Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 4

Урок 4: Амперметър, волтметър, електрически вериги

Свойството линейност

Когато удвоим напрежението през един резистор, токът се удвоява. Затова наричаме резистора линейно устройство. Кондензаторите и индукторите също са линейни устройства. Създадено от Уили Макалистър.

Въведение

Линейността е математическа концепция, която има важно значение при проектирането на електронни устройства. Идеята сама по себе си е доста проста, но приложенията ѝ имат голямо значение в областта на електрониката. Първо ще разгледаме математически понятието линеен. После ще приложим идеята към електронните вериги.

Основни идеи

Една функция е линейна в математическия смисъл, ако има следните характеристики:
Хомогенност (пропорционалност): f(ax)=af(x)
Адитивност: f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
Когато входящите и изходящите стойности са единични числа, една функция, която притежава свойството пропорционалност, автоматично притежава и свойството адитивност. Резисторите, кондензаторите и индукторите са линейни елементи, понеже притежават свойството пропорционалност.

Линейност

Терминът линейност се отнася до свойството пропорционалност. Предположи, че имаш две физични характеристики, например, скоростта, с която можеш да бягаш, и разстоянието, което можеш да пробягаш. Ако удвоиш скоростта си, ще удвоиш изминатото разстояние. Ако утроиш скоростта си, ще утроиш разстоянието. Това се нарича линейна зависимост. Обикновено цените на стоките също са линейни. Ако една тетрадка струва 1 лев, десет тетрадки ще струват 10 лева.
В електрониката един идеален резистор се характеризира с линейна зависимост между напрежението и тока. Ако удвоиш напрежението, токът се удвоява и обратно. Затова казваме, че идеалният резистор е линеен елемент.

Пропорционалност (хомогенност)

Искаме да представим това свойство на пропорционалност математически. Удвояването може да бъде записано като f(2x)=2f(x). Подобно, утрояването може да бъде записано като f(3x)=3f(x). Като цяло, свойството на пропорционалност е:
f(ax)=af(x)
По-сложната математическа дума за това свойство е хомогенност.
Функция, която представена графично изглежда като права през началната точка на координатната система, има свойството пропорционалност. Нека y=f(x)=2x.
Ако x=2, тогава y=22=4.
Ако удвоим x от 2 на 4, тогава y=24=8.
Тоест при удвояване на x се удвоява и у.
Много важно е да отбележим, че понеже f(x) е права линия, коефициентът на пропорционалност a не зависи от стойността на x.
Ако функцията е от друг вид, например y=x2 или y=1/x, или y=ex, коефициентът на пропорционалност не е един и същ за всяко x, той зависи от стойността на x.
Например, ако y=x2/16,
При x=4, y=42/16=1, така че коефициентът на пропорционалност за преминаване от x до y е 1/4.
При x=8, y=82/16=4, така че коефициентът на пропорционалност е 1/2.
За всяка функция, чиято графика не е права линия, коефицентът на пропорционалност (увеличаването) не е един и същ, а вместо това зависи от входящата стойност x.
Това е главната причина да предпочитаме да създаваме и използваме линейни усилватели – за да направим малките сигнали по-големи. Всеки сигнал се увеличава пропорционално по един и същ начин, така че изходящата стойност изглежда като увеличена реплика на входящата стойност.

Събиране (адитивност)

Когато една връзка е линейна (има свойството пропорционалност), можем да изведем свойството адитивност. Графичното представяне на всички линейни функции е права с коефициент на пропорционалност (наклон) a:
f(x)=ax
Ако входящата стойност е равна на сбора на две различни входящи стойности (x1+x2), тогава:
f(x1+x2)=a(x1+x2),
и като използваме разпределителното свойство:
f(x1+x2)=ax1+ax2.
Членовете от дясната страна са равностойни на:
ax1=f(x1)ax2=f(x2)
И сега имаме свойството на събирането (наречено адитивност):
f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
Можем да използваме адитивното (събирателното) свойство по умен начин.
Предположи, че имаме две входящи стойности x1 и x2 и направим всяко от тях входяща стойност на линейната функция f(x). Изходящите стойности, разбира се, са f(x1) и f(x2).
Ако съберем входящите стойности x1+x2 и въведем сбора във функцията f(x), по определение изходящата стойност ще е f(x1+x2).
Ето я хитроумната част: Ако f(x) е линейна функция, има друг начин да изведем изходящата стойност, когато x1+x2 е входящата стойност. Изходящата стойност може да бъде изчислена и като сбор на двете отделни изходящи стойности, f(x1)+f(x2).
Адитивното свойство на линейните функции се нарича суперпозиция. То лежи в основата на една техника за анализ на електрически вериги, която носи същото име. Суперпозицията се използва брилянтно при метода на кръговите токове и в много други инженерни области (особено при обработване на сигнали).

