Основно съдържание

Физика – 11. клас (България)

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 2

Урок 12: Импулс, въртящ момент и момент на импулса

Ротационна инерция

Научи как разпределението на масата влияе на това колко трудно се предизвиква ъглово ускорение.

Какво е инерционен (инерчен) момент?

Инерционен (инерчен) момент е свойство на тяло, което може да се върти. За дадена ос на въртене това е скаларна величина, която ни казва колко трудно е да се промени скоростта на въртене около тази ос.

В механиката на въртеливите движения инерчният момент има сходна роля на тази на масата в линейната механика. Наистина инерчният момент на тяло зависи от масата му. Също така зависи от разпределението на тази маса спрямо оста на въртене.

Когато масата се отдалечава от оста на въртене, става все по-трудно да се промени скоростта на системата. Интуитивно това е така, защото така масата пренася по-голям импулс със себе си по окръжността (заради по-високата скорост) и защото векторът на импулса се променя по-бързо. Тези два ефекта зависят от разстоянието до оста.

Инерчният момент се означава с

I

. За едно тяло като топка за тенис с маса

m

(показана на фигура 1), въртяща се с радиус

r

от оста на въртене, инерчният момент е

I = m r^{2}

и следователно мерната единица за инерчен момент в системата SI е

kg \cdot m^{2}

Други имена за инерчен момент са инерционен момент и масов инерционен момент.

Как инерчният момент е свързан с втория закон на Нютон?

Инерчният момент заема мястото на масата в ротационната версия на втория закон на Нютон.

Да разгледаме маса

m

, закачена на единия край на безмасов прът. Другият край на пръта е закрепен така, че системата да може да се върти около него, както е показано на фигура 2.

Сега започваме да въртим системата, като прилагаме тангенциална сила

F_{T}

върху масата. От втория закон на Нютон:

F_{T} = m a_{T}

което може още да бъде записано като:

F_{T} = m (r α)

Вторият закон на Нютон дава връзка между сила и ускорение. В механиката на въртеливите движения въртящият момент

τ

заема мястото на силата. Като умножим двете страни по радиуса, получаваме израза, който искаме.

\begin{aligned} F_{T} r & = m (r α) r \\ τ & = m r^{2} α \\ τ & = I α \end{aligned}

Този израз може да бъде използван за намиране на поведението на маса под действието на въртящ момент.

Упражнение 1a:

Двигател, способен да произвежда постоянен въртящ момент от $100 Nm$ ‍ и максимална скорост на въртене $150 rad / s$ ‍, е свързан с маховик с инерчен момент $0, 1 kg m^{2}$ ‍. Какво ще бъде ъгловото ускорение на маховика, когато двигателят се включи?
[Решение]

Упражнение 1б:

Колко време ще бъде необходимо на маховика да достигне постоянна скорост, ако започва от покой?
[Решение]

Как можем да изчисляваме инерчния момент по принцип?

Често механичните системи са направени от много свързани помежду си маси или сложни тела.

Възможно е да пресметнем общия инерчен момент на произволна фигура около произволна ос, като сумираме инерчните моменти на всяка от масите.

\begin{aligned} I & = m_{1} r_{1}^{2} + m_{2} r_{2}^{2} + \dots \\ = Σ m_{i} r_{i}^{2} \end{aligned}

Упражнение 2а:

Да разгледаме тялото, показано на фигура 3(a). Какъв е инерчният му момент?
[Решение]

Упражнение 2б:

Разгледай алтернативния случай на Фигура 3(б) на същата система, въртяща се около различна ос. Какъв очакваш да бъде инерчният момент в този случай?
[Решение]

Как можем да намираме инерчния момент на сложни тела?

Обикновено е необходимо да използваме математически анализ, за да намираме инерчни моменти на по-сложни тела. Но също така инерчните моменти за много от често срещаните геометрични тела могат да бъдат намерени и в таблици в различни учебници, справочници или други подобни източници. В тези таблици често инерчните моменти са дадени спрямо ос на въртене, която минава през центъра на масата).

Например инерчният момент на плътен цилиндър с радиус

r

спрямо централната му ос е:

I = \frac{1}{2} m r^{2}

А за кух цилиндър с вътрешен и външен радиус съответно

r_{i}

r_{o}

I = \frac{m (r_{i}^{2} + r_{o}^{2})}{2}

Формули за други прости тела са дадени на фигура 4.

Често по-сложни тела могат да бъдат представени като комбинации от по-прости тела, за чиито инерчни моменти съществуват известни уравнения. Тогава можем да комбинираме тези инерчни моменти, за да намерим инерчния момент на съставния обект.

[Подсказка]

Проблемът, на който най-вероятно ще се натъкнем, когато комбинираме прости фигури, е, че формулите ни дават инерчните моменти спрямо ос, която минава през центъра на масата на фигурата, което не отговаря непременно на оста на въртене на сложната фигура, която разглеждаме. Можем да се справим с това, като използваме теоремата за успоредните оси.

Теоремата за успоредните оси ни позволява да намираме инерчния момент на обект около точка

o

, като знаем инерчния момент на тялото около центъра на масите

c

, масата

m

и разстоянието

d

между точките

o

c

I_{o} = I_{c} + m d^{2}

Упражнение 3:

Ако тялото, показано на фигура 5, е направено чрез заваряване на три метални диска (всеки с маса $50 kg$ ‍ и дебелина $10 mm$ ‍) на метален пръстен с маса $100 kg$ ‍, ако го завъртим около централна ос (навън от страницата), какъв ще бъде инерчният момент на обекта?
[Решение]

Къде другаде се среща инерчен момент във физиката?

Инерчният момент е важен при почти всички физични задачи, които включват маса при въртеливо движение. Използва се за изчисляване на момент на импулса и ни позволява да обясним (чрез запазване на момент на импулса) как въртеливото движение се променя, когато разпределението на масата се променя. Също така е необходим за намиране на енергията, която се съхранява като ротационна кинетична енергия във въртящ се маховик.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.