Обемен поток и уравнение за непрекъснатост

Всичко, което сме правили досега, беше с неподвижни течности, или статични течности, и работехме със статично налягане. Опитвахме да разберем какво се случва, когато нещата са в неподвижно състояние. Сега нека работим върху това, което се случва, когато течността се движи. Да си представим една тръба. Ще начертая тръба. Да кажем, че единият край на тръбата има по-голяма площ от другия, или поне различна площ. Това е единият край на тръбата, а това е другият край на тръбата. Тя е запълнена с някаква течност в нашия пример, така че тук има някаква течност. Да кажем, че тази площ във входната част се нарича "площ навътре". Това е площта на отвора към тръбата. И нека наречем това "площ навън" – това е площта на отвора, излизащ от тръбата. Нека помислим какво става, ако тази течност се движи. Да кажем, че се движи към тръбата със скорост vi. Нека помислим колко обем се движи към тръбата след t секунди. След t секунди, ако помислиш за това, ще имаш толкова площ. Ако помислиш какво беше тук, с колко то ще се е придвижило надясно? Можем да се върнем към основната си кинематична формула: разстоянието е равно на скоростта по времето. Разстоянието, което нещо изминава, е равно на скоростта по времето, тоест след t секунди каквато течност беше тук, и тя ще има приблизително толкова площ. Каквато течност беше тук, с колко ще се е придвижила надясно? Ще се е придвижила – да приемем, че тази тръба не се променя прекалено много в диаметър, или в радиус, оттук дотук. Тя ще е изминала скоростта по времето, тоест vi по времето. Това ще е метри или каквито са мерните единици за дължината. След t секунди толкова вода се е придвижила в тръбата. Можеш да си представиш един цилиндър вода тук. Отново, знам, че направих това да изглежда сякаш постоянно се разширява, но нека приемем, че тази ширина не се променя толкова много през тези t секунди, или каквито са единиците за време. Какъв е обемът на този цилиндър вода? "Обемът навътре" през тези t секунди е равен на площта, или лявата страна на цилиндъра... Нека нарисувам цилиндъра в по-ярък цвят, за да можеш да намериш обема. Това е равно на тази страна, лявата страна на цилиндъра, площта навътре по дължината на цилиндъра. Това е скоростта на течността по времето, което измерваме, по входящата скорост по времето. Това е количеството обем, което е навлязло. Ако този обем е навлязъл в тръбата – преди няколко видеа научихме, че определението за течност е течна среда, която е несвиваема. Няма да се случи течност да излезе от тръбата или цялата течност да се свие. Същият обем течност ще трябва да излезе от тръбата. Тоест това трябва да е равно на "обема навън". Каквото влезе в тази тръба трябва да е равно на обема, който излиза от тръбата. Едно предположение, което приемаме е, че в тази част от времето, с която работим, няма триене в тази течност – тя не е турбулентна и не е вискозна. Едно вискозна течност е нещо, което има много триене със себе си и няма да се движи естествено без съпротивление. Когато нещо не е вискозно и няма съпротивление със себе си и се движи без турбулентност, то се нарича ламинарен поток. Това е хубава дума да знаеш и е противоположното на вискозен поток. Различните неща имат различни вискозитети и вероятно ще обсъждаме това допълнително. Като сиропът или фъстъченото масло, които имат много, много голям вискозитет. Дори стъклото всъщност е течност с много, много висок вискозитет. Мисля, че има някои видове съединения и магнитни полета, които можеш да създадеш, които имат перфектен ламинарен поток, но това е един вид перфектна ситуация. В тези обстоятелства обемът навътре – понеже течността не може да бъде свита, тя не е свиваема – трябва да е равен на обема навън. Какъв е обемът навън през този период от време? Подобно, можем да начертаем този по-голям цилиндър – това е площта навън – и след t секунди колко вода е излязла? Каквато вода е била тук в началото на нашия времеви период, сега ще е излязла, и можем да си представим цилиндъра тук. Каква е ширината на цилиндъра? Това ще е скоростта, с която течността излиза отдясно. Това е главно V. Главно V е обем, а малко v е за скоростта. Това ще е изходящата скорост – това е малко v – по същото време. Какъв е обемът, който е излязъл за нашето време t? Това ще е тази площ по тази ширина, изходящият период върху този същия период от време е равен на изходящата площ на тази тръба по изходящата скорост по времето. Отново, знам, че все се повтарям, но това е много важен момент – през този времеви период обемът в този цилиндър трябва да е равен на обема в този цилиндър. Може би не е толкова широк... Техните обеми са еднакви. Не можеш да събереш повече вода тук, отколкото влиза навътре, и по същия начин – не можеш да поставиш повече вода вляво, отколкото идва отдясно, понеже това не може да се свие. Тези два обема са равни, така че знаем, че площта на отвора към лявата страна на тръбата по входящата скорост по продължителността, за която говорим, е равно на изходящата площ по изходящата скорост по продължителността, за която говорим. И от двете страни на това уравнение времето е едно и също, така че можем да кажем, че входящата площ по входящата скорост е равно на изходящата площ по изходящата скорост. Това при движението на течностите се нарича уравнение на непрекъснатост и води до някои интересни неща. След малко ще направим няколко задачи с това. Едно нещо, което искам да ти покажа в този момент, е какъв е обемът в секунда. Понеже това също е нещо, с което ще работим след малко, вероятно в следващото видео, понеже ще ми свърши времето. Казахме, че за t секунди имаме това количество обем навътре и то е същото като количеството, излизащо навън. Какъв е обемът в секунда? Това е това голямо главно Vi върху количеството време и наричаме това поток. Ще научим доста за потока, особено когато започнем да се занимаваме с векторна висша математика, но потокът е колко от нещо пресича една повърхност за определено количество време. То е колко обем преминава през една повърхност за определено количество време. В този случай повърхността е лявата страна на цилиндъра. И казваме: "Какво количество пресича за определено количество време?" Намерихме, че това е този входящ обем, който пресича на всеки t секунди и това се нарича поток. Вероятно знаеш за кондензатора на потока в "Завръщане в бъдещето" и може би можем да помислим към какво ни насочваха там. Да видим дали можем да използваме потока и тези идеи, за да измислим някои други интересни уравнения. Знаем, че обемът върху времето е равно на потока. Това е голямо V. Е равно на потока и всъщност променливата, която по принцип хората използват за поток, е R. Разбира се, това е в кубични метри в секунда. Това е мерната му единица. Също знаем, че входящата площ по входящата скорост – това е малко v – е равно на изходящата площ по изходящата скорост и това се нарича "уравнение за непрекъснатост". То е вярно, когато имаме ламинарен поток. Всъщност ми свършва времето. В следващото видео ще използвам част от тази информация, за да намерим колко мощност има в една система, в която имаме течност, преминаваща през тръба. Ще се видим скоро.