Какво е изтласкваща (Архимедова) сила?

Някога случвало ли ти се е да си хвърлиш очилата за плуване в дълбоката част на басейна, за да се опиташ да се гмурнеш до тях и да ги вземеш? Това може да е доста обезсърчаващо, защото водата се опитва да те избута обратно на повърхността, докато ти се опитваш да плуваш надолу. Името на тази насочена нагоре сила, която потопените във флуид обекти изпитват, е изтласкваща (Архимедова) сила.

Та защо флуидите действат на потопени обекти със сила нагоре? Свързано е с разликата в наляганията в горната и долната част на потопения обект. Да кажем, че някой е изпуснал консерва с боб в басейн с вода.

Тъй като налягането $(P_{ман}=\rho gh)$left parenthesis, P, start subscript, м, а, н, end subscript, equals, rho, g, h, right parenthesis е по-високо на по-голяма височина, силата надолу от налягането върху капака на консервата ще бъде по-малка от силата нагоре от налягането върху дъното на консервата.

По същество това е просто. Причината за изтласкващата сила е доста незаобиколимия факт, че дъното (т.е. по-потопената част) на обект е винаги на по-голяма дълбочина от горната му част. Това означава, че силата, насочена нагоре, упражнявана от водата, трябва да бъде по-голяма от силата, насочена надолу, упражнявана от водата.

Да знаеш принципно защо съществува изтласкваща сила е добре, но няма да е зле също така да можеш да определяш точната ѝ големина.

Можем да започнем от факта, че водата над консервата я натиска надолу със сила $F_{надолу}$F, start subscript, н, а, д, о, л, у, end subscript, а водата под консервата я натиска нагоре със сила $F_{нагоре}$F, start subscript, н, а, г, о, р, е, end subscript. Можем да намерим сумарната сила нагоре, която водата упражнява върху консервата, (която сила наричаме изтласкваща $F_{изтл}$F, start subscript, и, з, т, л, end subscript), като намерим разликата между големините на силата нагоре и силата надолу.

Можем да свържем тези сили с налягането, като използваме дефиницията за налягане $P=\dfrac{F}{A}$P, equals, start fraction, F, divided by, A, end fraction, и да изразим силата $F=PA$F, equals, P, A. Така че силата с посока нагоре, която действа върху дъното на консервата, ще бъде $F_{нагоре}=P_{дъно}A$F, start subscript, н, а, г, о, р, е, end subscript, equals, P, start subscript, д, ъ, н, о, end subscript, A, а силата с посока надолу, която действа върху капака на консервата, ще бъде $F_{надолу}=P_{капак}A$F, start subscript, н, а, д, о, л, у, end subscript, equals, P, start subscript, к, а, п, а, к, end subscript, A. Като заместим с тези изрази за всяко $F$F в предишното уравнение, получаваме:

Можем да използваме формулата за манометрично налягане $P_{ман}=\rho gh$P, start subscript, м, а, н, end subscript, equals, rho, g, h, за да изразим наляганията, насочени нагоре и надолу. Силата от налягането, насочена нагоре върху дъното на консервата, е $P_{дъно}=\rho gh_{дъно}$P, start subscript, д, ъ, н, о, end subscript, equals, rho, g, h, start subscript, д, ъ, н, о, end subscript, а силата от налягането, насочена надолу върху капака на консервата, е $P_{капак}=\rho gh_{капак}$P, start subscript, к, а, п, а, к, end subscript, equals, rho, g, h, start subscript, к, а, п, а, к, end subscript. Може да заместим с тези изрази в предишното уравнение и получаваме:

Забележи, че всеки член в това уравнение съдържа израза $\rho g A$rho, g, A. Така че можем да опростим формулата, като изнесем този общ множител $\rho g A$rho, g, A, и така получаваме:

Членът $h_{дъно} -h_{капак}$h, start subscript, д, ъ, н, о, end subscript, minus, h, start subscript, к, а, п, а, к, end subscript е важен и нещо интересно ще се случи сега заради него. Разликата между дълбочината на дъното на консервата $h_{дъно}$h, start subscript, д, ъ, н, о, end subscript и дълбочината при капака на консервата $h_{капак}$h, start subscript, к, а, п, а, к, end subscript е просто височината на кутията. (виж диаграмата по-долу)

Така че можем да заместим $(h_{дъно} -h_{капак})$left parenthesis, h, start subscript, д, ъ, н, о, end subscript, minus, h, start subscript, к, а, п, а, к, end subscript, right parenthesis в предишната формула с височината $h_{консерва}$h, start subscript, к, о, н, с, е, р, в, а, end subscript на консервата, при което получаваме:

Ето и интересната част. Тъй като $A \times h$A, times, h е равно на обема на цилиндъра, можем да заместим члена $Ah_{консервата}$A, h, start subscript, к, о, н, с, е, р, в, а, т, а, end subscript с обема $V$V. Инстинктивно може да си помислиш, че става дума за обема на консервата. Но обърни внимание, че този обем е равен на обема на водата, изместена от консервата. Под изместена вода имаме предвид обема на водата, която е заемала пространството, което в момента е заето от потопената част на консервата.

Така че определено ще заместим члена $Ah$A, h с обема $V$V, но дали да го запишем като обем на консервата или обем на изместения флуид? Това е важно, защото двата обема могат да бъдат различни, ако обектът е само частично потопен във водата. Краткият отговор е, че трябва да използваме обема на изместения флуид $V_{флуид}$V, start subscript, ф, л, у, и, д, end subscript защото изместеният флуид е всъщност факторът, който определя изтласкващата сила.

Общо взето е това. Тази формула дава силата на изтласкване, която консервата с боб (или произволен друг обект) изпитва, когато е потопена изцяло или частично във флуид. Я да прегледаме какво имаме вече. Забележи, че силата на изтласкване зависи само от плътността $\rho$rho на флуида, в който обектът е потопен, ускорението $g$g от гравитацията и обема $V_f$V, start subscript, f, end subscript на изместения от обекта флуид.

Изненадващо, изтласкващата сила не зависи от дълбочината, на която е потопен обектът. С други думи, ако консервата е напълно потопена, потапяйки я още по-дълбоко, няма да променим изтласкващата сила, която ѝ действа. Това може да изглежда странно, тъй като налягането става все по-голямо с увеличаване на дълбочината. Но основната идея е, че налягането на капака и на дъното на консервата ще се увеличат с една и съща стойност и следователно ще се унищожат, оставяйки изтласкващата сила непроменена.

Нещо може да ти се стори грешно. Някои обекти определено потъват, а ние тъкмо доказахме, че на всеки потопен обект действа сила, насочена нагоре. Как може обект да потъне, ако му действа сила нагоре? Ами, определено изтласкващата сила, насочена нагоре, действа на всеки потопен обект, дори на тези, които потъват. Само че за тези, които потъват, тежестта им е по-голяма от изтласкващата сила, която им действа. Ако тежестта им беше по-малка от изтласкващата сила, те щяха да плават. Оказва се, че можем да докажем, че ако плътността на напълно потопен обект е по-голяма от плътността на флуида, в който е потопен, то обектът ще потъне.

Начинът, по който най-често ще виждаш формулата за изтласкващата сила, е с разменени $g$g и $V$V по ето този начин:

Като пренаредиш формулата по този начин, по-лесно можеш да видиш нещо невероятно. Членът $\rho V_f$rho, V, start subscript, f, end subscript е плътността на изместения флуид, умножена по обема на изместения флуид. Тъй като от дефиницията за плътност $\rho=\dfrac{m}{V}$rho, equals, start fraction, m, divided by, V, end fraction можем да получим $m=\rho V$m, equals, rho, V, това означава, че множителят $\rho V_f$rho, V, start subscript, f, end subscript отговаря на масата на изместения флуид. Така че ако искаме, можем да заменим $\rho V_f$rho, V, start subscript, f, end subscript с $m_f$m, start subscript, f, end subscript в предишното уравнение, и да получим:

Но виж това! Масата на изместения флуид по големината на ускорението от гравитацията е просто тежестта на изместения флуид. Така че можем да преработим формулата за изтласкващата сила така:

Това равенство, изразено с думи, носи името "принцип на Архимед". Принципът на Архимед гласи, че изтласкващата сила, която действа върху обект, е равна на тежестта на изместения от обекта флуид. Простотата и силата на тази идея са поразителни. Ако искаш да знаеш изтласкващата сила върху обект, трябва само да определиш тежестта на количеството от флуида, изместено от обекта.

