Основно съдържание
Физика – 11. клас (България)
Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 4
Урок 5: Измервания на величини в електричеството и магнетизма- Въведение в АС анализ 1
- Въведение в АС анализ 2
- Синус и косинус от окръжности
- Синус от време
- Синус и косинус от въртящ се вектор
- Водеща фазова разлика
- Комплексни числа
- Умножаването по j е въртене
- Комплексно въртене
- Формула на Ойлер
- Импеданс
- Импеданс и честота
- ELI the ICE man
- Импеданс на прости мрежи
- KVL в множеството на честотата
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Комплексни числа
Комплексните числа могат да бъдат представени по три начина на комплексна равнина: декартови координати, радиус и ъгъл и експоненциална форма. Създадено от Уили МакАлистър.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Това ще е бърз преговор
на комплексните числа. Ако имаш опит с изучаване
на комплексни числа в миналото, това ще поразчисти праха от спомените ти и ще помогне да обясним
защо използваме комплексни числа в електроинженерството. Ако комплексните числа
са новост за теб, силно препоръчвам да изгледаш видеата в Кан Академия, които Сал е направил за комплексни числа, и те са в раздела Алгебра II. Да започваме. Комплексните числа са базирани
върху концепцията за имагинерното j,
за числото j, в електроинженерството използваме
числото j, вместо i. И j^2 е дефинирано
като -1. Това е дефиницията
на j. И това се нарича
имагинерно число. Не ми харесва името
"имагинерно", но така го наричаме. Това е много полезна концепция
в електроинженерството. С това определение
дефинираме комплексно число и обичайната променлива,
която често използваме за това, е z, и едно комплексно число
има реална част, наричаме я х, и имагинерна част,
която ще наречем jy. j е изрично посочено тук. Това е имагинерната част
на числото. Това е реалната част на z. Въз основа на това
как изглежда това число, това предполага, че може би
можем да поставим това на двуизмерна диаграма. Наричаме това комплексна равнина. И комплексната равнина
изглежда ето така. Можем да поставим
две части – ще имаме реална част
ето тук, върху това, което обикновено
е оста х. И ще имаме имагинерна част, която е вертикалната ос. Това се нарича
комплексна равнина. И ако имам
комплексно число z, мога да представя това
на тази равнина като премина през х,
ето така, премина напред с разстояние х и нагоре с разстояние у. Това ще ми даде
имагинерно число и това е z. z е местоположение
в това комплексно пространство. И това е едно представяне
на комплексно число. Другият често срещан начин да представим
комплексно число е като начертаем права
от началната точка на координатната система и преминем право
през z, ето така. И после имаме някакъв радиус, r,
от началната точка на координатната система до разстоянието от z. И то е измерено от
някакъв ъгъл, ето така. Този ъгъл ще е тита. В оранжево са r и тита, а в синьо имаме х и у, и това са два различни начина
да представим едно и също число z. Тук мога да кажа, че z е равно на r
под някакъв ъгъл – това и символът за ъгъл –
от тита. Сега мога да дойда тук
и да разбера как преобразуваме
между двете, как преобразувам от r
в у и х и обратно. Едно нещо, което забелязвам,
е че използвах проста тригонометрия. Това разстояние тук,
ако знам r, да кажем, че знам r –
това разстояние тук, х, е равно на косинус от тита по разстоянието r. r по косинус от тита. Мога да кажа, че х е равно на
r по косинус от тита. Ако искам да намеря
разстоянието у и вече знам r, това тук е разстоянието у. Мога да кажа, че у е равно на
r по синус от тита. Това е това разстояние тук. Ако знам r и тита,
така намирам х и у. Да направим това
на обратно. Да приемем, че знам х и у
и искам да знам r и тита. r – това е правоъгълен триъгълник, тук имаме правоъгълен триъгълник, така че мога да използвам
Питагоровата теорема. За да преобразувам от х и у
в r, използвам Питагоровата теорема – r^2 = x^2 + y^2. И ако искам да намеря тита,
използвам друг тригонометричен метод – тангенсът е равен на
срещулежащата страна върху прилежащата. Срещулежащата страна върху прилежащата
е у върху х. Тангенс от тита е равен
на у върху х. Ако направиш това
на калкулатора си, ще кажеш, че тита е равна на реципрочния тангенс
на у върху х. Това са две преобразувания между два различни вида записване
на комплексното число. Искаме да можем да използваме
тези преобразувания и искаме да можем да използваме всяко
от тези две преобразувания свободно и да преминаваме от едното
към другото. Има и трето представяне, което също ще
ни е от полза. Сега ще взема този израз х и у тук и ще го поставя обратно в тази форма, в правоъгълния метод
за записване на z. Ето как изглежда това – z е равно на – х е r по косинус тита,
а у е равно на r… – ще поставя r отпред – e равно на r по синус от тита
с j отпред. Мога да запиша
+ j по синус от тита. Ако погледнеш този израз
от близо, разпознаваме това. Разпознаваме това като едната страна
на формулата на Ойлер. И другата страна
на формулата на Ойлер – мога да презапиша z като
r по e^(j по тита). Това се нарича
степенен вид на комплексно число. И какво означава това,
какво е това? Това означава точно същото
като това и това е един от двата начина, по които можем да запишем
комплексните числа. Това r по e^(j по тита)
е това z тук, това означава, че комплексно число
стои тук при радиус r от началната точка на координатната система
и под ъгъл тита. Това означава, когато видиш записано
e^(j по нещо). Това е просто представяне
на комплексно число. И този вид
ще е изключително полезен, понеже, ако помниш, когато решавахме
тези диференциални уравнения, предпочитахме степенувани решения. И да оградя тези неща. Това са трите начина,
по които можем да представим комплексно число, и всички те са равностойни. Ще дойда тук и, за да си припомним, ще запиша – "формула на Ойлер". Оттам идва това. Нека запиша
това тук долу. Формулата на Ойлер е
e^(j по тита) е равно на косинус тита
плюс j по синус от тита. Другият вид има
отрицателна степен. e^(-j по тита) е равно на
косинус от тита минус j по синус от тита. Това е формулата на Ойлер. И Сал има видеа, в които е показано как се намира това уравнение, и можеш да потърсиш този термин тук
в Кан Академия.