Намиране на скорост на потока от уравнението на Бернули

Да кажем, че имаме една хоризонтална тръба. Ще нарисувам левия край на тръбата. Площта тук в левия край на тръбата ще означа като площ 1. Да кажем, че тази площ е равна на 2 квадратни метра. Да кажем, че тръбата се свива, така че напречната площ в този край на тръбата, площ 2, е равна на половин квадратен метър. И да кажем, че... В тази точка на тръбата имаме някаква скорост, v1, и изходящата от тръбата скорост е v2. Външното налягане в тази точка бива приложено надясно към тръбата. Да кажем, че налягане 1 е 10 000 паскала. Налягането в този край, налягане 2 – това е външното налягане в тази точка на тръбата – е равно на 6000 паскала. Като имаме тази информация, да кажем, че в тръбата има вода. Приемаме, че това е ламинарен поток, така че няма триене с тръбата и няма турбулентност. Като използваме това, искам да намеря какъв е потокът на водата в тази тръба – колко обем влиза в тръбата в секунда, или колко обем излиза от тръбата в секунда. Знаем, че тези двете ще са еднакви, заради уравнението за непрекъснатост. Знаем, че потокът – който е R – който е обемът за количеството време, е същият като входящата скорост по входящата площ. Входящата площ е 2, така че това е 2v1, а това също е равно на изходящата площ по изходящата скорост, така че това е равно на 1/2 от v2. Можем да преобразуваме това – v1 е равно на 1/2 от R, а v2 е равно на 2R. Това веднага ни казва, че v2 излиза с по-бърза скорост и това е въз основа на размера на отворите. Знаем, че понеже v2 излиза с по-бърза скорост, но също знаем, че понеже имаме много по-високо налягане в този край, отколкото в този, водата тече надясно. Разликата в налягането, градиентът на налягането, отива надясно, тоест водата ще се процежда през този край. И влиза от този край. Нека използваме уравнението на Бернули, за да намерим какъв е потокът през тази тръба. Нека го запишем: Р1 плюс "ро" gh1 плюс 1/2 "ро" v1^2 е равно на Р2 плюс "ро" gh2 плюс 1/2 "ро" v2^2. Височината във всеки край е една и съща, така че h1 ще е равно на h2. Тези два члена ще са равни, така че можем да ги зачеркнем – можем да извадим тази стойност от двете страни и ни остава само Р1... Колко е Р1? Р1 е 10 000 паскала плюс 1/2 "ро" по v1^2. Колко е v1? Това е R/2 – намерихме това тук. Тоест по R/2 на квадрат е равно на Р2 – а това е 6000 паскала, плюс 1/2 "ро" по v2^2. Намерихме колко е v2 – v2 е (2R)^2. Нека малко опростим и да извадим 6000 от двете страни и ни остава 4000 плюс "ро" R^2 върху 8 е равно на 1/2 по R^2 по 4. Това е 2 "ро" R^2. Можем да умножим двете страни на това уравнение по 8, за да се отървем от този знаменател, така че ще получим 32 000 плюс "ро" R^2 е равно на 16 "ро" R^2. Изваждаме "ро" R^2 от двете страни на това уравнение и получаваме, че 32 000 е равно на 15 "ро" R^2. Колко е "ро"? Каква е плътността на водата? Плътността на водата е 1000 килограма на кубичен метър, така че това е 1000. Нека разделим двете страни на 15 по "ро". Получаваме R^2 е равно на 32 000, делено на 15 "ро" – "ро" е 1000, тоест R^2 е равно на 32 000 върху 15 000, което е същото нещо като 32/15. R е равно на корен квадратен от 32/15 и това ще е кубични метри в секунда. Да извадя калкулатора си. Получавам, че 32, делено на 15, е равно на 2,1, а корен квадратен от това е 1,46. Отговорът е – R е равно на 1,46 кубични метра в секунда. Това е обемът на водата, който или навлиза в системата на всяка секунда, или излиза от системата на всяка секунда. Можем да намерим и скоростите – каква е изходящата скорост за системата? Колко е 2 по това? Това е 2,8 метра в секунда, излизащи от системата, а входящите са половината от това, така че е 0,8 метра в секунда. Надявам се, че това ти дава – всъщност 0,7 метра в секунда – малко повече интуиция за течностите и с това ще приключа за днес. Ще се видим в следващото видео и ще свършим малко работа върху термодинамика.