Работа, извършена при изотермен процес

Да започнем с класическа система, която аз използвам отново и отново. И това е защото тя е много удобна за учебни цели. Също така, това е системата, която много се използва в училище. Затова се надявам, че е полезно за теб и твоите учебни занимания. Имам един съд. Отгоре има бутало, или подвижен таван. И вътре има куп молекули или атоми, които се удрят наоколо и упражняват някакъв вид налягане върху системата. Нека го обозначим като налягане Р1. Обемът нека да бъде V1. И имаме някаква начална температура. Това са макросъсояния. Мога да ти кажа колко е обемът, или налягането, или температурата, само ако системата е в равновесно състояние, ако всичко е еднородно. Температурата е еднаква навсякъде. И за да стои всичко вътре, трябва да сложа камъчета отгоре. Това вече го правих много пъти. Слагам тези малки камъчета, защото ще ги махам полека. Защото искам да имам квазистатичен процес. Искам да имам система, която винаги е близко до равновесие, така че спокойно да дефинирам макросъстоянията, налягането, температурата или обема. Нека запиша V за обем. В това видео ще разгледам т.нар. изотермичен процес. От самото му название следва, че ще поддържаме постоянна температура. Изо- означава просто "еднакво", "същото". Ако си спомниш от периодичната таблица, изотопи бяха един и същ елемент, само с различни масови числа. Така че тук ще имаме еднаква температура по време на процеса. Въпросът ми е: как да постигнем това? Защото докато махам камъчета, какво ще се случва? Ако правя само това, и... съдът е просто изолиран от останалия свят. И тук ще въведа едно понятие. Това е адиабатен процес. Адиабатен – сложна дума. Това означава напълно изолиран от околната среда. Никаква топлина не постъпва и не напуска системата. В този случай какво ще се случи, когато махна няколко от тези малки камъчета? Ще копирам и ще поставя. Направо ще го нарисувам отново. Тук имам една стена. Това е другата стена. И още една стена. Като махам камъчетата едно по едно, обемът ще нараства. Затова ще имам малко по-голям обем. Обемът нараства. Сега имам по-малко камъчета. Но тъй като имам същия брой молекули вътре, те ще се удрят в това по-малко. Така че налягането ще се понижи. А обемът ще нарасне. И процесът е адиабатен – не се добавя топлина към системата, така че какво ще се случи с температурата? Да го разгледаме така. Извършена е някаква работа, нали? Нашето бутало беше някъде тук. И ние го изтласкахме с някаква сила на някакво разстояние. Така че извършихме работа. И също така променихме кинетичната енергия, или отдадохме кинетична енергия от нашата система. Това е, което прави работата. Тази кинетична енергия се превърна в работа. А температурата е просто макро мярка за средната кинетична енергия. Ние просто... но няма сега да те занимавам с това. Но в последното видео, доказателството, което ти трябва... ако не си го гледал/а, защото не ти се занимава с математика, което е разбираемо, защото обикновено това не е включено в уроците по химия. Там аз показах, че вътрешната енергия е равна на общата кинетична енергия, която е равна на 3/2 по броя молове, по R, по температурата. Така че температурата по някакъв коефициент е просто мярка за кинетичната енергия. Сега, след като съм извършил някаква работа, това е пренос на кинетична енергия. И не мога да заместя тази енергия с топлина, защото процесът е адиабатен. В системата не постъпва и не се отделя топлина. При това положение кинетичната енергия на системата се понижава. Средната кинетична енергия на системата се понижава. Следователно и температурата се понижава. И какво се случва с вътрешната енергия? Вътрешната енергия е общата кинетична енергия на системата. Мога да запиша оригиналната формула. Промяната на вътрешната енергия е равна на промяната... Не трябва да правя това – е равна на топлината, добавена към системата, минус работата, извършена от системата. Това е работата, извършена от системата. Ето защо я изваждам. Процесът е адиабатен, значи не постъпва топлина в системата. Следователно промяната във вътрешната енергия е равна на минус работата, извършена от системата. В тази ситуация системата извърши работа. Тя изтласка буталото на някакво разстояние с някаква сила. И така, ∆U е отрицателно. То е по-малко от нула. U намаля и това е логично. Ако температурата се промени, вътрешната енергия също се променя. И в нашата проста система, където вътрешната енергия е кинетичната енергия на тези молекули, това винаги ще бъде вярно. Ако температурата не се променя, вътрешната енергия няма да се променя. Ако температурата се покачи, вътрешната енергия нараства. Ако температурата се понижи, вътрешната енергия намалява. Разбира се, те не са едно и също нещо. Разликата между вътрешната енергия и температурата е коефициент, 3/2 по броя на молекулите, по универсалната газова константа. Добре. Направих всичко това, за да ти покажа, че