Още за инерционен момент

Трябва да говорим още малко за момента на инерцията, понеже това е нещо, което доста обърква хората. Спомни си, първо, че този момент на инерция всъщност е просто инерционен момент. С други думи, колко дадено нещо се съпротивлява на ъгловото ускорение, тоест скоростта му да бъде увеличена или забавена при въртенето. Ако тази система има голям инерционен момент, ще е много трудно да накараш това нещо да ускори, но ако инерционният момент е малък, трябва да е сравнително лесно да ускориш това нещо ъглово. Затова е добро това число, причината да искаш да знаеш инерционния момент е понеже това ти позволява да определиш колко трудно ще е да ускориш нещо ъглово и, помни, това се появява в ъгловия вариант на втория закон на Нютон, който ни казва, че ъгловото ускорение ще е равно на сумарния въртящ момент, делено на момента на инерция, или инерционния момент, след като те са едно и също нещо. Това трябва да е логично – делим на момента на инерция, делим на инерционния момент, понеже това означава, че ако този инерционен момент е голям – виж, той е в знаменателя – имаш голям знаменател, имаш малка стойност, това означава, че алфа ще е малка, това ще е малко ъглово ускорение. Но ако този инерционен момент беше малък, щеше да е по-лесно да въртиш това нещо и щеше да получиш сравнително голямо ъглово ускорение, понеже сега делиш на по-малко число. Това играе същата роля като тази маса, служи като инерционен член за ъглово ускорение и открихме как да определим инерционния момент за една точкова маса и ще чуеш хората често да казват това – и аз ще го казвам често – "точкова маса". Под точкова маса имам предвид маса, която можеш да третираш все едно цялата маса се върти на същото разстояние от оста и точно това се случва тук. Имаш тежка топка, свързана с една нишка, много лека нишка, която има много малка маса и можеш да пренебрегнеш нейната маса. Ако цялата маса се върти в един и същи радиус, както тази, предният път определихме, че инерционният момент на една точкова маса, която се върти в кръг, е просто масата по разстоянието, на което е отдалечена тази маса от оста, на квадрат. Това е терминът за точкова маса, движеща се в кръг – за това колко ще е трудно тя да ускори ъглово. Това е инерционният момент, mr^2, но ще имаш и по-сложни задачи, така че може да се чудиш: "Добре, а какво се случва, ако нямаме една точкова маса, а имаме три такива?" Последният път се занимавахме и с това. Ако имаш множество точкови маси, трябва просто да кажеш: "За множество точкови маси просто събирам това, което всяка една точкова маса допринася." Математически, ако сме внимателни тук, трябва да поставим индекс i, но не оставяй това да те стресне, просто означава, че събираме всички от тях. Това ще е m1 по (r1)^2. Взимаш маса 1 по нейното разстояние от оста на квадрат. Плюс m2 по (r2)^2. Взимаш маса 2 по нейното разстояние от оста на квадрат. И после правиш същото за m3. И ако имаш повече маси, просто продължаваш да ги добавяш. Ако имаше множество точкови маси, които можеш да третираш все едно масите се въртят на едно и също разстояние от оста, и може да възразиш: "Чакай, различните маси тук се въртят на различни разстояния от оста". Но цялата част от една определена маса, цялата m1 се върти при същия радиус от оста, така че можем да използваме тази формула за точкови маси и може да ги съберем. Общото количество ще е общият инерционен момент, тоест, с други думи, за този случай тук, ако наистина искахме да направим това, щяхме да кажем, че инерционният момент за тези обекти и тази система общо ще е – нека ги подредим. m1 ще допринесе m1 по – разстоянието от оста на квадрат ще е а – тоест а^2. И да кажем, че b е дължината на тази нишка, тоест b представлява тази дължина, и, подобно, 'с' представлява тази дължина и ще приемем, че радиусите на тези маси са малки. Трябваше да ги начертая големи, за да можем да ги видим, но е най-лесно, ако приемеш, че са малки, понеже тогава не е нужно да вземем предвид реалния им радиус. Ако добавим това, това е m1a^2, това допринася m1 към инерционния момент. Трябва да намерим какво допринася всяка една от тези други маси. Ще имаме m2 по разстоянието от оста. Това няма да е b, това ще е цялото разстояние, тоест ще е (a + b)^2. И после, ако искаш да намериш какво допринася m3, така че да получиш общата сума, ще имаш m3 по – това ще е (a + b + c)^2, това ще е общият инерционен момент за цялата система, който ни казва, че ще е по-трудно, нали така? Колкото повече маса добавиш към системата, толкова повече се противопоставя на ускорение, толкова по-трудно е това да се върти. Как можем да направим тази система от три маси по-лесна за въртене? Да кажем, че ни е омръзнало да ни трябва толкова много въртящ момент, за да задвижим това нещо, искаш да го направиш по-лесно за въртене. Едно нещо, което винаги можеш да направиш, е да вземеш масите и