Основно съдържание

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 4

Урок 4: Амперметър, волтметър, електрически вериги

Метод на кръговите токове

С метода на кръговите токове се анализира електрическа верига, като се изразят токовете, протичащи в контурите на дадената верига, с помощта на закона на Кирхоф за напрежението. Написано от Уили МакАлистър.

Въведение

Методът на на кръговите токове е друг добре организиран метод за анализ на ел. верига. (Другият е методът на възловите напрежения.) Както с всяко предизвикателство за анализ на верига, трябва да решим система от

2 E

независими уравнения, където

E

е броят елементи на веригата. Методът на кръговите токове ефективно подпомага анализа, като води до сравнително малък брой уравнения за решаване.

Методът на кръговите токове е базиран на закона на Кирхоф за напрежението (KVL).

Методът на контурните токове е малка вариация на метода на кръговите токове.

Затворени контури и прости затворени контури

В метода на на кръговите токове се използват два специални термина: затворен контур и прост затворен контур.

Затворен контур е всеки затворен път около една верига. За да проследиш затворен контур, тръгваш от извод на произволен компонент и проследяваш път през свързани елементи, докато не се върнеш обратно в началната точка. Затвореният контур може да премине през един елемент само веднъж (така че не получаваш контури, които изглеждат като фигура 8). Във веригата по-горе има три затврени контура, два затворени контура

I

II

с плътна линия и един затворен контур

III

с пунктирана линия, по целия път около външната част.

Ако проследим затворените контури в посока по часовниковата стрелка, трите затворени контура в ел. веригата ни преминават през

\begin{aligned} Затворен контур I: & V1 - R1 - R3 \\ Затворен контур II: & R3 - R2 - V2 \\ Затворен контур III: (с пунктирана линия) & V1 - R1 - R2 - V2 \end{aligned}

Прост затворен контур е затворен контур с условие; простият затворен контур е затворен контур, който не съдържа други затворени контури. Във веригата по-горе затворените контури

I

II

са прости затворени контури, понеже в тях няма по-малки затворени контури. Пунктираният затворен контур не е прост затворен контур, понеже съдържа други два затворени контура.

Английският термин за прост затворен контур е mesh и има две значения:

Mesh може да е материалът, изграждащ телена мрежа или текстилна мрежа, както и "мрежа за риба."
Mesh също е пространството между отделните нишки на телена или текстилна мрежа, както в израза "Ако мрежата е твърде рядка, рибата може да избяга".

В анализа на веригите, когато кажем (mesh) контур около "отворен прозорец" или "прозоречния отвор" на една електрическа верига, използваме второто значение, при което mesh се отнася до отворените пространства между клоновете на мрежата. Търсенето на отворените прозорци е лесен начин бързо да идентифицираме всички прости затворени контури на една верига.

При метода на кръговите токове използваме простите затворени контури в една верига, за да съставим уравнения на закона на Кирхоф за напрежението.

Ток в затворен контур – кръгов ток

Сега дефинираме нов термин, ток в затворен контур. (Можеш също да го наречеш ток в прост затворен контур.) Досега когато говорихме за тока, това обикновено беше в контекста на ток в даден елемент (ток, протичащ през един елемент). Когато използваме термина ток в затворен контур, говорим за въображаем ток, протичащ през един затворен контур. Това е малко странна идея, но остани с мен. В следващата верига да дефинираме токовете в затворени контури

i_{I}

i_{II}

, които протичат през простите затворени контури

I

II

, като положителната посока на тока в затворения контур е означена със стрелките.

Ясно е, че

i_{I}

е токът, който протича през източник

V 1

и резистор

R 1

. Подобно,

i_{II}

е токът, който протича през резистор

R 2

и източник

V 2

. Но какво става с тока през

R 3

Нека разгледаме отблизо

R 3

в средния клон на веригата. Какъв е токът на елемента, който протича през

R 3

По начина, по който са начертани токовете на затворените контури, изглежда сякаш и двата преминават през

R 3

, но в противоположни посоки. Може ли това да е вярно? Да, може, понеже можем да използваме много важна концепция, наречена принцип на суперпозицията (наслагването).