системата е напълно изолирана, и ако премахна няколко камъчета, тогава температурата ще се понижи. Вече казах, че искам да имам изотермичен процес. Искам процесът да протече, като температурата остава една и съща. Как може да стане това? Това, което ще направя, е да поставя моята система върху едно нещо, което ще наречем резервоар. Можеш да го разглеждаш като безкрайно голямо количество от нещо, което има нашата начална температура. Това е резервоарът Т1. Макар че ако взема две неща с почти еднакви размери... Това казва температура А. Това е температура В. И ги поставям едно до друго. Те ще се изравнят, (А + В)/2, каквито и да са температурите им. Но ако В е огромно, а А е просто малка частичка, А да кажем е желязна прашинка, а В е Айфеловата кула, тогава температурата на В няма да се промени много. А просто ще приеме температурата на В. Нашият резервоар тук е теоретично безкрайно голям. Това е един безкрайно голям обект. Ако нещо е в контакт с резервоара и има достатъчно време, то ще приеме топлина от резервоара, или температурата на резервоара. Какво ще се случи? Процесът е адиабатен, но сега аз го поставям до резервоара. Следователно няма да има адиабатен процес. Ще имаме ситуация, в която температурата ще е постоянна. Как ще изглежда това на pV-диаграмата? Нека да я начертая. Това е налягането. Това е обемът. Това е началната точка. Имаме изотермичен процес, а аз продължавам да махам тези камъчета. Започвам от това състояние ето тук. Ще копирам и поставя, вече съм сътворил толкова много. Придвижвам се от тук до тук, където съм махнал няколко частички. Да кажем, че махам няколко ето тук. И по тази причина обемът нараства. Значи обемът вече не е тук. Той е малко по-висок. Да кажем, че обемът, просто за нашите цели, обемът се е увеличил малко, защото аз махам тези малки камъчета, които натискат буталото. Това прилича на адиабатен процес, но температурата не се понижава, а остава Т1. Температурата е Т1 през цялото време, заради контакта с това хипотетично нещо, наречено резервоар. Затова аз ще се движа по крива, която се нарича изотерма. Това е състояние 1. Накрая мога да стигна до някакво място тук например. Това е състояние 2. Значи това е състояние 2, това е 1. Твърдя, че пътят ми ще прилича на някакъв вид равнораменна хипербола, или поне част от такава. Ако добавя камъчета и го свия, PV-диаграмата ще изглежда така. Ако продължавам да махам камъчета, кривата на PV-диаграмата ще се движи така. Каква е логиката? Ако температурата е постоянна, тогава аз се движа по хипербола. Нека да покажа формулата за идеален газ. Ще оградя всичко това тук. Ще взема формулата за идеален газ, PV е равно на nRT. Ако Т е константа... ние знаем, че R е константа, това е универсалната газова константа. Знаем, че не се променят моловете от частиците в системата. Това означава, че PV е равно на някаква константа. Цялото това нещо е равно на някаква константа. И ако искаме да запишем P като функция на V, това е P е равно на K/V. Това вероятно не ти изглежда познато, записано в алгебричен вид, но ако ти кажа да начертаеш y = 1/x, то как ще изглежда? Това е равнораменна хипербола. Изглежда ето така. Това е оста у, това е оста х, в този квадрант ще изглежда така. Ще изглежда така и в трети квадрант, но това не е толкова важно. Когато температурата е константа, имаме такава равнораменна хипербола, това е изотерма. Ако температурата е различна, ако тя беше по-ниска, тогава имаме друга изотерма. Може би ще изглежда ето така. Тя също е равнораменна хипербола, но в по-ниско състояние. Защо е така? Когато имаме по-ниска температура, за същия обем ще имаме по-ниско налягане. Тази температура Т2 е по-ниска от Т1. Искам да направя няколко неща в това видео. Обясних ти какво е адиабатен процес и защо температурата ще се понижи, ако тук нямаме резервоар. Но аз правя това видео, защото искам да ти е ясно, че заради този резервоар системата е в изотермично състояние. Той поддържа температурата непроменена. И ако поддържаш постоянна температура, се движиш по тази изотерма, тези равнораменни хиперболи. И че за всяка температура има съответна изотерма. Ако разбра това, нека направим още една крачка. Нека помислим за работата, която се извършва, докато се движим от това състояние до това състояние. Ако искаме да го направим само визуално, когато махаме бавно нашите камъчета, и тук долу е нашият резервоар, минаваме от това състояние в това състояние. Там, където обемът се повишава, налягането... Обемът се повишава. Налягането се понижава, но температурата остава константа през цялото време. Преди няколко видеа научихме, че извършената работа е площта под тази крива. Извършената работа е площта под тази крива. Ако искаме да го направим със средствата на висшата математика, но ако не искаш да се занимаваш с математически анализ, затвори очи и запуши уши. Тук ще бъде интеграл. Останалата част от видеото ще бъде доста математическо, може