If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:9:40

Видео транскрипция

В предишни видеа видяхме, че топка с маса m, която се върти в кръг с радиус r с големина на скоростта v, има това, което наричаме ъглов момент и символът, който използваме за ъглов момент, е главно L. А количеството ъглов момент, което това ще има, ще е масата на топката по големината на скоростта на топката. Тоест това означава, че това е просто големината на импулса. Но после умножаваме по радиуса на окръжността, в която това пътува, и това ни дава ъгловия момент на тази топка, която се движи в кръг. Което е чудесно и е добре да го знаеш, но понякога нямаш топка, движеща се в кръг, и искаш да знаеш ъгловия момент. Например, вместо този случай, да кажем, че имаш случай, при който вместо топка, движеща се в кръг, имаш пръчка с маса m и радиус R и цялата пръчка се върти в кръг. Да кажем, че външният ръб се движи с големина на скоростта v, точно както топката. Въпросът е: "Дали тази пръчка също ще има ъглов момент, равен на mvR?" И отговорът е "не". Вероятно можеш да се убедиш в това, понеже за топката цялата маса се движеше с големина на скоростта v и цялата маса беше във външния ръб на окръжността, по която обикаля. С други думи, цялата тази маса се движи с радиус R. Но за тази пръчка част от масата, всъщност само част от масата, само този външен ръб на масата, се движи с радиус R. Това е частта, която се движи по пълния радиус R. Останалата част от масата, както тази част тук, проследява една окръжност. Определено проследява окръжност, но окръжността, която проследява, не е равна на радиуса R. Има намалена R стойност. Как определяме ъгловия момент за тяло, чиято маса е разпределена по такъв начин, че част от масата е близка до оста и част от масата е надалеч от оста. Ето това ще направим в това видео. Това е целта и подходът, който физиците предприемат към това, почти винаги е един и същ. Казваме: "Е, имам формулата за ъглов момент на единична част, движеща се с единичен радиус, така че нека си представим, че непрекъснатият ни обект е съставен от няколко единични маси, всяка от които се движи с единичен радиус. Тоест разделям тази непрекъсната маса на отделни части. Ако си представя, че е разделена на всички тези малки части, тогава, ако намеря ъгловия момент на всяка част и ги събера, ще получа общия ъглов момент за целия обект". Нека изпробвам това. Ъгловият момент за някаква част от обекта, да кажем, за тази малка част от масата, ще е – масата на тази малка част, ще запиша m. Това не е цялата маса на цялата тази пръчка, просто ще е масата на тази малка част по големината на скоростта на тази част по радиуса, на който се намира. За да поясним, нека просто запиша това като част 1, тоест това ще е m1, v1 и R1, а това ще е ъгловият момент на тази малка част и можеш да направиш това и за маса 2, и ще получиш, че ъгловият момент на маса 2 ще е m2v2 и R2. Помни, че тези v тук ще са различни. Големината на скоростта тук във външния ръб ще е най-голяма. Големината на тази скорост няма да е толкова голяма, а тази големина на скоростта, близо до средата, е още по-малка, понеже те проследяват по-малки окръжности за същото количество време, докато тези външни части проследяват по-големи окръжности за същото количество време. В този момент може да се разтревожиш. Може да си кажеш: "Това ще е много трудно. Ще трябва да събираме всички тези. Всички те имат различни големини на скоростта. Всички те са при различни радиуси. Как ще направим това?" Трябва да имаш вяра и ще се случи нещо магическо. Нека ти покажа какво се случва, ако си представим, че събираме всички тези. Начертах само две. Трябва да си представиш, че има безкрайно количество такива, а това прави задачата ни да изглежда още по-трудна, но си представи, че разделяш това на безкрайно количество от тези малки дискретни маси и разглеждаш всеки отделен ъглов момент. Те ще са много малки, понеже това m1 ще е безкрайно малка част от масата. И нека ги съберем и да видим какво получаваме. Ако съберем всички mvR на всяка част от масата на тази нишка, това ще е общият ъглов момент на нишката. С други думи, това всъщност е просто m1v1R1 плюс m2v2R2 и така нататък. Ще имаш безкрайно количество от тях. Не мога да запиша всички тях, понеже има безкрайно количество. Просто си представи това. Какво можем да направим с това? Как да поразчистим това? Когато решаваш задача по физика, не искаш да решаваш безкрайни поредици, като записваш всеки член от тях. Искаме хитър начин да се справим с това и има един много хитър начин да се справим с това. Гледай. Ако запишем това като L, равно на сбора от всички mvR, един проблем, който