Принципът на суперпозицията (наслагването)

Суперпозицията е засукана дума за събиране. В случая с

R 3

използваме принципа на суперпозицията, когато кажем, че двата тока на затворените контури

i_{I}

i_{II}

се сумират, за да дадат реалния ток в резистора

i_{R 3}

+ i_{R 3} = + i_{I} - i_{II}

Двата тока в затворените контури се суперпозиционират (събират), за да образуват реалния ток на елемента в

R 3

. Стрелката за тока на затворения контур

i_{I}

сочи в същата посока като тока на клона

i_{R 3}

, давайки му знак

+

в уравнението за суперпозицията. Стрелката за тока на затворения контур

i_{II}

сочи в противоположната посока, така че получава знак

-

в уравнението.

Линейност

Причината да можем да използваме суперпозиция с идеални резистори е понеже идеалният резистор е линеен. Линейността за един идеален резистор означава, че ако умножим напрежението по константа

a

, тогава токът се умножава по същата константа

a

v = i R

a v = a i R

За резистор от реалния живот има ограничение колко голямо може да е

a

, преди резисторът да изгори. Но за идеалния ни резистор това работи за всяко

a

, така че идеалният резистор е линеен.

Линейността означава, че можем да използваме принципа на суперпозицията. Суперпозицията означава, че е логично да имаме множество токове на затворените контури, протичащи през един елемент от веригата. Множество токове означава, че можем да използваме токовете на контурите като независими променливи. И това означава, че можем да използваме метода на тока на затворения контур, за да решаваме електрически вериги!

Ако искаш да научиш повече за концепцията за линейност, виж главната статия за линейност.

Упражнение за тока на затворения контур

Задача 1

Намери тока на елемента $i_{Rx}$ ‍.

i_{Rx} =

mA

Задача 2

Намери тока на елемента $i_{Ry}$ ‍.

i_{Ry} =

mA

Методът на кръговите токове, описан след това, работи за равнинни вериги (вериги, които могат да бъдат начертани в една равнина без пресичащи се проводници). Повечето от веригите, на които ще се натъкнеш, ще са равнинни. Ако веригата е неравнинна (може да бъде начертана само с пресичащи се проводници), има малка модификация на метода и той получава името метод на контурните токове. Повечето от процесите са еднакви и за двата метода, така че нека първо научим за метода на кръговите токове за равнинни вериги. Ще говорим повече за метода на контурните токове в главната статия за метода на контурните токове.

Метод на кръговите токове

Методът на на кръговите токове е базиран на кръговите токове, които протичат през прости затворени контури. Анализът се извършва със следната поредица от стъпки:

Идентифицирай простите затворени контури (отворените прозорци на веригата).
Означи с променлива тока във всеки прост затворен контур, като спазваш една посока (по часовниковата стрелка или обратно на часовниковата стрелка).
Запиши уравнения за закона на Кирхоф за тока за всички прости затворени контури.
Намери от получената система уравнения всички токове в простите затворени контури.
Определи всички други токове и напрежения на елементите, които търсиш, като използваш закона на Ом.

Ето я веригата, която ще анализираме, за да демонстрираме метода на кръговите токове:

Идентифицирай простите затворени контури

Веригата ни има два прости затворени контура. Идентифицираме два тока в затворените контури и ги означаваме като

i_{I}

i_{II}

. Това ще са независимите ни променливи. Важно: посоките на токовете в контурите са еднакви, и двата протичат в посока по часовниковата стрелка.

Като дефинираме кръговия ток във всеки прост затворен контур, получаваме достатъчно независими уравнения, за да решим веригата.

Запиши закона на Кирхоф за напрежението (KVL) около всеки прост затворен контур

Важно умение при работа с кръгови токове в затворени контури – записвай върху схемата!

