Какво представлява уравнението на Бернули?

Принципът на Бернули е наглед контраинтуитивно твърдение за връзката между скоростта и налягането на флуид. Много хора имат чувството, че принципът на Бернули не би трябвало да е верен, но това може би се дължи на неразбиране какво принципът на Бернули гласи наистина. Принципът на Бернули гласи следното:

Принцип на Бернули: При хоризонтален поток на флуид точките с по-висока скорост имат по-ниско налягане от точките с по-ниско налягане.

Така че в хоризонтална тръба с променлив диаметър областите, в които водата се движи по-бързо ще имат по-високо налягане от областите, в които водата се движи по-бавно. Това звучи контраинтуитивно на много хора, тъй като хората асоциират високата скорост с високи налягания. Но в следващата част ще покажем, че това всъщност означава просто, че водата ще се забързва, когато налягането зад нея е по-високо от това пред нея. В частта по-долу ще изведем принципа на Бернули, ще покажем какво по-точно означава той и, надяваме се, ще снемем част от мистериозната му аура.

Несвиваемите флуиди трябва да увеличават скоростта си, когато достигнат до присвит участък, за да поддържат постоянен обемен поток. Това е причината тесен накрайник на маркуч да кара водата да излиза с висока скорост. Но може да те притеснява нещо относно този феномен. Ако водата се забързва при свити участъци, тя придобива кинетична енергия. Откъде идва тази кинетична енергия? От дюзата? От тръбата?

Единственият начин да придадеш кинетична енергия на нещо е да извършиш работа върху него. Това се изразява със следното равенство:

Така че ако една част на флуид се забързва, нещо външно за нея трябва да извършва работа върху нея. Каква сила може да извършва работа върху флуида? Ами, в повечето реални системи са налични много дисипативни сили, които могат да извършват отрицателна работа, но ние ще предположим, за да са по-прости разглежданията ни, че тези вискозни сили са пренебрежими и имаме хубав непрекъснат и напълно ламинарен поток. Ламинарен поток означава, че флуидът тече на успоредни слоеве без никъде да се пресичат токови линии. При ламинарния поток няма завихряния.

Добре, при това положение ще приемем, че няма загуба на енергия заради дисипативни сили. В такъв случай какви недисипативни сили биха могли да извършват работа върху флуида и да го карат да се движи по-бързо? Налягането на заобикалящия флуид ще предизвиква сила, която може да извършва работа и да забързва части от флуида.

Разгледай диаграмата по-долу, която показва вода, течаща по токови линии отляво надясно. Когато обозначеният обем вода навлиза в стеснения участък, той се забързва. Силата от налягането $P_1$‍ от лявата страна на оцветената област упражнява сила надясно и извършва положителна работа, тъй като силата и преместването са в една и съща посока. Силата от налягането $P_2$‍ от дясната страна на оцветената част упражнява сила наляво и извършва отрицателна работа, тъй като посоката ѝ е противоположна на посоката на преместването на оцветения флуид.

Знаем, че водата трябва да се забързва (заради уравнението на непрекъснатостта) и следователно трябва върху нея да е извършена положителна сумарна работа. Така че работата, извършена от силата от налягането от лявата страна, трябва да е по-голяма от количеството отрицателна работа, извършена от силата от налягането от дясната страна. Това означава, че налягането $P_1$‍ откъм широката и бавна страна трябва да бъде по-голямо от налягането $P_2$‍ откъм тясната и бърза страна. opl

Обратната зависимост между налягането и (големината на) скоростта в точка на флуид се нарича принцип на Бернули.

Принцип на Бернули: В точки по хоризонтална токова линия, в области с високо налягане, скоростта на флуида е по-ниска, а в области с по-ниско налягане скоростта на флуида е по-висока.

Може би идейно най-простият начин да си мислиш за принципа на Бернули е като обстоятелството, че когато флуид тече от област с по-високо налягане към област с по-ниско налягане, той ще се ускори под действието на сумарната сила по посока на движението.

Идеята, че участъци, в които флуидът се движи бързо, ще имат по-ниско налягане, може да звучи странно. Определено бързо движещ се флуид, който те удря, ще упражни по-голямо налягане върху тялото ти от флуид, който се движи бавно, нали? Да, така е. Но говорим за две различни налягания. Налягането, за което става дума в принципа на Бернули, е вътрешното за флуида налягане, което ще бъде упражнявано във всички посоки, включително по стените на тръбата. Това е различно от налягането, което флуидът би упражнил върху теб, ако запречиш движението му.