Линейност на електронни компоненти

Нека започнем, като разгледаме един резистор. Математически, може да приемеш гледната точка, че резисторът е функция, която взима напрежението като входяща стойност и извежда ток като изходяща стойност.
Можем да кажем дали един идеален резистор е линеен елемент, като проверим дали притежава свойството пропорционалност. Можем да запишем закона на Ом като функция:
i=f(v)=1Rv

Омащабиране на резистор (пропорционалност)

Ако удвоим напрежението между краищата на резистора, токът се удвоява.
Ако вкараме 4 пъти повече ток през резистора, напрежението се покачва 4 пъти.

Адитивност на резистор

Ако приложим 1V+3V към резистора, получаващият се ток е или
1V+3VR=4VR
или
1VR+3VR=4VR
Един резистор притежава свойството пропорционалност (и, следователно, автоматично притежава свойството адитивност).
Резисторът е линеен елемент.
За резистори от реалния свят, разбира се, има ограничение за напрежението и тока. Ако мощността (iv) е повече, отколкото резисторът може да приеме, това може да промени стойността на съпротивлението, при което той се свръхнагрява или дори изгаря. Тоест реалните резистори са линейни само в някакъв диапазон на напрежението и тока. Но идеален резистор работи за всяко i или v, така че идеалният резистор е линеен, без никакво съмнение.

Линейни ли са кондензаторите и индукторите?

Законите за кондензатора и индуктора са
i=Cdvdt
и
v=Ldidt
На пръв поглед може да изглежда сякаш това не са уравнения на прави. Но са. Те са прави, ако разглеждаме независимата променлива като dv/dt и di/dt, а не просто като v или i.
i=f(dvdt)=Cdvdt
и
v=f(didt)=Ldidt
Законът на кондензатора може да бъде представен графично като права линия, като dv/dt е на хоризонталната ос и i е на вертикалната ос. Наклонът на правата, съответстваща на кондензатора, е C.
Подобно, законът за индуктора може да бъде представен графично като права линия, като di/dt е на хоризонталната ос и v е на вертикалната ос. Наклонът на правата, съответстваща на индуктора, е L.
Идеалните кондензатори и индуктори са линейни елементи.
Сега имаме три елемента на веригата: R L C.
Само с тези линейни компоненти можем да създадем много интересни електронни функции.

Диодът е нелинеен елемент

Може да е полезно също така да разгледаме един нелинеен елемент, просто за да видим разликата. Диодът е нелинеен полупроводников елемент.
Ще научим много повече за диодите по-късно. Засега само ще разгледаме неговата i-v крива като пример за това как изглежда тя за един нелинеен елемент:
Крива i-v за силициев диод.
Тази i-v крива е волт-амперната характеристика на диода. Очевидно не изглежда като права линия, така че това определено не е линеен елемент. Нелинейното поведение на диода е типично и за други полупроводникови елементи, например за транзисторите.

Защо линейността ни вълнува толкова много?

Отговор: Изчисленията работят чудесно!
Верига, изградена от линейни елементи, може да бъде изчислена точно. Всъщност има цял клон на математиката, посветен на решаването на линейни функции, наречен линейна алгебра.
Някои примери за голямата важност: законите на Кирхоф са в сила поради линейността, както и методът на възловите напрежения и методът на кръговите токове.

Нелинейни функции и елементи

В общия случай функциите с нелинейно поведение нямат тези свойства. Все още не е намерен общ метод за решаване на нелинейни уравнения/вериги.
Всеки нов вид верига изисква математически техники, специфични за новата верига. Обичайният подход към една нелинейна верига е да направим всичко възможно да я направим да изглежда линейна поне за кратък период от нейната работа. Точно това се има предвид, когато видиш термини като "частично линейно приближение" или "слабосигнален модел."

Обобщение

Една функция е линейна, ако има следните характеристики:
Хомогенност (пропорционалност): f(ax)=af(x)
Адитивност: f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
Ако x и a са реални числа (а не вектори или множества), тези характеристики означават същото нещо и можеш да провериш това за едно от тях.
Резисторите, кондензаторите и индукторите са линейни елементи, понеже имат свойството пропорционалност.

Описание на свойството линейност с думи

  1. Мащабирането на входящата стойност с коефициент a мащабира и изходящата стойност с коефициент a.
  2. Събирането на две входящи стойности дава същата изходяща стойност като прилагането на всяка входяща стойност поотделно и събирането на двете отделни изходящи стойности.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.