би трябва това да се вижда от заглавието на видеото. Ако искам да изчисля тази площ, сега мога да го направя. Допускането за изотермичен процес прави изчисленията по-лесни. Понеже знаем, че PV е равно на nRT, законът за идеалния газ. Ако разделим двете страни на V, можем да кажем, че P е равно на nRT, делено на V. Ето това е. Получихме Р като функция на V. Тази функция тук, тази графика тук, е точно това. Можем да запишем Р(V) = nRT/V. За да намерим площта под кривата, просто интегрираме тази функция от началото, V1, до крайната точка, V2. Колко е това? Добре, ще интегрираме от V1 до V2. Всъщност това не е равно. Работата ще бъде интеграл от V1 до V2, по нашата функция P(V), по dV. Събираме площите на всички малки правоъгълничета тук. Правихме това преди няколко видеа. Какво е Р като функция на V? Извършената работа е равна на, от V1 до V2, nRT/V по dV. Сега, това е нашето опростено допускане. Казахме, че системата стои върху резервоар. Този резервоар поддържа температурата постоянна през цялото време. И след малко ще разберем, че прави това с отдаване на топлина. И ще изчислим колко топлина се пренася към системата. И ако погледнем тук, температурата... допускаме, че сме върху изотермата, температурата е константа, n и R също са константи. Можем да преработим интеграла като интеграл от V1 до V2 от 1/V, dV. И можем да сложим nRT тук. Трябваше да го направя още в началото, nRTе просто константа. Сега, каква е първообразната функция на 1/V? Това е натурален логаритъм от V. Работата е равна на nRT по натурален логаритъм от V (това е първообразната функция), изчислена при V = V2, минус изчислената функция при V = V1. Това е равно на nRT по функцията, изчислена при V = V2, или натурален логаритъм от V2, минус натурален логаритъм от V1. От свойствата на логаритмите знаем, че това е равно на nRT по натурален логаритъм от V2/V1. И ето това е, изчислихме истинската стойност. Ако знаем началния обем и крайния обем, можем да изчислим работата, извършена при изотермичен процес. Работата, извършена при изотермичен процес, това е площта под кривата. Ние я намерихме. При избутването на това бутало, тя е nRT. Това са броят молове по универсалната газова константа. И постоянната температура. В този случай тя е Т1. И натурален логаритъм от крайния обем, разделен на началния обем. Нека сега да задам един допълнителен въпрос. Колко топлина постъпва в системата при тази изотермична крива? Тук постъпва топлина, за да се запази постоянната температура, иначе тя ще се понижи, нали? В системата постъпва топлина през цялото време. Но колко е тя? Понеже това е изотерма, тъй като температурата не се променя, какво знаем за вътрешната енергия? Променя ли се вътрешната енергия? Щом температурата не се променя, тогава и кинетичната енергия не се променя. Щом кинетичната енергия не се променя, тогава и вътрешната енергия не се променя. А ние знаем, че промяната във вътрешната енергия е равна на топлината, която постъпва в системата, минус работата, извършена от системата. И ако това е 0 – а ние знаем, че не се променя, защото температурата не се променя – тогава 0 е равно на Q минус W, или Q е равно на W. Това е работата, извършена от системата. Тук имаме нещо в джаули. И то е равно и на топлината, която постъпва в системата. То е равно на Q. Така че, ако трябваше да начертаем само тази част от кривата, ще го направя отново, за да е по-прегледно. Така ще разбереш какво са приели хората, които се занимават с термодинамика. Ще направя един хубав чертеж. Започваме тук, състояние 1. И се придвижваме по тази равнораменна хипербола, която е изотерма, до състояние 2. И сега изчислихме площта под тази крива, която е извършената работа, ето тази стойност тук. Нека да го запиша. Това е nRT по натурален логаритъм от V2/V1. Това е V2, а това е V1. Тази ос, спомни си, на тази ос е обемът. На тази ос е налягането. Счита се, че понеже е извършена работа при постоянна температура, то нашата вътрешна енергия не се променя, затова трябва да внесем енергия в системата, за да компенсираме извършената работа. Някаква топлина трябва да е постъпила в системата. И след това учените просто слагат тази малка стрелка надолу, и записват Q ето тук. Някаква топлина е постъпила в системата при този изотермичен процес. И стойността на това Q е равна на извършената работа. Ние внасяме точно определено количество топлина в системата, когато се извършва работа. И затова вътрешната енергия не се променя. Можеш да кажеш също, че температурата не се променя. Или може по обратния начин. Понеже температурата не се променя, тези двете трябва да са равни. Добре, сега те оставям. Надявам се, че разбра как работи PV-диаграмата, какво означава изотермичен и адиабатен процес. И най-важното е, тъй като използвахме доста математика, резултатът е полезен и за други интересни неща при тези топлинни системи, които разглеждаме. Ще се видим в следващото видео.