Обърни внимание, че принципът на Бернули не гласи, че флуид, който се движи с висока скорост, не може да има високо налягане. Гласи, че налягането в по-бавен участък от един поток трябва да има още по-високо налягане от по-бързо движещия се участък.

Уравнението на Бернули е математически формулирано обобщение на принципа на Бернули, което отчита и промените в гравитационната потенциална енергия. В следващата част ще изведем това уравнение, но преди да направим това, нека го разгледаме и добием представа какво гласи то и как може да се използва.

Уравнението на Бернули задава връзка между налягането, скоростта и височината на произволни две точки (1 и 2) от постоянен поток с плътност $\rho$‍. Уравнението на Бернули обикновено се записва по следния начин:

Променливите $P_1$‍, $v_1$‍, $h_1$‍ се отнасят за налягането, големината на скоростта и височината на флуида в точка 1, а променливите $P_2$‍, $v_2$‍, и $h_2$‍ се отнасят за налягането, големината на скоростта и височината на флуида в точка 2, както е показано на диаграмата по-долу. Диаграмата по-долу показва принципа на Бернули за избрани две точки, но той ще бъде валиден за произволни две точки във флуида.

Когато използваш уравнението на Бернули, как да решиш кои точки да избереш? Едната точка ще бъде такава, за която търсиш стойността на някоя от величините, участващи в уравнението на Бернули. А втората точка най-често ще избираш на място, за което ти е дадена информация, като например място, където флуидът е в контакт с атмосферата, тъй като знаем, че абсолютното налягане там е атмосферното налягане $P_{atm}=1,01\times {10}^{5}Pa$‍.

Забележи, че $h$‍ е височина във флуида спрямо някакво произволно ниво, избрано по какъвто и да е начин, който е удобен в конкретната ситуация. Обикновено най-удобно е да избереш по-ниската точка (от точките 1 и 2) като нивото, където $h=0$‍. $P$‍ означава налягането в тази точка. Можеш да избереш манометрично налягане или абсолютно налягане, но което и да избереш, трябва да използваш същото (манометрично или абсолютно) от другата страна на уравнението. Не може да използваш манометричното налягане за точка 1 и абсолютното налягане за точка 2. Също, ако използваш манометричното налягане за точка 1 и решиш уравнението за налягането в точка 2, стойността, която ще получиш, ще бъде манометричното налягане в точка 2 (а не абсолютното).

Членовете ${\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v^2$‍ и $\rho gh$‍ изглеждат точно като кинетична енергия ${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2$‍ и потенциална енергия $mgh$‍, с разликата, че масата $m$‍ е заменена с плътността $\rho$‍. Така че може и да не е голяма изненада, че уравнението на Бернули се получава при прилагане на принципа за запазване на енергията към поток на флуид. В следващата част ще изведем уравнението на Бернули, като използваме запазването на енергията.

Разгледай следната диаграма, на която е показано как вода тече отляво надясно в тръба, която променя и сечението си, и височината си. Както и преди, водата ще се забърза и ще увеличи кинетината си енергия $K$‍ в стеснените участъци на тръбата, тъй като обемният поток трябва да се запазва за несвиваем флуид, дори и тези стеснени участъци да отиват нагоре. Но сега понеже стесненият участък също така кара флуида да се движи нагоре, водата ще придобива както гравитационна потенциална енергия $U_g$‍, така и кинетична енергия $K$‍. Ще изведем уравнението на Бернули, като зададем, че енергията, придобита от флуида, трябва да бъде равна на външната работа, извършена върху него.

Да предположим, че системата, която разглеждаме, се състои от два обема вода 1 и 2 и водата между тях. Ако допуснем, че потокът е ламинарен, невискозен и че дисипативни сили не действат на потока на флуида, тогава всяка допълнителна енергия $\mathrm{\Delta }(K+U{)}_{система}$‍, добавена към системата, ще се дължи на външна работа $(W_{външна})$‍, извършена върху флуида от сили от налягането около него.

Можем да изразим това математически като:

Първо, ще се опитаме да намерим външната работа $W_{външна}$‍, извършена върху водата. Водата между точките 1 и 2 не може да извършва външна работа, тъй като там тя е част от системата. Единствено наляганията $P_1$‍ и $P_2$‍ могат да извършват външна работа върху системата, както е показано на диаграмата. Водата при $P_1$‍, вляво от обем 1, ще извърши положителна работа, тъй като силата има същата посока като посоката на движение на флуида. Водата при $P_2$‍, вдясно от обем 2, ще извърши отрицателна работа върху системата, тъй като има противоположна посока на посоката на движение на флуида.