да ги придвижиш към оста, тоест да ги придвижиш към центъра. Забележи, че всички тези r ще станат по-малки. Ако намалиш r, ще имаш по-малък инерционен момент и този обект ще е по-лесен за въртене, по-лесен за ъглово ускорение. Можеш да въртиш това нещо по-лесно, ако масата е повече към оста. Това е логично, помисли за бейзболна бухалка. Ако имаш бейзболна бухалка – това не е най-добрата рисунка на бейзболна бухалка, но имаш една бейзболна бухалка. Ако я завъртиш от този край, като това е оста, е по-трудно да я въртиш, нали? Имаш цялата тази тежка маса тук в края, но ако вместо да я въртиш и това да е оста, ако просто я преобърнеш и я залюлееш от този край и това е оста, сега по-голямата част от масата е близо до оста и ако направиш това радиусът на тази маса ще е по-малък, а ако радиусът е по-малък, той ще допринесе по-малко за инерционния момент. Ще е по-лесно да въртиш тази бухалка. Можеш да въртиш тази бейзболна бухалка много лесно, ако я държиш от дебелия край, а не от края, който се очаква да държиш, можеш да въртиш това по-бързо. Вероятно това не е добра идея, вероятно няма да изпратиш топката много надалеч, но ще можеш да въртиш бухалката много по-бързо, понеже този инерционен момент ще е по-малък. А другото нещо, което можем да направим – винаги можем просто да намалим масите. Ако можеш да направиш масата по-лека, намаляваш инерционния момент и ако можеш да придвижиш тези маси към оста, намаляваш r, намаляваш инерцонния момент. Но какво става, ако изобщо нямаш точкови маси? Не винаги имаме ситуации, при които това, което се върти, са няколко точкови маси. А ако имаш нещо подобно на това, при което има нишка, а масата е равно разпределена през цялата нишка, и се върти в кръг. Сега не можем да използваме тази формула, понеже тя приема, че цялата маса се върти за някакъв радиус, r, но за тази нишка само масата в края на нишката се върти при пълната дължина на нишката. Масата, която е по-близка до оста, ще има по-малък радиус, ще се върти само на част от дължината. Това ще има радиус от L/2, а тази част тук ще има радиус от, може би, L/8. Как да намерим това? Не можем просто да кажем, че общата маса на тази нишка, ако тази нишка има обща маса m, и общата дължина L – не можем да кажем, че инерционният момент на тази нишка около края ѝ ще е mL^2, това е просто лъжа. Общата маса не се върти при радиус с дължина L, само малката част в края се върти с радиус с дължина L. Останалата част на масата не допринася толкова за инерционния момент, поради факта, че тези маси се доближават все повече и повече до оста. Какво правим? Не можем да използваме това, нека се отървем от това. Това не е възможно. Реалността е, че трябва да използваш висша математика, за да намериш формулата за тези непрекъснати обекти и това е забавно. Можеш да използваш интеграли и да намериш тези инерционни моменти – тези са сред любимите ми изчисления, подобни са на пъзел. Можеш да намериш импулса на инерция, но ако не разбираш висша математика, това ще ти изглежда като магия, така че препоръчвам да учиш висша математика и да изпробваш това, понеже е много забавно. Но просто ще ти дам резултата. Оказва се, че инерционният момент за тази нишка ще е, и без да знаем точния отговор, трябва да можем да кажем дали ще е по-голям от, по-малък от или равен на mL^2. Трябва да можем да кажем, че ще е по-малко от mL^2, няма да е mL^2, ще е по-малък от това, понеже mL^2 ще е ако цялата част от масата имаше за радиус цялата дължина на нишката. Тогава ще въведеш mL^2. Ако можеш да стопиш тази нишка и да я направиш на топка и да поставиш тази топка в самия край, ще максимизираш инерционния момент, понеже ще поставиш цялата маса на същия най-голям радиус r, но част от тази маса е тук. Част от тази маса е само при L/2 или L/4,или L/8. Тези малки части маса допринасят по-малко инерционен момент, така че ще имат по-малко от mL^2. Колко по-малко? Оказва се, че за нишка около края ѝ е 1/3mL^2 и ако вземеш интеграла, оттам идва това 1/3. Това е за нишка, при която оста е в края на нишката. Това е инерционният момент за нишка, която се върти около ос, която е в един от краищата на нишката, но какво ще стане, ако преместим оста в центъра? А ако преместим оста тук, така че цялата нишка да се върти около точка в центъра си. Мислиш ли, че инерционният момент на тази нишка, която е със същата маса и дължина като преди, просто въртим около центъра, мислиш ли, че този инерционен момент ще е по-голям от, по-малък от или равен на инерционния момент за нишка, която се върти около края си. И начинът, по който аз бих помислил за това, е просто да си задам въпроса: "Дали по-голяма част от масата сега е по-надалеч или по-наблизо до оста?", понеже знаем, че ако можем да намалим тези радиуси, намаляваме инерционния момент. А в този случай наистина намалихме радиусите. Помисли за това, най-отдалечената част на масата от оста сега е