Пример за момент на импулса на прът, ударен от топка

Как е настроението? Искам да ти покажа нещо, което е малко шантаво. Когато първо чух за това, наистина ми се стори странно. Ако и ти реагираш така, това е нормално, но се надявам, че ще го преодолееш и надявам се, че ще ти се стори логично до края на това видео. Ето кое е странното нещо. Ако имаш обект, да кажем, тази топка – тя е една подскачаща топка – и се движи по права линия, обектът може да има ъглов момент. Ще кажа това отново. Една топка, движеща се по права линия, може да има ъглов момент. Когато първо чух за това, си казах: "Какво? Няма начин тази топка да може да има ъглов момент. Тя се движи в права линия. Дори не се върти. Не трябва ли нещата да имат някакъв вид въртеливо движение, за да имат ъглов момент?" И се оказва, че не е нужно. Но, правилният отговор – това става малко по-странно. Преди да ти покажа защо е логично, нека ти покажа следното. Дори не е нужно да има ъглов момент. Това може да няма ъглов момент. И преди да се объркаш нацяло, нека обясня. Правилният отговор, ако някой попита: "Тази топка има ли ъглов момент?", е да отговориш: "Ъглов момент около коя ос?" Трябва да уточнят оста. Оста е точката, въртенето около която ще е предмет на размишленията ти. Ако кажа: "Има ли тази топка ъглов момент? Ако топката се движи в права линия, има ли ъглов момент по отношение на тази ос?", това е правилен въпрос. Но ако просто те попитам: "Има ли тази топка ъглов момент" и не уточня оста, това дори не е смислен въпрос. Нека опитаме да разберем това. Защо въобще тази топка ще има ъглов момент, без значение от оста. Това е объркващата част. Топката дори не се върти. Как една топка, която се движи в права линия, има ъглов момент? Знаем, че има нормален импулс, понеже обектите с маса и скорост имат импулс. Но това дори не се върти. Как може да има ъглов момент? Първо, нека обясня концептуално защо това е логично. Представи си, че имаш този лост тук. И да кажем, че това е от птичи поглед. Гледаме надолу. Този лост е прикрепен към една ос, която може да се върти, и гледаме надолу. Това е върху една маса. Да кажем, че това се случва върху една маса и ние го гледаме отгоре. Представи си, че хвърлим тази топка. Тази топка, която се движи в права линия, удря ръба на този лост. И какво ще направи този лост? Знаем какво ще направи – ще се завърти. Ще се завърти около оста си. И въпросът е... В началото този лост нямаше ъглов момент, понеже лостът просто си стоеше тук в покой. После имаше ъглов момент, след като топката го удари, понеже обектите, които се въртят в кръг, имат ъглов момент. Откъде този лост получи ъгловия си момент? Единственото нещо, с което този лост си взаимодейства, беше тази топка. Тоест тази топка трябва да е предала някакъв ъглов момент на лоста. Понеже откъде другаде този лост би получил ъгловия момент? Ако вярваме в запазването на ъгловия момент, този ъглов момент трябва да дойде от някъде. Не може да се появи отникъде. Единственото място, откъдето е дошъл ъгловият момент, който лостът получи, трябва да е от топката, понеже това беше единственото друго нещо в задачата. Тази топка трябва да има собствен ъглов момент, въпреки че се движеше в права линия, което е странно, но е истина. Това е физика. И затова е логично, че има значение къде е оста. Понеже ако взема този лост и преместя оста тук, вместо тук – сега можем да поставим оста тук, в тази точка. Представи си, че топката удря лоста в точката на оста. Просто удря ето тук. Бам! Дори няма да накара лоста да се завърти, понеже го удря в оста. Местоположението на оста ще определи колко ъглов момент има един обект, който се движи в права линия. Понеже ако това удари този лост в оста, то няма да прехвърли ъглов момент. Но ако топката удари този лост далеч от оста, тя може да прехвърли доста ъглов момент, понеже лостът ще се върти доста, защото е приложено голямо количество въртящ момент, след като тази сила е била приложена на разстояние, което е било отдалечено от оста. И отново може би не успях да те впечатля. Може би си казваш: "Това ми звучи като физична магия. Как точно изчисляваш това? Как дефинираш какво имаме предвид под факта, че тази топка има ъглов момент?" Нека дефинираме това. Да кажем, че тази топка има скорост v и масата на топката, да кажем, че е m. И разстоянието от оста до топката – нека начертаем това – това ще е от оста до топката. Наричаме това r. И сега прецизно можем да дефинираме какво имаме предвид под ъглов момент на точкова маса. Ъгловият момент на една точкова маса. L е символът за ъглов момент. Това ще е m, масата на топката. Масата на обектът, който има ъгловия момент, по v, големината на скоростта на топката. И това изглежда доста познато, понеже m по