че ще имаме отрицателен наклон, затова ще я начертая, тя ще изглежда нещо такова. това трябва да е права. Не го направих много добре, но можеш да използваш въображението си. И наклонът на това, спомни си какво е наклонът. Това е промяната на у върху промяната на х. Това е промяната по тази ос върху промяната по тази ос. Това е равно на –λ. видяхме го тук горе. Ако правиш логаритмична графика, това е логаритмична графика, защото имаме логаритъм към логаритъм. И тя ни дава известна информация, това е друг начин на представяне на данните. Ако намерим наклона на тази права, и сложим знак минус, това е константата на радиоактивно разпадане. После от константата на радиоактивно разпадане можеш да изчислиш периода на полуразпад. Понякога ще виждаш логаритмични графики просто като различен начин за представяне на данните.