L/2. L/2 насам и L/2 натам, докато преди, когато оста беше в единия край, част от масата беше отдалечена на L, така че това ще е L^2. но сега най-далечното място, на което ще е част от тази маса, ще е само (L/2)^2. И това ще намали инерционния момент още повече, понеже по-голяма част от тази маса е по-близо до оста, когато преместиш това в центъра, така че това ще е по-малко от 1/3mL^2. Оказва се, че ако решиш интеграла, получаваш 1/12mL^2, така че това е за нишка, при която оста е в центъра ѝ. Каква друга често срещана геометрия имаме? Ако се отървем от това, друг случай, който често се появява, е цилиндър, или понякога се нарича диск. Да кажем, че имаш един цилиндър, един твърд цилиндър с маса m и има радиус r, какъв ще е инерционният момент тук? Вероятно досега можеш да кажеш: "Това няма да е общото mr^2 и няма да е общото mr^2, понеже не цялата маса се върти при пълния радиус на цилиндъра, така че ще е по-малко от това. Колко по-малко? Ако решиш интеграла, оказва се, че получаваш 1/2mr^2. Tака че фактът, че някои от тези маси са по-близки до оста, отколкото пълният радиус на цилиндъра, води до това, че общият инерционен момент е 1/2 от общата маса на цилиндъра по общия радиус на цилиндъра на квадрат. Това е за цилиндър с ос през центъра. Тоест това се върти около една точка тук, върти се ето така около тази точка тук и е важно да отбележим това. Не е достатъчно просто да кажем: "Ей, дадох ти една нишка, какъв е инерционният момент?", понеже трябва да знаеш къде е оста. Ако някой ти подаде нещо и ти каже: "Какъв е инерционният момент на това?", не можеш да му дадеш отговор, докато не уточни около коя точка въртиш обекта. Ако въртиш нишката около края ѝ, инерционният момент е 1/3mL^2 Ако въртиш нишката около центъра ѝ, това е 1/12, и отново, причината за това е понеже като въртиш около различни оси, правиш така че част от масата е при различни радиуси, отколкото би била при други оси, които можеш да избереш. Това беше цилиндър, също наречен диск. Понякога се появява и сфера. Това е друг често срещан пример. Да кажем, че имаш сфера, която също се върти около една ос, както Земята се върти около оста си, и да кажем, че има маса m и радиус r. Отново, понеже част от масата е по-близо до оста, виж, тази маса тук се върти само в кръг ето така, а не с пълния радиус на сферата, ще има по-малко от mr^2. Колко по-малко? За една сфера, която се върти около една ос, която преминава през центъра ѝ, получаваш, че инерционният момент е 2/5mr^2. Това беше за сфера, която се върти около ос, която преминава през центъра на сферата. В този момент може да възразиш, може да кажеш: "Чакай, имахме сфери и преди, и използвахме mr^2", но това беше за сфери, които се въртяха, като цялата им маса се въртеше с един и същи радиус. С други думи, ако имаш сфера и въртиш цялата сфера в кръг ето така, ако става въпрос за този случай, цялата маса се върти със същия радиус, но тук не е така. Това е сфера, която се върти около центъра си. Ако имаш сфера, която се върти на място, това не е същият случай, както когато тази маса се върти около някоя ос при един и същи радиус. Това е разликата между – това е като Луната, въртяща се около Земята. Ако искаш да говориш повече за инерционния момент на Луната, въртяща се около Земята, можеш да третираш Луната като една точкова маса и ще използваш mr^2, но ако говориш за Земята, въртяща се около оста си – не за Земята, въртяща се около Слънцето, а за Земята, въртяща се около своята ос, тогава ще трябва да кажеш, че инерционният момент за това количество въртене е 2/5mr^2, понеже това е сфера, която се върти около ос, преминаваща през нейния център. Да обобщим, инерционният момент ти дава определено число, което ти казва колко трудно ще е да ускориш едно тял ъглово. Ако просто имаш точкова маса, при която цялата маса се върти при един и същи радиус, можеш да използваш mr^2. Ако имаш група от точкови маси, просто събираш техните mr^2. Ако имаш нишка, която се върти около края си, можеш да използваш 1/3mL^2. За нишка, която се върти около центъра си, това е 1/12mL^2. За цилиндър, който се върти около центъра си, е 1/2mr^2, а за сфера, която се върти с ос през центъра ѝ, това е 2/5mr^2. Причината всички тези фигури, при които масата е разпределена по тях да имат членове, които правят инерционния им момент по-малък от mr^2 или mL^2, е понеже част от тази маса за един разпределен обект, има маса по-близо до оста, отколкото в случая, когато цялата маса е на края. Фактът, че някои от тези маси са по-близки до една ос за еднороден обект намаляват общия инерционен момент, тъй като това намалява r. И ако забравиш която и да е от тези формули, в учебника ти обикновено има таблица или потърси някоя таблица онлайн, има много такива, която описва всички инерционни моменти за често срещани обекти и осите. Трябва да провериш дали ти дават точно оста, която те интересува.