v е просто импулсът. Това е нормалният импулс. Но ако просто го оставя така, това ще е само нормалният импулс. Ще трябва да превърнем това в ъглов момент и правим това, като умножаваме по r. И дефинираме r като разстоянието от оста или от началната точка до масата, за която става дума. Това е общото разстояние r. Но още не сме готови. Трябва ти още един член тук. Това е синус от ъгъла. Синус от ъгъла между скоростта и вектора r. Тук ще имаш синус от този ъгъл, ъгълът между скоростта и вектора r. Сега съм малко небрежен. Хората, които внимават и вече знаят това, може малко да негодуват. Технически r преминава от оста до масата, така че това не е ъгълът между v и r. Технически трябва да си представиш, че r преминава насам, а това е ъгълът. Но понеже взимаме синуса – синусът на един от тези ъгли, тези ъгли са допълващи. Синус от който и да е от тях ще ти даде същото число, така че е безопасно да вземеш който и да е ъгъл тук между v и r и ще получиш правилния отговор. Но това е сложно. Ако бях на теб, щях да си кажа: "Ох, mvr по синус от тита. Не искам да трябва да намирам какви са ъглите между нещата." И не е нужно. Има един трик – виж това, ако мислиш какво означава r по синус от тита. Какво е това? Какво представлява това тук визуално? Това е общото r. Това е тита. Помисли. r по синус от тита – представи си, че правиш триъгълник от това. Ще направя триъгълник, който минава оттук дотук, а после оттук дотук. Имаш този триъгълник тук. r по синус от тита е това ето тук. Ето това. Тази дължина тук, тази противоположна страна, понеже... Добре, ако не схвана това, нещата може да са малко странни. Синус от тита винаги е срещулежащата страна върху хипотенузата, а срещулежащата на този ъгъл страна е просто R, това е просто R. И после, хипотенузата, извини ме, е просто това малко r, това розово r. Нека нарека това малко r. Ако умножа двете страни по малко r, получавам r по синус от тита, това тита тук е това тита тук – това е тази тита тук. r по синус от тита е равно на това ето тук. И какво е това? Това е точката на най-близкото наближаване. Когато топката стигне до тази точка тук, движейки се с някаква големина на скоростта v, това ще е отдалечено на R. За да намериш ъгловия момент на един обект, на една точкова маса, дори ако тази точкова маса се движи по права линия, трябва да вземеш масата по v. И после, ако не е нужно да се тревожиш за синус от тита и всичко това, просто умножаваш по R, което е разстоянието на най-близкото приближаване до оста. Това представлява това R. Това R е разстоянието на най-близко приближаване до оста. Това е просто това ето тук. Това просто е това разстояние тук между оста и точката, в която топката ще е най-близко до оста – това разстояние ето тук. Оказва се, че това r по синус от тита винаги е равно на това – тоест можеш да улесниш живота си. Просто си представи, когато тази топка наближи, в коя точка е най-близо до оста? Това ще е тази точка. И колко е отдалечена, когато е най-близо? Това ти дава тази R стойност. Можеш да вземеш mvR. Това ти дава ъгловия момент на тази точкова маса. Това ти дава общото количество ъглов момент, което това нещо може да прехвърли към нещо друго, ако загуби целия си ъглов момент. Толкова ъглов момент може да получи нещо, като например този лост. Нека изпробваме един пример. Нека направим този пример. Той е класика – топка, удряща една пръчка. Казвам ти, учителите и професорите по физика обожават това нещо. Трябва да знаеш как да направиш това. Нека те подготвим. Да кажем, че тази топка наближи. Удря една пръчка. Топката ще дойде, ще удари една пръчка и нека дадем някои числа, за да можем да решим този пример. Да кажем, че топката има маса от 5 килограма. Движи се с 8 метра в секунда, удря края на пръчката и пръчката е 10 килограма, дълга 4 метра. Нека приемем, че тази пръчка има еднородна плътност, тоест масата на тази пръчка е равномерно разпределена, и може да се върти около края. Когато топката стигне дотук и удари края на пръчката, пръчката ще се завърти около оста си. Нека приемем още едно нещо. Нека приемем, че когато топката удари пръчката, топката спира. След като удари пръчката, топката е спряла и пръчката започва да се движи с целия ъглов момент, който тази топка е имала. Това просто ще направи нещата малко по-лесни. Ще говорим какво да правим, ако това не се случи. Не е толкова по-сложно. Да кажем, че в началото имаме този случай. Ще придвижа топката обратно дотук. Как решаваме тази задача? Ще опитаме да използваме запазването на ъгловия момент. Ще кажем, че въпреки че тук има една ос, прилагаща сила, силата, която тази ос ще приложи към системата ни ще приложи въртящ момент от 0, поради r стойността. Въртящият момент е равен на rF по синус