Електрична потенциална енергия (част 2, с математически анализ)

В последното видео открихме колко работа, или колко енергия, трябва да вложим в една частица, за да я придвижим в едно постоянно заредено поле. Да видим дали можем да направим същото с едно променливо електрическо поле. И после можем да намерим електрическия потенциал на една позиция в сравнение с друга. Да кажем, че имаме точков заряд. Не е нужно да е точков заряд, но нека просто да кажем, че тук има някакво поле, което е генерирано от този заряд, който е +q1 кулона. Ако искахме да начертаем линиите на полето – и, разбира се, това е различно от примера с безкрайната равномерно заредена плочка, понеже това ще има променливо електрическо поле. Какво е електрическото поле на този заряд? Електрическото поле ще изглежда ето така. То е количествата сила, която ще приложи върху всяка частица, и винаги ще бъде насочено навън, понеже ще приемем, че въпросната тестова частица винаги е положителен заряд, тоест положителен заряд ще бъде отблъснат от този положителен заряд. Това поле е константата на Кулон по този заряд q1 върху разстоянието, на което сме от този заряд. Ако начертая това електрическо поле наблизо, то е доста силно. И после, докато се отдалечаваме, то става малко по-слабо. Винаги е радиално навън от заряда. Това е малък преговор. И това, което чертая, е векторно поле, като случайно избирам точки и показвам вектора на полето в тази точка, който е насочен навън, при даден радиус от окръжността, тези вектори трябва да са с една и съща големина. Знам, че моите не са точно такива, но се надявам, че схващаш идеята. И големината на тези вектори намалява с квадрата от разстоянието. Така ще изглежда полето, ако начертая няколко векторни линии на полето. И това е логично, това е просто преговор. Понеже знаем, че силата – ако имахме друг тестов заряд q2, знаем, че силата върху този тестов заряд е просто q2 по това и това е просто законът на Кулон – че силата върху някаква друга частица q2 е равна на електрическото поле по q2, което е равно на kq1q2/r^2. Това е просто от закона на Кулон и това идва от закона на Кулон. Тъй като знаем това, нека вземем някаква друга положителна частица тук и нека я наречем q2. Ще го запиша тук горе, тъй като вече направих каша тук долу. q2, и да кажем, че това е положителен заряд, така че ще бъде отблъснат от това q1. И нека намерим колко работа отнема, за да избутаме навътре тази частица с определено разстояние. Понеже полето я бута навън. Нужна е работа, за да я избутаме навън. Да кажем, че искаме да я бутнем навътре. Да кажем, че е на 10 метра. Да кажем, че това разстояние тук – нека начертая радиална права – да кажем, че това разстояние тук е 10 метра. И искам да избутам тази частица навътре с 5 метра, така че в крайна сметка да стигне дотук. Това е където ще стигна накрая, това ще е на 5 метра. Колко работа е нужна, за да го преместим 5 метра към този заряд? Начинът, по който мислиш за това, е, че полето продължава да се променя, нали? Но можем да приемем, за много, много, безкрайно малко разстояние – и нека наречем това безкрайно малко разстояние dr промяна в радиуса, и както виждаш, ще използваме малко интеграли и диференциали. Ако не разбираш какво е това, може да прегледаш плейлистата по висша математика. Колко работа е нужна, за да преместим тази частица на много, много малко разстояние? Нека просто приемем, че за това много, много малко разстояние, електрическото поле е приблизително постоянно и така можем да кажем, че много, много малко количество работа, за да придвижим това на много, много малко разстояние, е равно на константата на Кулон q1q2 върху r^2, по dr. Преди да продължим, нека за малко помислим върху нещо. Законът на Кулон ни казва, че това е силата навън, която този заряд прилага върху тази частица, или полето прилага върху тази частица. Силата, която трябва да приложим, за да преместим частицата оттук дотук, трябва да е сила навътре. Трябва да е в точно противоположната посока, тоест трябва да е отрицателна. И защо е това? Понеже трябва напълно да неутрализираме силата на полето. Може би ако частицата вече малко се движеше, нашата сила нямаше да ѝ позволи да намали скоростта си от полето. А ако не се движеше все още, трябваше да я бутнем с безкрайно малко количество, за да я накараме да се движи, а после нашата сила напълно ще неутрализира силата на полето и частицата нито ще ускори, нито ще намали скоростта си. Това е количеството работа и просто искам да обясня, че искаме да поставим този отрицателен знак тук, понеже се движим в противоположна на полето посока. Как намираме общото количество работа? Открихме количеството работа, за да стигнем от тук до тук, и дори го начертах много по-голямо, отколкото ще е. Това dr е безкрайно малка промяна в радиуса. Ако искаме да намерим общата работа, тогава ще продължим да ги събираме. Питаме се каква е работата, за да стигнем от тук до тук, после работата, за да стигнем от тук до тук, после работата, за да стигнем от тук до тук, чак докато не стигнем на 5 метра от този заряд. И когато вземем сбора от тези, приемаме, че това е безкраен сбор от безкрайно малки части. И както научи, това не е нищо различно от интеграла и общата работа е равна на интеграла. Това ще е определен интеграл, понеже започваме от тази точка. Събираме от – нашият радиус е равен на 10 метра – това е нашата начална точка – до радиуса, равен на 5 метра. Може да изглежда малко нелогично, че започваме от по-високата стойност и приключваме при по-ниската стойност, но именно това правим. Бутаме това навътре. И после взимаме интеграла от минус kq1q2/(r^2) по dr. Всички тези членове тук горе са константи. Така че можем да ги изнесем. Това е същото нещо – не искам да ми свърши пространството – като -kq1q2 по интеграла от 10 до 5 от 1/r^2 – или r^(-2), по dr. И това е равно на -k – свършва ми мястото – q1q2. Взимаме първообраза на функцията. Няма нужда да се тревожим за плюс тук, понеже това е определен интеграл. Какъв е първообразът на r^(-2)? Това е (-r)^(-1). Това -r или минусът на -r просто ще се съкрати с това. Това става плюс – r^(-1). И изчисляваш това при 5, а после го изваждаш и изчисляваш при 10. И после – нека дойда тук горе. Нека изтрия част от това. Нека изтрия това тук горе. Ценно пространство, върху което да работим. Казахме, че работата е равна на – просто ще препиша това. Имахме минус тук, но после имахме минус, взехме първообраза, и те се съкратиха, така че имаме kq1q2 по първообраза, изчислен при 5, тоест 1/5, нали така? r^(-1), тоест 1/r минус първообраза, изчислен при 10, минус 1/10 е равно на – 1/5, това е същото нещо като 2/10. Получаваме, че работата е равна на kq1q2 по – 2/10 минус 1/10 е 1/10, така че това е равно на kq1q2/10. Това е работата, нужна за придвижване на частицата от тук до тук. И по същия начин можем да кажем, че потенциалната енергия на частицата при – потенциалната разлика на частицата при тази точка в сравнение с тази точка – че потенциалната разлика тук е толкова по-висока. Това ще е в джаули, понеже това е мерната единица за енергия или работа, или потенциал, понеже потенциалът е енергия. Електростатичната потенциална разлика между тази точка и тази точка: в тази точка тя е по-висока с тази стойност. Нека направим друг пример и може да ни е интересно – просто нещо, за което да помислим. Голямата разлика между – всъщност нека просто да продължа в следващото видео, понеже вече минаха 10 минути. Ще се видим скоро.