Комплексни числа

Това ще е бърз преговор на комплексните числа. Ако имаш опит с изучаване на комплексни числа в миналото, това ще поразчисти праха от спомените ти и ще помогне да обясним защо използваме комплексни числа в електроинженерството. Ако комплексните числа са новост за теб, силно препоръчвам да изгледаш видеата в Кан Академия, които Сал е направил за комплексни числа, и те са в раздела Алгебра II. Да започваме. Комплексните числа са базирани върху концепцията за имагинерното j, за числото j, в електроинженерството използваме числото j, вместо i. И j^2 е дефинирано като -1. Това е дефиницията на j. И това се нарича имагинерно число. Не ми харесва името "имагинерно", но така го наричаме. Това е много полезна концепция в електроинженерството. С това определение дефинираме комплексно число и обичайната променлива, която често използваме за това, е z, и едно комплексно число има реална част, наричаме я х, и имагинерна част, която ще наречем jy. j е изрично посочено тук. Това е имагинерната част на числото. Това е реалната част на z. Въз основа на това как изглежда това число, това предполага, че може би можем да поставим това на двуизмерна диаграма. Наричаме това комплексна равнина. И комплексната равнина изглежда ето така. Можем да поставим две части – ще имаме реална част ето тук, върху това, което обикновено е оста х. И ще имаме имагинерна част, която е вертикалната ос. Това се нарича комплексна равнина. И ако имам комплексно число z, мога да представя това на тази равнина като премина през х, ето така, премина напред с разстояние х и нагоре с разстояние у. Това ще ми даде имагинерно число и това е z. z е местоположение в това комплексно пространство. И това е едно представяне на комплексно число. Другият често срещан начин да представим комплексно число е като начертаем права от началната точка на координатната система и преминем право през z, ето така. И после имаме някакъв радиус, r, от началната точка на координатната система до разстоянието от z. И то е измерено от някакъв ъгъл, ето така. Този ъгъл ще е тита. В оранжево са r и тита, а в синьо имаме х и у, и това са два различни начина да представим едно и също число z. Тук мога да кажа, че z е равно на r под някакъв ъгъл – това и символът за ъгъл – от тита. Сега мога да дойда тук и да разбера как преобразуваме между двете, как преобразувам от r в у и х и обратно. Едно нещо, което забелязвам, е че използвах проста тригонометрия. Това разстояние тук, ако знам r, да кажем, че знам r – това разстояние тук, х, е равно на косинус от тита по разстоянието r. r по косинус от тита. Мога да кажа, че х е равно на r по косинус от тита. Ако искам да намеря разстоянието у и вече знам r, това тук е разстоянието у. Мога да кажа, че у е равно на r по синус от тита. Това е това разстояние тук. Ако знам r и тита, така намирам х и у. Да направим това на обратно. Да приемем, че знам х и у и искам да знам r и тита. r – това е правоъгълен триъгълник, тук имаме правоъгълен триъгълник, така че мога да използвам Питагоровата теорема. За да преобразувам от х и у в r, използвам Питагоровата теорема – r^2 = x^2 + y^2. И ако искам да намеря тита, използвам друг тригонометричен метод – тангенсът е равен на срещулежащата страна върху прилежащата. Срещулежащата страна върху прилежащата е у върху х. Тангенс от тита е равен на у върху х. Ако направиш това на калкулатора си, ще кажеш, че тита е равна на реципрочния тангенс на у върху х. Това са две преобразувания между два различни вида записване на комплексното число. Искаме да можем да използваме тези преобразувания и искаме да можем да използваме всяко от тези две преобразувания свободно и да преминаваме от едното към другото. Има и трето представяне, което също ще ни е от полза. Сега ще взема този израз х и у тук и ще го поставя обратно в тази форма, в правоъгълния метод за записване на z. Ето как изглежда това – z е равно на – х е r по косинус тита, а у е равно на r… – ще поставя r отпред – e равно на r по синус от тита с j отпред. Мога да запиша + j по синус от тита. Ако погледнеш този израз от близо, разпознаваме това. Разпознаваме това като едната страна на формулата на Ойлер. И другата страна на формулата на Ойлер – мога да презапиша z като r по e^(j по тита). Това се нарича степенен вид на комплексно число. И какво означава това, какво е това? Това означава точно същото като това и това е един от двата начина, по които можем да запишем комплексните числа. Това r по e^(j по тита) е това z тук, това означава, че комплексно число стои тук при радиус r от началната точка на координатната система и под ъгъл тита. Това означава, когато видиш записано e^(j по нещо). Това е просто представяне на комплексно число. И този вид ще е изключително полезен, понеже, ако помниш, когато решавахме тези диференциални уравнения, предпочитахме степенувани решения. И да оградя тези неща. Това са трите начина, по които можем да представим комплексно число, и всички те са равностойни. Ще дойда тук и, за да си припомним, ще запиша – "формула на Ойлер". Оттам идва това. Нека запиша това тук долу. Формулата на Ойлер е e^(j по тита) е равно на косинус тита плюс j по синус от тита. Другият вид има отрицателна степен. e^(-j по тита) е равно на косинус от тита минус j по синус от тита. Това е формулата на Ойлер. И Сал има видеа, в които е показано как се намира това уравнение, и можеш да потърсиш този термин тук в Кан Академия.