За да се подготвим да запишем уравнения по закона на Кирхоф за напрежението, означаваме върху схемата напреженията на елементите (оранжеви

+

-

) и токовете на елементите (зелени стрелки), като използваме конвенцията за знаците на пасивни компоненти. Също добавям допълнителни сини стрелки към затворените контури, така че винаги да знам в коя посока тече токът на затворения контур.

Отбележи първо токовете на елементите (преди да определиш напреженията). Добра идея е да начертаеш токовете така, че да сочат в същата посока като тока на най-близкия затворен контур. Не винаги можеш да направиш това; виждаме пример, в който $i_{II}$ ‍ тече срещу стрелката на тока $1 k Ω$ ‍. Това не е проблем, накрая всичко ще е точно.
После отбележи напреженията на елементите със знака $+$ ‍ близо до стрелката на навлизащия ток (конвенцията за знаците на пасивните елементи).

Сега записваме уравнение за всеки прост затворен контур, като използваме закона на Кирхоф за напрежението (събираме напреженията около един прост затворен контур и ги поставяме да са равни на нула). Докато записваме уравнение за простия затворен контур, ето как да включим членовете за напрежението:

Когато стигнеш до източник на напрежение, той влиза в уравнението като стойност на напрежението.
Когато стигнеш до резистор, изрази напрежението като съпротивлението $\times$ ‍ тока на затворения контур. Това е все едно да използваш наум закона на Ом.
Ако два тока на затворения контур протичат през един компонент, включи разликата им в израза за закона на Ом.

Уравнението за прост затворен контур $I$ ‍, стъпка по стъпка

Започваме в долния ляв ъгъл на схемата и се движим по часовниковата стрелка около простия затворен контур

I

Първият елемент, на който се натъкваме, е източник на напрежение от $5 V$ ‍. Първо се натъкваме на оранжевия знак $-$ ‍ на източника на напрежение. Това означава, че ще изпитаме покачване на напрежението, като преминаваме през източника. Понеже е покачване, той влиза в уравнението със знак $+$ ‍ като $+ 5 V$ ‍.

прост затворен контур I : + 5 V …

Вторият елемент, на който се натъкваме, е резисторът $2 k Ω$ ‍. Напрежението между краищата на този резистор е $2 k Ω \cdot i_{I}$ ‍. (Това означава да "използваш закона на Ом наум.") Стрелката на тока на този резистор е в същата посока като тока на затворения контур $i_{I}$ ‍. Оранжевият знак $+$ ‍ на напрежението ни казва, че ще изпитаме пад на напрежението, като преминаваме през този компонент, така че този член влиза в уравнението със знак $-$ ‍ като $- 2000 i_{I}$ ‍.

прост затворен контур I : + 5 V - 2000 i_{I} …

Следващият компонент на затворения контур е резисторът от $1 k Ω$ ‍. През него протичат два кръгови тока, $i_{I}$ ‍ и $i_{II}$ ‍. Сумарният ток в резистора е $(i_{I} - i_{II})$ ‍. Напрежението, следователно, е $1 k Ω \cdot (i_{I} - i_{II})$ ‍. Оранжевият знак $+$ ‍ като навлизаме в компонента ни казва, че ще изпитаме пад на напрежението, преминавайки през компонента, така че този член влиза в уравнението със знак $-$ ‍ като $- 1 k Ω \cdot (i_{I} - i_{II})$ ‍.

прост затворен контур I : + 5 V - 2000 i_{I} - 1000 (i_{I} - i_{II}) …

Пътуването около затворен контур $I$ ‍ е завършено. Остана ни само да поставим сбора от напреженията около затворения контур да е равен на нула.

прост затворен контур I : + 5 V - 2000 i_{I} - 1000 (i_{I} - i_{II}) = 0

Обобщение на прост затворен контур $I$ ‍ спрямо закона на Кирхоф за напрежението:

Уравнението за прост затворен контур $II$ ‍, стъпка по стъпка

Започваме в дъното на резистора

1 k Ω

и се движим по часовниковата стрелка около простия затворен контур.

