Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 4

Урок 4: Амперметър, волтметър, електрически вериги

Метод за определяне на напрежението във възел от електрическата верига

С метода за определяне на напрежението във възел от електрическата верига използваме минимален брой уравнения по закона на Кирхоф.  Създадено от Уили Макалистър.
Методът на възловите напрежения е организиран метод за анализиране на електрическа верига. Методът на възловите напрежения е базиран на закона на Кирхоф за тока. Тази техника е вградена в популярния симулатор на електрически вериги SPICE.
Какво е предизвикателството при анализирането на ел. вериги? Решаването на всяка верига означава съставяне и решаване на 2E независими уравнения, където E е броят елементи (компоненти и източници). Половината уравнения идват от законите за отделните елементи (като закона на Ом), а другата половина идват от връзките между елементите.
Без значение каква процедура използваме за анализ на веригата, няма начин да се заобиколи решаването на 2E уравнения. Дори за прости вериги работата с 2E уравнения може да е доста сложна. Но има начини да организираме усилието, за да го направим ефикасно. Методът на възловите напрежения е една от двете много ефикасни процедури, които имаме за анализ на ел. вериги. (Другата е методът на кръговите токове.)
Методът на възловите напрежения не е нещо ново. В него се работи със същото количество информация, което се съдържа в 2E уравнения, но този метод е доста находчив и ефикасен в организацията на тази информация.
Ще демонстрираме как се използва методът на възловите напрежения със същата верига, която анализирахме, като използвахме фундаменталните закони:

Определение: възлово напрежение

Трябва да определим нов термин: възлово напрежение. Досега говорихме за напрежение на елемента, което се появява между изводите на един отделен елемент (също наречено клоново напрежение). Когато използваме термина възлово напрежение, говорим за разликата в потенциала между краищата на два възела в една верига.
Избираме един от възлите във веригата да е отправен възел. Всички други възлови напрежения биват измерени спрямо този един отправен възел. Ако възел c бъде определен за отправен възел, установяваме две възлови напрежения при възли a и b.
Отправният възел почти винаги се нарича заземителен възел и получава символ за заземяване в схемата, както е показано по-горе. Потенциалът на заземителния възел е определен да е 0V. Потенциалите на всички други възли се измерват спрямо заземителния.

Метод за определяне на напрежението във възел от електрическата верига

Анализът на ел. вериги по метода на възловите напрежения включва следната поредица от стъпки:
  • Определи отправен възел (заземителен).
  • Означи възловите напрежения за останалите възли.
  • Реши първо лесните възли, тези с източник на напрежение, свързан с възела на заземяване.
  • Определи аналитично тока във всеки възел чрез закона на Кирхоф за тока. Приложи закона на Ом наум.
  • Реши получаващата се система от уравнения за всички възлови напрежения.
  • Намери всички токове, които искаш да знаеш, като използваш закона на Ом.

Определи възловата точка на заземяване и възловите напрежения

Вече направихме това по-горе, но да го направим отново. Примерната ни верига има три възела, a, b и c, така че N=3. Възел c има повече връзки, 4, и се свързва директно и с двата източника. Това го прави добър кандидат за ролята на възел на заземяване. Възел c е отбелязан със символа за заземяване, за да знаят всички избора ни за отправен възел.
Също така N1=2 възлови напрежения на схемата, отбелязани в оранжево, означаваме като va и vb.
(Има очевидна възможност тук да опростим двата успоредно свързани резистора, 6Ω с 5Ω. Няма да направим това, понеже искаме да се научим да прилагаме метода на възловите напрежения.)

Възловите напрежения определят посоката на тока

Забележи, че нещо липсва на схемата. Няма отбелязване с оранжево на напрежението между краищата на резистора от 20Ω. Когато трябва да знаем това напрежение, го изразяваме чрез възловите напрежения.
vR=vavb или vR=vbva

Първо важно умение за възловото напрежение – контрол на посоката на тока

Възловите напрежения контролират посоката на тока!
Можем да изразим напрежението между краищата на резистора със съпротивление 20Ω като разликата между двете възлови напрежения. Това може да бъде направено по два начина – като поставим или va, или vb на първа позиция в уравнението за разликата в напрежението. Първият член в уравнението е този, които приемаме за по-положителен от двата. Тъй като използваме конвенцията за знаците на пасивни компоненти, изборът, който правим за полярността на напрежението, определя посоката на стрелката, с която означаваме тока. Стрелката на тока сочи към положителния знак на резисторното напрежение.
Горе вляво va е по-положително напрежение в сравнение с vb. Оранжевата стрелка, която представлява vR, сочи към възел a, а стрелката на тока сочи към резистора от ляво надясно.
Горе вдясно vb сега е определено като по-положителното напрежение в сравнение с va. Оранжевата стрелка, която представлява vR, сочи към възел b и стрелката на тока сочи към положителния край на резистора.
Ще използваме новото си умение незабавно, за да определим посоката на тока в първия член от уравнението на Кирхоф за тока, който следва.

Реши лесните възли

Напрежението va е лесно за намиране. Възел a се свързва с източник на напрежение, който се свързва с възела на заземяване c. Tова го прави лесен възел. Напрежението при възел a е va=140V.

