If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Ротационна инерция

Научи как разпределението на масата влияе на това колко трудно се предизвиква ъглово ускорение.

Какво е инерционен (инерчен) момент?

Инерционен (инерчен) момент е свойство на тяло, което може да се върти. За дадена ос на въртене това е скаларна величина, която ни казва колко трудно е да се промени скоростта на въртене около тази ос.
В механиката на въртеливите движения инерчният момент има сходна роля на тази на масата в линейната механика. Наистина инерчният момент на тяло зависи от масата му. Също така зависи от разпределението на тази маса спрямо оста на въртене.
Когато масата се отдалечава от оста на въртене, става все по-трудно да се промени скоростта на системата. Интуитивно това е така, защото така масата пренася по-голям импулс със себе си по окръжността (заради по-високата скорост) и защото векторът на импулса се променя по-бързо. Тези два ефекта зависят от разстоянието до оста.
Инерчният момент се означава с I. За едно тяло като топка за тенис с маса m (показана на фигура 1), въртяща се с радиус r от оста на въртене, инерчният момент е
I, equals, m, r, squared
и следователно мерната единица за инерчен момент в системата SI е k, g, dot, m, squared.
Други имена за инерчен момент са инерционен момент и масов инерционен момент.
Фигура 1: Тенис топка, завързана за въженце, се върти около централна точка.

Как инерчният момент е свързан с втория закон на Нютон?

Инерчният момент заема мястото на масата в ротационната версия на втория закон на Нютон.
Да разгледаме маса m, закачена на единия край на безмасов прът. Другият край на пръта е закрепен така, че системата да може да се върти около него, както е показано на фигура 2.
Фигура 2: Маса, която се върти под действието на тангенциална сила.
Сега започваме да въртим системата, като прилагаме тангенциална сила F, start subscript, T, end subscript върху масата. От втория закон на Нютон:
F, start subscript, T, end subscript, equals, m, a, start subscript, T, end subscript,
което може още да бъде записано като:
F, start subscript, T, end subscript, equals, m, left parenthesis, r, alpha, right parenthesis.
Вторият закон на Нютон дава връзка между сила и ускорение. В механиката на въртеливите движения въртящият момент tau заема мястото на силата. Като умножим двете страни по радиуса, получаваме израза, който искаме.
FTr=m(rα)rτ=mr2ατ=Iα\begin{aligned} F_T r &= m (r \alpha) r\\ \tau &= m r^2 \alpha \\ \tau &= I \alpha\end{aligned}
Този израз може да бъде използван за намиране на поведението на маса под действието на въртящ момент.
Упражнение 1a:
Двигател, способен да произвежда постоянен въртящ момент от 100, space, N, m и максимална скорост на въртене 150, space, r, a, d, slash, s, е свързан с маховик с инерчен момент 0, comma, 1, space, k, g, m, squared. Какво ще бъде ъгловото ускорение на маховика, когато двигателят се включи?
Упражнение 1б:
Колко време ще бъде необходимо на маховика да достигне постоянна скорост, ако започва от покой?

Как можем да изчисляваме инерчния момент по принцип?

Често механичните системи са направени от много свързани помежду си маси или сложни тела.
Възможно е да пресметнем общия инерчен момент на произволна фигура около произволна ос, като сумираме инерчните моменти на всяка от масите.
I=m1r12+m2r22+=Σmiri2\begin{aligned} I &= m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \ldots \\ &= \Sigma m_i r_i^2 \end{aligned}
Фигура 3: Твърда система от маси, показана с две различни оси на въртене
Упражнение 2а:
Да разгледаме тялото, показано на фигура 3(a). Какъв е инерчният му момент?
Упражнение 2б:
Разгледай алтернативния случай на Фигура 3(б) на същата система, въртяща се около различна ос. Какъв очакваш да бъде инерчният момент в този случай?

Как можем да намираме инерчния момент на сложни тела?

Обикновено е необходимо да използваме математически анализ, за да намираме инерчни моменти на по-сложни форми. Все пак човек може да намери в учебници или подобни източници таблици с инерчните моменти на често срещани геометрични форми. В такива таблици често дадените инерчни моменти са спрямо ос на въртене през центъра на масите).
Например инерчният момент на плътен цилиндър с радиус r спрямо централната му ос е:
I, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, r, squared
А за кух цилиндър с вътрешен и външен радиус съответно r, start subscript, i, end subscript и r, start subscript, o, end subscript:
I, equals, start fraction, m, left parenthesis, r, start subscript, i, end subscript, squared, plus, r, start subscript, o, end subscript, squared, right parenthesis, divided by, 2, end fraction
Формули за други прости тела са дадени на фигура 4.
Фигура 4: Формули за инерчните моменти на някои прости тела
Често по-сложни тела могат да бъдат представени като комбинации от по-прости тела, за чиито инерчни моменти съществуват известни уравнения. Тогава можем да комбинираме тези инерчни моменти, за да намерим инерчния момент на съставния обект.
Проблемът, на който най-вероятно ще се натъкнем, когато комбинираме прости форми, е че уравненията ни казват инерчните моменти спрямо ос през центъра на масите на формата, което не отговаря непременно на оста на въртене на сложната форма, която разглеждаме. Можем да обясним това, като използваме теоремата за успоредните оси.
Теоремата за успоредните оси ни позволява да намираме инерчния момент на обект около точка o, като знаем инерчния момент на тялото около центъра на масите c, масата m и разстоянието d между точките o и c.
start box, I, start subscript, o, end subscript, equals, I, start subscript, c, end subscript, plus, m, d, squared, end box
Упражнение 3:
Ако тялото, показано на фигура 5, е направено чрез заваряване на три метални диска (всеки с маса 50, space, k, g и дебелина 10, space, m, m) на метален пръстен с маса 100, space, k, g, ако го завъртим около централна ос (навън от страницата), какъв ще бъде инерчният момент на обекта?
Фигура 5: Система от един голям кух диск и три по-малки запълнени дискове.

Къде другаде се среща инерчен момент във физиката?

Инерчният момент е важен при почти всички физични задачи, които включват маса при въртеливо движение. Използва се за изчисляване на момент на импулса и ни позволява да обясним (чрез запазване на момент на импулса) как въртеливото движение се променя, когато разпределението на масата се променя. Също така е необходим за намиране на енергията, която се съхранява като ротационна кинетична енергия във въртящ се маховик.