Първият елемент е резисторът от $1 k Ω$ ‍ и през него протичат два тока. Сумарният ток в резистора е $(i_{I} - i_{II})$ ‍. Тъй като навлизаме в резистора от долната част, при оранжевия знак $-$ ‍, ще изпитаме покачване на напрежението, преминавайки през него, така че членът, който включваме в уравнението, е $+ 1000 \cdot (i_{I} - i_{II})$ ‍.

прост затворен контур II : + 1000 (i_{I} - i_{II}) …

Следващият компонент е резисторът от $2 k Ω$ ‍ горе вдясно на схемата, през който протича само $i_{II}$ ‍. Това е пад на напрежението, така че влиза в уравнението като $- 2000 \cdot i_{II}$ ‍.

прост затворен контур II : + 1000 (i_{I} - i_{II}) - 2000 i_{II} …

Последното нещо, до което стигаме, е източникът от $2 V$ ‍. Третираме източниците като специален случай, използваме само тяхната стойност на напрежението. Виждаме пад на напрежението, преминавайки през източника, така че той влиза в уравнението като $- 2 V$ ‍.

прост затворен контур II : + 1000 (i_{I} - i_{II}) - 2000 i_{II} - 2 V …

И приключваме, като поставяме сборът около затворения контур да е равен на нула:

прост затворен контур II : + 1000 (i_{I} - i_{II}) - 2000 i_{II} - 2 V = 0

Обобщение на простия затворен контур $II$ ‍ спрямо закона на Кирхоф за напрежението:

Реши системата от уравнения за простите затворени контури, за да намериш токовете

Уравненията ни за простите затворени контури, копирани от по-горе:

прост затворен контур I : + 5 V - 2000 i_{I} - 1000 (i_{I} - i_{II}) = 0

прост затворен контур II : + 1000 (i_{I} - i_{II}) - 2000 i_{II} - 2 V = 0

За да започнеш процеса на решение, умножи членовете и премести константите в дясната страна:

прост затворен контур I : - 2000 i_{I} - 1000 i_{I} + 1000 i_{II} = - 5

прост затворен контур II : + 1000 i_{I} - 1000 i_{II} - 2000 i_{II} = + 2

Комбинирай подобните членове, за да получиш подредена система уравнения:

прост затворен контур I : - 3000 i_{I} + 1000 i_{II} = - 5

прост затворен контур II : + 1000 i_{I} - 3000 i_{II} = + 2

Стратегията ни ще е да елиминираме

i_{I}

, като умножим второто умножение по

3

и го добавим към първото уравнение. Ето го умножението на уравнението за прост затворен контур

II

\begin{aligned} прост затворен контур II : 3 \cdot [+ 1000 i_{I} - 3000 i_{II} & = + 2] = \\ [+ 3000 i_{I} - 9000 i_{II} & = + 6] \end{aligned}

Сега събери двете уравнения. Членовете

i_{I}

се съкращават, когато съберем, което ни оставя само члена

i_{II}

\begin{aligned} прост затворен контур I : [- 3000 i_{I} + 1000 i_{II} & = - 5] \\ прост затворен контур II : + [+ 3000 i_{I} - 9000 i_{II} & = + 6] \\ сбор : - 8000 i_{II} & = + 1 \\ i_{II} & = \frac{+ 1}{- 8000} \\ i_{II} & = - 0,125 mA \end{aligned}

Токът на затворения контур

i_{II}

има отрицателен знак. Това означава, че токът протича в противоположното посока на синята стрелка.

Сега знаем един от токовете на затворения контур. Въведи тази стойност в което и да е уравнение на затворения контур, за да получиш другия ток. Нека използваме уравнението за затворен контур

I

- 3000 i_{I} + 1000 i_{II} = - 5

- 3000 i_{I} + 1000 \cdot (- 0,125 mA) = - 5

- 3000 i_{I} = - 5 + 0,125

i_{I} = \frac{- 4,875}{- 3000}

i_{I} = + 1,625 mA

Сега намерихме двата тока на затворените контури. Готови сме да намерим токовете и напреженията на елементите.