За по-просто ще разгледаме случая, когато силата от налягането на водата отляво на обем 1 действа на обем 1 по цялата му дебелина $d_1$‍. Като предположим, че флуидът е несвиваем, той трябва да измести същия обем вода, измествайки обeм 2 на разстояние $d_2$‍.

Работата можем да намерим по формулата $W=Fd$‍. Можем да заместим с формулата за силата от налягането $F=PA$‍ във формулата за работа, за да получим $W=PAd$‍. Така че положителната работа, извършена върху системата, ще бъде $W_1=P_1{A}_1{d}_1$‍, а работата, извършена от водата в близост до точка 2, ще бъде $W_2=-P_2{A}_2{d}_2$‍.

Като заместим с тези изрази за работата в лявата страна на формулата $W_{сум}=\mathrm{\Delta }(K+U{)}_{система}$‍ за работа и енергия, получаваме:

Но членовете $A_1{d}_1$‍ и $A_2{d}_2$‍ трябва да са равни, защото представляват обемите на изместения флуид до точките 1 и 2. Ако предположим, че флуидът е несвиваем, еднакъв обем флуид трябва да е изместен навсякъде, включително отгоре. Така че $V_1=A_1{d}_1=A_2{d}_2=V_2$‍. Можем просто да запишем тези членове като $V$‍, тъй като обемите са равни. Това опростява лявата страна на формулата за работата и енергията до:

Стига толкова за лявата страна. Да разгледаме сега дясната. Това е критичен и тънък момент в извода. Не забравяй, че системата, която разглеждаме включва не само оцветените части от водата около точките 1 и 2, а и водата между тях. Как изобщо ще успеем да отчетем всички промени в кинетичната и потенциалната енергия на всички части на такава голяма и криволичеща система?

Ами, трябва да направим още едно допускане, за да довършим извода. Ще допуснем, че потокът е стационарен. Стационарен означава, че скоростта на флуида във всяка точка от тръбата не се изменя с времето. С други думи, ако стоиш и гледаш в околност на коя да е фиксирана точка от вътрешността на прозрачната тръба, ще виждаш нова вода да идва постоянно, но щом потокът е стационарен, тогава всичката вода ще има една и съща скорост, докато минава през въпросната точка.

Но как идеята за стационарен поток ни помага да разберем промяната в енергията на голямата криволичеща флуидна система? Да разгледаме диаграмата по-долу. Системата, чиято енергия разглеждаме, се състои от оцветения в сиво флуид (обем 1, обем 2 и всичкия флуид между тях). На първата картинка системата има някакво количество енергия $(K+U{)}_{начална}$‍. На втората картинка върху системата е била извършена някаква работа, получила е енергия, преместила се е надясно и вече има някаква друга сумарна енергия $(K+U{)}_{крайна}$‍. Но забележи, че енергията на флуида между пунктираните линии ще си е останала същата (при положение, че потокът е стационарен). Водата, която в началния момент се намира между пунктираните линии, ще промени мястото и скоростта си, но новата вода, която ще се намира между същите пунктирани линии във втория момент, ще има същата скорост и височина като първоначалната. Единственото нещо, което се е променило в системата, е, че обем 2 вече се намира в участък от тръбата, в който не е бил първоначално, и че сега никоя част на системата не заема старата позиция зад обем 1.

Като цяло това означава, че общата промяна в енергията на системата може да бъде намерена, просто като разгледаме енергиите на крайните точки. Тоест можем да вземем кинетичната и потенциалната енергия $(K_2+U_2)$‍, които сега съществуват в обем 2, след като работата е извършена, и да извадим кинетичната и потенциалната енергия $(K_1+U_1)$‍, които вече не съществуват зад обем 1, след като работата е извършена. С други думи, $\mathrm{\Delta }(K+U{)}_{система}=(K_2+U_2)-(K_1+U_1)$‍.