от тита. И ако r е 0, r e разстоянието от оста до силата, ако r е 0, тогава върху тази ос няма да бъде приложен въртящ момент. И ако външно не бъде приложен въртящ момент, няма да има промяна в ъгловия момент на системата. Тази система от топка и пръчка няма да има външен въртящ момент. Това означава, че ъгловият момент трябва да остане същият. Това е класическа задача със запазване на ъгловия момент. Ще кажем, че L начално, началният ъглов момент, трябва да е равен на крайния ъглов момент. Просто ще кажем: "За цялата система кое е имало въртящ момент в началото? Това беше тази маса. Тази маса имаше ъглов момент. Как намираме това? Помни, това е m по v по R и R е това разстояние на най-близкото приближаване. Тук ще използваме това – целите 4 метра – като това R. Можеш да приемеш тази хипотенуза за R и синуса на ъгъла, но това е по-трудно, отколкото трябва да е. Можеш да намериш ъгловия момент, mvR, който ще е равен на крайния ъглов момент. Спомни си, че тази топка спира. След като тази топка стига до покой и след това само пръчката има ъглов момент, трябва да се тревожим само за ъгловия момент на пръчката. И за да намеря ъгловия момент на един издължен обект, на един твърд обект, можеш да използваш I по омега. И това ще ни позволи да намерим каква е крайната ъглова скорост на тази пръчка след сблъсъка. Това искаме да намерим. Каква е крайната ъглова скорост на тази пръчка след сблъсъка? Сега можем да намерим това. Знаем масата на топката, m. Знаем началната големина на скоростта на топката. Знаем R, правата на най-близко приближаване. Това е 4 метра. Какъв е инерционният момент тук? Това ще е просто 1/3mL^2. Нека поразчистя малко. Нека взема това. Ще копирам това. Поставям го тук. И можем да кажем, че инерционният момент на масата на една пръчка – тя се върти около края си – винаги ще е 1/3mL^2. 1/3 по масата на пръчката по дължината на пръчката на квадрат, което ще е същото като това R тук, понеже правата на най-близко приближаване на топката беше равна на цялата дължина на пръчката, тъй като я е ударило в самия край – а после по омега. Сега можем да намерим омега. Можем да кажем, че омега... Ще сваля това тук долу, така че да имаме малко място. Колко ще е крайната омега на пръчката? Това ще е масата на топката по началната скорост на топката по правата на най-близко приближаване. А после ще разделя на 1/3 по масата на пръчката по дължината на пръчката. Мога да нарека това R, тя е същата променлива, дължината на пръчката на квадрат, и ето това получавам. Мога да съкратя едно от тези R и после мога да въведа числата, ако исках да получа отговор в числа. Мога да кажа, че крайната ъглова скорост на тази пръчка ще е 5 килограма – това беше масата на топката – по 8 метра в секунда – това беше началната големина на скоростта на топката – и после ще разделя на 1/3 от – масата на пръчката беше 10 килограма. И после дължината на пръчката, която е тази права на най-близко приближаване – тя беше 4 метра. И ако решиш всичко това, получаваш 3 радиана в секунда. Толкова ъглова скорост има тази пръчка, след като топката я е ударила и е прехвърлила ъгловия си момент към пръчката, което дава на пръчката ъглов момент, като я кара да се върти с 3 радиана в секунда. Какво ще е различно, ако вместо да спре, топката отскочи назад с, да кажем, 2 метра в секунда? Сега крайният ъглов момент няма да е просто ъгловият момент на пръчката. Ще трябва да включиш ъгловия момент на топката. Но това е сложната част. Ако топката в началото идва насам, което ще означава, че има ъглов момент насам, и топката се върне насам, сега има ъглов момент насам. Ще трябва да имаш отрицателен знак тук. С други думи, когато включиш ъгловия момент в дясната страна, трябва да го третираш като... Има няколко начина да направиш това. Ако искаш, можеш просто да поставиш плюс и после да вземеш масата на топката по тези -2 метра в секунда по същите 4 метра като правата на най-близкото приближение. Можеш да поставиш минус тук вътре, а плюсът да е тук отвън, или можеш да поставиш минусът тук отвън, а плюсът – тук вътре. Можеш да го направиш и по двата начина. Но този член за крайния ъглов момент на топката ще трябва да има противоположния знак на този член за началния ъглов момент на топката. Да обобщим, една топка може да има ъглов момент, дори ако се движи в права линия, и можеш да определиш ъгловия момент на тази топка, като използваш mvr по синус от тита, където r е разстоянието от оста до точката, където е топката, а тита е ъгълът между r и скоростта. Или ако не искаш да използваш r по синус от тита, можеш да използваш mv главно R, където това главно R представлява най-близката точка, на която топката ще дойде до оста, докато се движи по правата си линия.