имаме, е, че всяка маса има различно v. Ако мога да изнеса неща от този сбор, това ще ми помогне, понеже ще опрости нещата. Мога просто да ги изнеса, но точно сега не мога да изнеса R, понеже всички тези са различни радиуси от оста. Винаги измерваш радиуса от оста тук. И всички тези са с различни радиуси от оста, и всички те имат различни големини на скоростта. Но помни, предпочитаме да пишем величините по отношение на ъглови променливи, понеже ъгловите променливи са едни и същи за всяка точка на тази маса. Всяка точка на тази въртяща се нишка има различна големина на скоростта v, но всички те имат една и съща ъглова големина на скоростта омега, така че това е ключ към решението. Често правим това и сега също ще го направим. Ще запиша това като сбор от всички m, но вместо да запиша v, ще запиша това като R по омега. Помни, за нещо, което се върти в окръжност, големината на скоростта v ще е равна на R по омега и това ще заместя тук долу. Големината на скоростта в коя да е точка тук е радиусът на тази точка по ъгловата скорост на тази нишка, въртяща се в кръг, и все още трябва да умножа по последното R тук. Това беше v. Заместихме v, но трябва да умножим по R и какво получаваме? Получаваме, че L ще е сборът на всички mr^2 омега. И това е чудесно. Омега е една и съща за всяка отделна маса тук. Всяка отделна маса пътува със същата ъглова скорост, така че можем да изнесем това от сбора. Представи си, че всички тези членове ще имат омега. Можем да изнесем това и просто ще го извадя от сбора. Ще запиша това като сбора на всички mR^2 и за да поясня това, ще поставя скоби тук. Това е сборът и после цялото нещо по омега, понеже изнасяме омега. Може би не те впечатлих. Може би си казваш: "Добре. Голяма работа. Все още имаме един безкраен сбор тук. Какво ще правя с това?" Не е нужно да правиш нищо с това. Тук се случва магията. Виж какъв сбор получи. Получи сбора на всички mR^2. Помниш ли какво беше mR^2? mR^2 беше инерционният момент на точкова маса. И ако събера всички mR^2, получавам инерционния момент на цялата маса, на целия този обект. Получавам общия инерционен момент. Това, което намерихме, е доста удобен начин да запишем ъгловия момент на един обект. Това е просто инерционният момент на един обект, I, по големината на ъгловата скорост на този обект. Това е чудесна формула и по тази причина е напълно логична. Помисли за нормалният импулс. Нормалният импулс, р, беше равен просто на mv. Ако после ми кажеш: "Определи ъгловия момент" и не исках да преминавам през този процес за намирането на формулата, можеше просто да кажа: "Добрe, ъглов момент, давай го насам." И просто ще заменя масата с ъглова маса и ъгловата инерция е просто инерционният момент. И просто ще заменя големината на скоростта с ъгловата скорост. И, виж, получавам тази формула. Логично е, понеже ако замениш всички линейни величини със съответните им ъглови величини, наистина просто получаваш ъгловия момент за въртящ се обект. Ето така се справяш с това. Ако имаш един дълъг обект, при който масата е разпределена по целия обект, ако просто вземеш инерционния момент за този обект и го умножиш по неговата ъглова големина на скоростта, получаваш неговия ъглов момент. Например ако тази нишка има маса от, да кажем, 3 килограма, и тази маса е равномерно разпределена... Да кажем, че радиусът на този обект е 2 метра. Това е разстоянието от оста до външния ръб. И да кажем, че ъгловата големина на скоростта на този обект е, да кажем, 10 радиана в секунда. Можем да намерим ъгловия момент на тази пръчка, като кажем, че ъгловият момент ще е равен на инерционния момент... Инерционният момент на една пръчка около единия край е равен на 1/3mL^2. Това е инерционният момент на една пръчка около края. И после умножавам по ъгловата големина на скоростта на обекта. Ако въведа числата, получавам, че ъгловият момент на тази пръчка ще е – ще използвам лилаво – 1/3 по 3 килограма по дължината на обекта – тя беше 2 метра – и повдигаме това на квадрат, и умножаваме по ъгловата скорост – това беше 10 радиана в секунда – което ни дава ъглов момент от 40 килограм метра на квадрат в секунда. Да обобщим, ако имаш точкова маса, като цялата маса се върти при един и същи радиус, и искаш да намериш ъгловия момент, най-лесният начин да го получиш е вероятно с формулата mvR. Но ако имаш маса, чиято маса е разпределена по обекта така, че различните точки на обекта са при различни радиуси, най-лесният начин да получиш ъгловия момент на този обект най-вероятно е с формулата I по омега, където I е инерционният момент на този обект, а омега е ъгловата скорост на този обект.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".