Като заместим с това в дясната страна на формулата за работа и енергия $P_{1}V-P_{2}V=\mathrm{\Delta }(K+U{)}_{система}$‍, получаваме:

Сега ще заместим във формулите за кинетична енергия $K={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2$‍ и гравитационна потенциална енергия $U_g=mgh$‍, за да получим:

В това уравнение $P_1$‍ и $P_2$‍ представляват наляганията на флуида в обеми 1 и 2. Променливите $v_1$‍ и $v_2$‍ представляват скоростите на флуида в обеми 1 и 2. И $h_1$‍ и $h_2$‍ представляват височината на флуида в обеми 1 и 2.

Но тъй като сме предположили, че флуидът е несвиваем, изместените маси от обеми 1 и 2 трябва да бъдат еднакви $m_1=m_2$‍. Така че, като махнем индексите на $m$‍-овете, получаваме:

Можем да разделим двете страни на $V$‍ и да махнем скобите, след което получаваме:

Можем да опростим това уравнение, като отбележим, че масата на изместения флуид, разделена на обема на изместения флуид, е плътността на флуида $\rho ={\displaystyle \frac{m}{V}}$‍. Като заменим ${\displaystyle \frac{m}{V}}$‍ с $\rho$‍, получаваме:

Сега само ще пренаредим формулата, като във всяка от страните оставим променливите, отнасящи се за една и съща точка от пространството:

И това е. Това е уравнението на Бернули! То гласи, че ако събереш налягането $P$‍ плюс плътността на кинетичната енергия ${\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v^2$‍ плюс плътността на гравитационната потенциална енергия $\rho gh$‍ за кои да е две точки от потока, те ще бъдат равни.

Можеш да гледаш на уравнението на Бернули като на закон за запазване на енергията за поток на флуид. Видяхме, че уравнението на Бернули е резултат от прилагането на факта, че промяна на кинетична или потенциална енергия в една флуидна система е причинена от външна работа, извършена върху системата от друг невискозен флуид. Не забравяй, че трябваше да направим много допускания. Трябваше да предположим, че потокът е ламинарен, че няма дисипативни сили, тъй като в противен случай щеше да се отделя топлинна енергия. Трябваше да предположим, че потокът е стационарен, тъй като в противен случай нямаше да се получи онази хитрост със съкращаването на енергиите на средния участък. Трябваше още да предположим и за несвиваемостта на флуида, тъй като в противен случай нямаше да може да твърдим, че обемите и масите са равни.

Тъй като величината $P+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v^2+\rho gh$‍ е една и съща във всяка точка от потока, друг начин за записване на уравнението на Бернули е:

Тази константа ще бъде различна за различни флуидни системи, но за даден стационарен ламинарен поток без дисипация, стойността на $P+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v^2+\rho gh$‍ ще бъде една и съща във всяка точка от флуида.

Трябва да отбележим, че принципът на Бернули се съдържа в уравнението на Бернули. Ако започнем с:

и приемем, че няма разлика във височината на флуида, тогава членовете $\rho gh$‍ се унищожават.

Или можем да го запишем като:

Тази формула изразява принципа на Бернули, тъй като ако скоростта $v$‍ на флуида е по-голяма в дадена област от потока, то налягането $P$‍ трябва да е по-малко в тази област (което е именно принципът на Бернули). Увеличаване на скоростта $v$‍ трябва да бъде съпътствано от намаляване на налягането $P$‍, за да остане сумата същата.

Имаш ресторант и проучваш нови начини за сервиране на бира на клиенти. Едно предложение е за тръба, която ще пренася бира с плътност $1090{\displaystyle \frac{kg}{m^3}}$‍ из ресторанта. Част от тръбата е показана по-долу. Скиците показват, че скоростта и манометричното налягане на бирата в точка 1 са съответно $3,00\text{ m/s}$‍ и $12,300\text{ Pa}$‍. Бирата в точка 2 е с $1,20\text{ m}$‍ по-високо от флуида в точка 1 и се движи със скорсот $\mathrm{0,750}\text{ m/s}$‍. Не можеш да разчетеш числото, написано на скицата, за налягането на бирата в точка 2.

Сега трябва да изберем отправното ниво $h=0$‍. Ще изберем височината на точка 1 за $h=0$‍. Това означава, че $h_1=0$‍ и $h_2=1,2\text{ m}$‍. Като заместим с тези стойности в уравнението, получаваме:

Можем да се отървем от члена с нулата и да заместим с числените стойности на останалите променливи, за да получим:

Забележка: Знаем, че това е манометричното налягане в точка 2, а не абсолютното налягане, тъй като заместихме с манометричното налягане за точка 1. Ако искаме абсолютното налягане, можем да добавим атмосферното налягане $(1,01\times {10}^5\text{ Pa})$‍ към отговора.