Законът на Кирхоф за тока в оставащия възел

Второ важно умение за възловото напрежение – означения върху схемата

Трудната част от анализа на веригата винаги е правилното определяне на знаците. Драскай върху схемата колкото искаш. Чертаенето на знаците на напреженията и стрелките на тока ти помага да поставиш правилно знаците в уравнението на закона на Кирхоф за тока.
Трето важно умение при използване на метода на възловите напрежения – приложи закона на Ом наум, докато пишеш закона на Кирхоф за тока
Докато пишеш всеки член в уравнението на закона на Кирхоф за тока, използвай закона на Ом наум и веднага напиши тока спрямо възловите напрежения, делени на съпротивлението.
Сега пишем уравнението на закона на Кирхоф за тока за оставащия нерешен възел, b. Възловото напрежение vb е независимата променлива.
Токът (синята стрелка), протичащ във възел b от резистора 20Ω, може да бъде записан като +(140vb)20.
Токът на резисторите от 6Ω и 5Ω веднага влиза в уравнението като vb6 и vb5.
Имаме само един възел, с който да се справим, възел b. Законът на Кирхоф за тока ни казва, че сборът от токовете, протичащи във възел b=0.
+(140vb)20vb6vb5+18=0
Това е доста готино. Без твърде много усилия имаме едно уравнение с едно неизвестно. Когато направихме това в предишна статия, като използвахме само фундаменталните закони, трябваше да работим с 10 уравнения с 10 неизвестни.

Намери възловите напрежения

Системата ни от уравнения е само едно уравнение. Нека го решим, за да намерим възловото напрежение.
+14020vb20vb6vb5=18
vb20vb6vb5=187
(36010601260)vb=25
vb=25(6025)
vb=60V

Намери неизвестните токове, като използваш закона на Ом

Сега имаме и двете възлови напрежения и можем да намерим всички неизвестни токове, като използваме закона на Ом.
i20Ω=(vavb)20=(14060)20=4A
i6Ω=vb6=606=10A
i5Ω=vb5=605=12A
Та-дааа! Готово. Веригата е анализирана.

Стъпки в приложението на метода на възловите напрежения

  • Определи отправен възел (заземителен).
  • Означи възловите напрежения за останалите възли.
  • Реши първо лесните възли, тези с източник на напрежение, свързан с възела на заземяване.
  • Определи аналитично тока във всеки възел чрез закона на Кирхоф за тока. Приложи закона на Ом наум.
  • Реши получаващата се система от уравнения за всички възлови напрежения.
  • Намери всички токове, които искаш да знаеш, като използваш закона на Ом.

Размишления: Магия ли е методът на възловите напрежения?

Методът на възловите напрежения изглежда като много по-малко работа от съставянето и решаването на система от 2E независими уравнения с 2E неизвестни напрежения и токове. Магия ли е методът на възловите напрежения?
Не, тук няма магия. Методът на възловите напрежения просто е умно организиран начин да подходим към същите 2E уравнения. Основните нововъведения са:
  • Убедихме се, че можем да използваме закона на Ом наум. Направихме това, докато пишехме уравненията на закона на Кирхоф за тока. И, докато приключвахме, използвахме закона на Ом отново, за да намерим токовете на елементите, което не изглеждаше като голяма трудност. Да си кажем, че законът на Ом е лесен, прави половината от независимите уравнения да изглеждат сякаш не са голяма работа.
  • Използването на концепцията за възлово напрежение, вместо напрежение на елемента, е брилянтен ход, който поставя уравненията на закона на Кирхоф за напрежението директно на схемата, така че да не трябва да пишем уравненията на закона на Кирхоф за напрежението.
  • Осъзнахме, че няколко възлови напрежения имат тривиални решения, тези, които са свързани към източник на напрежението, чийто извод е заземен. Това събаря едно или две уравнения.
  • Остават ни само няколко уравнения на закона на Кирхоф за тока при нетривиалните възли.

Как методът на възловите напрежения довежда до това уравненията на закона на Кирхоф за напрежението да "изчезнат"?

С метода на възловите напрежения дори не се ангажираме да записваме уравненията на закона на Кирхоф за напрежението. Нека все пак ги запишем и да видим защо.
Веригата ни има три прости затворени контура, в левия, средния и десния прозорци на схемата.
Закон на Кирхоф за напрежението за левия прост затворен контур:
+140(140vb)vb=0
Това уравнение за левия затворен контур наистина илюстрира идеята на възловите напрежения. Изразяваме напрежението между краищата на резистора от 20Ω спрямо възловите напрежения, вместо напрежението на собствения му елемент. С това обозначение уравнението се свежда до 0=0.
Закон на Кирхоф за напрежението за средния прост затворен контур:
+vbvb=0
Закон на Кирхоф за напрежението за десния прост затворен контур:
+vbvb=0
Всички три уравнения за простите затворени контури се свеждат до 0=0 и отпадат от процедурата. Ето това се има предвид в учебниците ти, когато се казват неща от сорта на: "С метода на възловите напрежения уравненията на закона на Кирхоф за напрежението са записани изрично на схемата."

