Изчисление на K-Ar датирането

В предишното видео разгледахме датирането по калий-аргон. В това видео искам да ти дам конкретен пример. В него ще има малко математика – малко алгебра или експоненциален разпад. За да ти покажа как на практика да изчислиш възрастта на магмена скала с тази техника, ще използвам и малко математика. Знаем, че всичко, което претърпява радиоактивен разпад, претърпява експоненциален разпад. Знаем също, че съществува по-общ начин да бъде описан този процес. В други клипове на Кан Академия го разглеждаме подробно и го доказваме. Но знаем, че количеството като функция на времето.... ако приемем, че N e количеството радиоактивен материал, с който разполагаме в даден момент, знаем, че то е равно на първоначалното количество. Ще го наречем N0, по е на степен –kt, където тази константа зависи от периода на полуразпад на материала. При калий-40 например знаем, че когато t = 1,25 милиарда години, останалото количество представлява половината от първоначалното количество. Нека го запишем по този начин. Започваме с N0, каквато и да е стойността му. Може да бъде 1 грам, 1 килограм, 5 грама – без значение. Започваме с това първоначално количество, повдигаме е на степен минус k по 1,25 милиарда години. Това е периодът на полуразпад на калий-40. 1,25 милиарда години. Знаем, че след толкова време ще е останало половината от първоначалното количество, тоест 1/2 N0. С колкото и да сме започнали, ще ни остава половината след 1,25 милиарда години. Разделяме и двете страни на N0. За да намерим k, трябва да логаритмуваме двете страни. Натуралният логаритъм е равен на 1/2... повече не ни трябва N0. Стойността на натуралния логаритъм е 1/2. Натуралният логаритъм просто показва на каква степен трябва да повдигна e, за да получа е на степен –k по 1,25 милиарда. Натурален логаритъм е степента, на която трябва да повдигна е, за да получа е на степен –k по 1,25 милиарда. Отговорът е просто –k по 1,25 милиарда. Мога да го запиша и като –1,25 по 10^9 по k. Това е равно на 1,25 милиарда. Имаме отрицателен знак, имаме и k. За да намерим стойността на k, ще разделим и двете страни на –1,25 милиарда. И така получаваме k. Ще обърна страните. k е равно на натурален логаритъм от 1/2 делено на –1,25 по 10^9. Можем да умножим отрицателното по числителя или да умножим числителя и знаменателя по отрицателно число, така че числителят да се получи отрицателен. Това е равно на... в знаменателя ще имаме 1,25 по 10^9. Което прави 1,25 милиарда. Ще го напиша в различен цвят. Отрицателният натурален логаритъм... може и по друг начин да го напиша. Ако имам а по натурален логаритъм от b, от свойствата на логаритмите знаем, че това е същото като натурален логаритъм от b на степен а. Значи отрицателният натурален логаритъм на 1/2 е равен на натурален логаритъм от 1/2 на степен -1. Тоест това е едно и също нещо. Което и да е число, повдигнато на отрицателна степен, е равно на своята реципрочна стойност. Това е натурален логаритъм от 2. Отрицателният натурален логаритъм от 1/2 е натурален логаритъм от 2. Успяхме да изчислим k. То е равно на натуралния логаритъм от 2 върху периода на полуразпад на елемента. Бихме могли да го обобщим, ако говорим за друг радиоактивен материал. След като вече изчислихме k, да помислим за ситуация, в която в дадена проба установяваме, че наличният калий е 1 мг. Измислям си стойностите. Обикновено те не се измерват директно и единствено ни интересуват относителните количества. Да кажем, че успеем да измерим, че количеството калий-40 е равно на 1 милиграм. Да кажем и, че количеството аргон е равно на 0,01 мг. Как да използваме тази информация, която получихме от периода на полуразпад, за да изчислим възрастта на тази проба? Как да изчислим възрастта на пробата? Знаем, че N, количеството, което е останало, е ето това тук. Знаем, че ни е останал 1 мг. Това ще отговаря на някакво първоначално количество – ще използваме тези две неща, за да изчислим първоначалното количество – по е, повдигнато на -kt. Знаем стойността на k. Ще я намерим след малко. k е ето това тук. Трябва да изчислим