Голям хотел те е наел да конструираш фонтан, който се пълни от цилиндрична тръба с диаметър $15\text{ cm}$‍, която пренася вода хоризонтално на $8,00\text{ m}$‍ под земята. Тръбата завива нагоре и накрая изстрелва водата от края на тръбата, който има диаметър $5,00\text{ cm}$‍ и се намира на $1,75\text{ m}$‍ над земята, със скорост $32,0\text{ m/s}$‍. Водата има плътност $1,000{\displaystyle \frac{kg}{m^3}}$‍.

Тези задачи с уравнението на Бернули са сложни, така че трябва да начертаем диаграма на ситуацията и да изберем две точки, които ни интересуват. (тази диаграма очевидно не е в реален мащаб)

Ще изберем точка близо до дъното за точка 1, тъй като се интересуваме какво е налягането там, и ще изберем най-горната част на тръбата, откъдето водата излиза, за точка 2, тъй като имаме информация за скоростта на водата в тази точка.

Не знаем скоростта на водата в точка 1. Ще трябва да намерим скоростта $v_1$‍, преди да можем да използваме уравнението на Бернули, за да намерим налягането в точка 1.

Можем да направим това, като използваме уравнението за непрекъснатост $A_1{v}_1=A_2{v}_2$‍, тъй като водата е несвиваема. Знаем, че напречното сечение на цилиндричната тръба може да бъде намерено чрез $A=\pi r^2$‍, така че като заместим с площите в уравнението за непрекъснатост, получаваме:

Когато решаваме уравнението за скоростта $v_1$‍, $\pi$‍-тата се съкращават и остава:

Като заместим с радиусите на тръбите, можем да решим уравнението за скоростта в точка 1, и получаваме:

$v_1={\displaystyle \frac{(2,50\text{ cm}{)}^2}{(7,50\text{ cm}{)}^2}}(32,0\text{ m/s})=3,56\text{ m/s}$‍

Сега щом имаме скоростта в точка 1, можем да заместим в пренареденото уравнение на Бернули, което имаме, за да получим:

Можем да изберем отправната линия $h=0$‍ през точка 1, което води до $h_1=0\text{ m}$‍ и $h_2=8,00\text{ m}+1,75\text{ m}=9,75\text{ m}$‍.

Като заместим с тези в нашето пренаредено уравнение на Бернули, членът $\rho g{h}_1$‍ изчезва (защото е нула) и получаваме:

Всичко, което трябва да направим сега, е да намерим налягането $P_2$‍ в точка 2. Ще обясним, че налягането в точка 2 трябва да е атмосферното налягане, тъй като водата излиза в атмосферата. Това предположение трябва да се направи в много задачи, в които се използва уравнението на Бернули. Винаги, когато точка е отворена към атмосферата, налягането в тази точка трябва да бъде атмосферното. Можем или да използваме абсолютни налягания в уравнението на Бернули и да кажем, че $P_2=1,01\times {10}^{5}Pa$‍, или можем да използваме манометрично налягане и да кажем, че $P_2=0$‍ (тъй като манометричното налягане е абсолютното минус атмосферното). Винаги, когато можем да получим нула, това прави живота ни по-лек, така че ще използваме манометрично налягане, където $P_2=0$‍. С това нашето уравнение на Бернули придобива вида:

Сега можем да заместим с плътността на водата $\rho =1000{\displaystyle \frac{kg}{m^3}}$‍ и големината на ускорението, причинено от гравитацията $g=+9,8{\displaystyle \frac{m}{s^2}}$‍, при което получаваме, че

$P_1={\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathrm{1,000}{\displaystyle \frac{kg}{m^3}})(32\text{ m/s}{)}^2+(\mathrm{1,000}{\displaystyle \frac{kg}{m^3}})(+9,8{\displaystyle \frac{m}{s^2}})(9,75\text{ m})-{\displaystyle \frac{1}{2}}(\mathrm{1,000}{\displaystyle \frac{kg}{m^3}})(3,56\text{ m/s}{)}^2$‍.

Забележка: Това, което намерихме, е манометричното налягане, тъй като заместихме с $P_2=0$‍. Ако бяхме заместили с $P_2=1,01\times {10}^5\text{ Pa}$‍, щяхме да получим абсолютното налягане в точка 1.