Пример с указания

Реши тази верига, като използваш метода на възловите напрежения.
Ако искаш да работиш върху тази задача самостоятелно, давай! Копирай тази схема и премини през стъпките на метода на възловите напрежения, описани по-горе. Дори ако не възнамеряваш да извършиш изцяло изчисленията, окуражавам те да направиш стъпките до записването на закона на Кирхоф за тока. Това силно ще ти помогне да разбереш метода на възловите напрежения.
Избери отправен възел (възлова точка на заземяване).
Обозначи напреженията в останалите възли.
Реши първо лесните възли.
Запиши закона на Кирхоф за тока за всеки възел. Използвай наум закона на Ом.
Реши получаващата се система уравнения за всички възлови напрежения.
Определи всеки ток, който искаш да знаеш, като използваш закона на Ом.

Уловка – плаващ източник на напрежение

Понякога ще попаднеш на верига, при която източникът на напрежение няма един извод, свързан със заземителния възел. Казваме, че източникът на напрежение е плаващ. Плаващият източник е проблем за метода на възловите напрежения, но не е твърде голямо предизвикателство.
В тази верига батерията V2 е плаваща. Нека използваме метода на възловите напрежения и да видим какво се случва.
  • Отправният възел е бил избран и отбелязан със символа за заземяване.
  • Другите три възела са били наименувани и отбелязани с възлови напрежения, va, vb и и.
  • Първата стъпка от анализа е да намерим лесния възел va. Тъй като този възел е свързан с източник на напрежение, който се свързва със заземителя, веднага знаем, че va=V1. Приключихме с един възел, остават два.
След това нека запишем уравнението на закона на Кирхоф за тока при възел b,
iR2+iR3+iV2=0
(vavb)R2vbR3+iV2?=0
Опа, какво трябва да поставим за тока в плаващата батерия iV2? Определящото уравнение за батерията не говори за тока. Нейното определящо уравнение е v=V2 и в него не участва i член. Батериите не ни казват какъв е техният ток. Това е работа на останалата част на веригата. Така че какво записваме за този член в уравнението за закона на Кирхоф за тока, ако не знаем i в батерията?
В този момент се отделяме от стандартния сценарий за метода на Кирхоф за тока и прибягваме към интелигентността ни. Няма проблем да направим това. Помни, че сценарият на възловите напрежения не е нищо повече от ефикасен начин да създадем и решим едновременни уравнения. Плаващата батерия ни дава малко трудности, но не сме забравили, че идеята е да създадем набор независими уравнения.
Като гледаме веригата, можем да направим две наблюдения:
  • Напрежението при възел c има твърда зависимост с напрежението при възел b. По-точно, vc=vb+V2. Можем да добавим това към системата си уравнения и това компенсира незнаенето на тока в батерията V2.
  • Също виждаме, че токът в батерията V2 е същият като тока в резистор R1.
Можем да изразим тока на батерията в стила на възловото напрежение като V1vcR1.
Още по-добре, може да запишем тока на батерията спрямо vb като V1(vb+V2)R1.
Сега можем да завършим уравнението на закона на Кирхоф за тока при възел b.
(V1vb)R2vbR3+V1(vb+V2)R1=0
Това уравнение е малко по-сложно от обичайно, но пак може да се реши в едно уравнение с едно неизвестно, vb.
След като намерим vb, използваме допълнителното си уравнение, за да получим веднага vc.
vc=vb+V2
Готово! Имаме всички три възлови напрежения. Ако искаме да намерим токовете, продължаваме със законите на Ом, както направихме по-рано.
Плаващият източник на напрежение е любимец за учителите що се отнася до тестовете, за да видят как отговаряш на необичайна конфигурация на веригата. Преминахме през трудността, като бяхме наблюдателни и помнехме, че не е проблем да добавим допълнително уравнение към системата, ако е необходимо.

Супервъзел

Използвахме твърдата зависимост между двата възела на плаващата батерия, за да генерираме член, който да поставим в уравнението на закона на Кирхоф за напрежението плюс допълнително уравнение. Някои учебници наричат това супервъзел. В предишната дискусия можехме да използваме тази дума, но прибегнахме към креативността си, за да решим пъзела.

Обобщение на метода на възловите напрежения

Методът на възловите напрежения е един от два добре подредени метода за решаване на верига. Тази техника е вградена в популярния симулатор на ел. вериги, SPICE. Поредицата от стъпки може да бъде обобщена като:
  • Определи отправен възел (заземителен).
  • Означи възловите напрежения за останалите възли.
  • Реши първо лесните възли, тези с източник на напрежение, свързан с възела на заземяване.
  • Определи аналитично тока във всеки възел чрез закона на Кирхоф за тока. Приложи закона на Ом наум.
  • Реши получаващата се система от уравнения за всички възлови напрежения.
  • Намери всички токове, които искаш да знаеш, като използваш закона на Ом.
Ако веригата включва плаващ източник, добави допълнителни уравнения, за да отчетат иначе липсващите променливи за тока или напрежението.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.