Обстоятелството, че прости и красиви (но не очевидни) идеи като тази произлизат като логически следствия от прости физически принципи е част от причината хората да намират физиката за полезна, мощна и интересна. И фактът, че това е открито от Архимед от Сиракуза преди повече от 2000 години, преди законите на Нютон, е меко казано впечатляващ.

Понякога хората забравят, че плътността $\rho$rho във формулата $F_b=\rho V_{f}g$F, start subscript, b, end subscript, equals, rho, V, start subscript, f, end subscript, g за изтласкващата сила е плътността на изместения флуид, а не плътността на потопения обект.

Хората често забравят, че обемът във формулата за изтласкващата сила е обемът на изместения флуид (или на потопената част от обекта), а не непременно обемът на целия обект.

Някои хора мислят, че изтласкващата сила се увеличава, ако обектът бъде потопен по-дълбоко във флуида. Но изтласкващата сила не зависи от дълбочината. Зависи само от обема $V_f$V, start subscript, f, end subscript на изместения флуид, плътността $\rho$rho на флуида и ускорението $g$g от гравитацията.

Много хора, когато ги помолиш да формулират принципа на Архимед, те поглеждат с раздразнение и започват да бръщолевят за Архимед, който изскача гол от ваната си. Увери се, че разбираш принципа на Архимед достатъчно добре, за да го формулираш ясно: „Всеки обект, потопен във флуид, изпитва сила нагоре, равна на тежестта на флуида, която обектът измества.“

Градински гном с маса $0{,}650 \text{ kg}$0, comma, 650, start text, space, k, g, end text отишъл да се гмурка, но се надценил и се озовал на дъното на езерото на дълбочина $35{,}0 \text{ m}$35, comma, 0, start text, space, m, end text . Градинският гном е плътен (няма дупки) и има обем $1{,}44 \times 10^{-3}\text{ m}^3$1, comma, 44, times, 10, start superscript, minus, 3, end superscript, start text, space, m, end text, cubed . Плътността на сладката вода в езерото е $1000 \dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$1000, start fraction, start text, k, g, end text, divided by, start text, m, end text, cubed, end fraction .

Куб, с който сте много близки приятели, има маса $2{,}33 \text{kg}$2, comma, 33, start text, k, g, end text .

Знаем, че за да плава, изтласкващата сила трябва да бъде равна по големина на тежестта на куба. Така че формулираме това като уравнение по следия начин:

Огромен сферичен балон, пълен с хелий, боядисан като крава, е завързан с въже за земята, което не му позволява да излети нагоре. Материалът на балона, който задържа хелия, има маса $9{,}20 \text{ kg}$9, comma, 20, start text, space, k, g, end text. Диаметърът на балона е $3{,}50\text{ m}$3, comma, 50, start text, space, m, end text. Плътността на въздуха е $1{,}23 \dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$1, comma, 23, start fraction, start text, k, g, end text, divided by, start text, m, end text, cubed, end fraction .

Това е малко по-трудно, така че нека първо начертаем диаграма на силите. Дадени са ни доста числа, така че можем да включим и стойностите, които знаем, в диаграмата, така че да можем да ги виждаме. (Обърни внимание, че флуидът, който бива изместен, в този случай е въздух.)

Тъй като балонът не се ускорява, силите, които му действат, трябва да се компенсират (т.е. сумарната сила да е нула). Така че можем да започнем с твърдението, че големината на сумата на всички сили нагоре е равна на големината на сумата на всички сили надолу.