Намери токовете и напреженията на елементите

За всеки елемент, който носи само един кръгов ток, веднага знаем неговия ток на елемента, който е същият като кръговия ток:

i_{2 k Ω ляв} = + i_{I} = + 1,625 mA

i_{2 k Ω десен} = + i_{II} = - 0,125 mA

Резисторът

1 k Ω

носи два тока на затворения контур, така че използваме суперпозиция, за да намерим тока на елемента:

i_{1 k Ω} = i_{I} - i_{II} = + 1,625 mA - (- 0,125 mA) = + 1, 75 mA

И накрая получаваме напрежението във възела между трите резистора, като използваме закона на Ом за резистора от

1 k Ω

v_{1 k Ω} = 1 k Ω \cdot 1, 75 mA = 1, 75 V

Готово! Анализирахме верига, като използвахме метода на кръговите токове.

Избиране на метод

Сега имаме два ефективни метода за анализиране на ел. вериги, методът на възловите напрежения и методът на на кръговите токове. Кой е най-добре да използваме в дадена ситуация? За да избереш между двата метода, преброй броя на простите затворени контури във веригата и сравни това с броя на възлите. Кой брой е по-малък, на простите затворени контури или на възлите? Обикновено е най-добре да избереш метод, който генерира по-малко уравнения. Ако простите затворени контури и възлите са един и същи брой или почти един и същи, можеш да избереш метода, който разбираш най-добре.

Обобщение

Методът на кръговите токове е алтернатива на метода на възловите напрежения за решаване на ел. верига.

Стъпките в метода на кръговите токове са:

Идентифицирай простите затворени контури.
Постави променлива за тока на всеки прост затворен контур, като спазваш една посока (по часовниковата стрелка или обратно на часовниковата стрелка).
Запиши закона на Кирхоф за напрежението около всеки прост затворен контур.
- Източниците на напрежение влизат в уравнението като стойности на напрежението.
- Напреженията на резисторите влизат в уравнението като $R \times i_{з а т в о р е н и я к о н т у р}$ ‍.
- Ако два тока на затворения контур протичат в противоположните посоки в един резистор, напрежението влиза в уравнението като $R \times (i_{з а т в о р е н к о н т у р 1} - i_{з а т в о р е н к о н т у р 2})$ ‍. (Това е плюс, вместо минус, ако се движат в една и съща посока.)
- Постави сбора от напреженията да е равен на нула. (Ако това е объркващо, виж статията за закона на Кирхоф за напрежението.)
От получената система уравнения определи всички токове в затворения контур.
Намери токовете и напреженията на всички елементи, които искаш, като използваш закона на Ом.

Ако веригата е неравнинна или има източник на тока, общ за два прости затворени контура, най-добре е да използваш метода на контурните токове.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Физика – 11. клас (България)

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 4

Въведение

Затворени контури и прости затворени контури

Ток в затворен контур – кръгов ток

Принципът на суперпозицията (наслагването)

Линейност

Упражнение за тока на затворения контур

Метод на кръговите токове

Идентифицирай простите затворени контури

Запиши закона на Кирхоф за напрежението (KVL) около всеки прост затворен контур

Важно умение при работа с кръгови токове в затворени контури – записвай върху схемата!

Уравнението за прост затворен контур I‍ , стъпка по стъпка

Уравнението за прост затворен контур II‍ , стъпка по стъпка

Реши системата от уравнения за простите затворени контури, за да намериш токовете

Намери токовете и напреженията на елементите

Избиране на метод

Обобщение

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Уравнението за прост затворен контур $I$ ‍, стъпка по стъпка

Уравнението за прост затворен контур $II$ ‍, стъпка по стъпка