първоначалното количество. Знаем стойността на k и така можем да намерим t. Каква е възрастта на пробата? За да изчислим първоначалното количество, просто не трябва да забравяме следното. При разпада на калий-40 11% се разпада на аргон-40, а остатъкът, това са 89%, е калций-40. В предишното видео говорихме за това. Количеството наличен аргон-40 представлява 11% от продукта на разпада. Количеството на разпадналия се калий-40 след втвърдяването на лавата също може да бъде изчислено. Всичко, съдържащо се в течната лава, включително аргон-40, ще е успяло да "излети" от нея преди втвърдяването ѝ. За да изчислим първоначалното количество калий-40, просто делим на 11%. Бих казал, че първоначалното k, първоначалният калий-40 ще бъде равен на количеството калий-40, което имаме днес, 1 мг, плюс количеството калий-40, което е било необходимо, за да получим това количество аргон-40. То е равно на 0,01 мг, което е всъщност 11% от първоначалното количество калий-40. Остатъкът е калий-40. Делим го на 11%, или 0,11. Това не е точно число, но ще добиеш обща представа. И така, първоначалното количество, ще го означа с N0, ето тук, ще бъде равно на... няма аз да го изчисля... този 1 мг, който е останал, е равен на 1 мг, който сме намерили, плюс 0,01 мг, делено на 0,11. Цялото това умножено по е на -kt. Какво се получава? Ако искаме да намерим стойността на k, ако предположим, че знаем стойността му, а вече наистина я знаем – но абсолютната стойност не е от значение. Важно е съотношението. Ако искаме да намерим t, трябва да разделим двете страни на уравнението на количеството ето тук. Получава се... от тази страна – лявата... Разделяме двете страни. 1 мг върху това количество – ще го напиша в синьо. Ще предположа, че мерната единица е милиграми. Получава се 1 върху ето това количество, което е равно на 1 + 0,01, делено на 11%. Това е равно на е на степен -kt. Ако искаш да намериш стойността на t, намираме натуралния логаритъм на двете страни. Това тук е знак за равенство. Намираме натуралния логаритъм на двете страни. Получава се 1 делено на 1 плюс 0,01, делено на 0,11, или 11%, е равно на -kt. За да намерим t, делим и двете страни на -k. Ще го напиша ето тук. Математически е малко тромаво, но малко ни остава до отговора. Натуралният логаритъм от 1 върху (1 + (0,01 /0,11)), цялото делено на -k. Колко е -k? Делим и двете страни на уравнението на -k. -k е отрицателната стойност на ето това делено на отрицателния натурален логаритъм от 2 делено на 1,25 по 10 на девета степен. Сега мога да си извадя калкулатора и да изчисля с точност времето. Ще го измерваме в години, така сме определили константата. Ще си извадя калкулатора. Първо тази част. 1 делено на (1 + (0,01 / 0,11)). Ето тази част. Получава се това число. Намираме натуралния му логаритъм. Намираме натуралния логаритъм от предишния отговор, който е 0,9166667. Получаваме -0,087. Това тук е числителят. Ще го разделим. Това ни е числителят. Ще го разделим на... ще внимавам със скобите – отрицателният натурален логаритъм от 2, ето тук, делено на 1,25 по 10 на девета степен. Получаваме отрицателния натурален логаритъм от 2, делено на 1,25. е9 означава по 10 на девета. Затварям скобите. Да забият барабаните! Получаваме стойността на t в години. Да видим, това са хиляди, 3000... получаваме 156 милиона или 156,9 милиона години, ако закръглим. Което означава, че пробата е на приблизително 157 милиона години. Какъв е смисълът от това? Знам, че имаше малко математика, но това е нещо, което се учи преди диференциално и интегрално смятане или втора година алгебра, когато се учат показателни функции. Просто исках да ти покажа, че изчисляването на възрастта на дадена находка не става с магия. Не исках да си кажеш, че съм ти обяснил по много сложен начин и да си помислиш, че уравнението ще бъде много сложно. Математиката е на гимназиално ниво. Ако намериш радиоактивен материал с такова съдържание на аргон-40 към калий-40, можеш да използваш математиката, на която са те учили в гимназията. Можеш да сметнеш, че става дума за магмена скала на 157 милиона години.