Комплексно въртене

Видяхме въртене чрез умножаване на j по j отново и отново и видяхме, че това е въртене. Сега нека направим това за общата идея за всяко комплексно число. Имам комплексно число, ще го наречем z и ще кажем, че е направено от две части. Реална част, наречена а, и имагинерна част, наречена b. Сега искам да видим какво се случва, ако умножим z по j веднъж. j*z. И това е равно на j*(a + j*b). И нека просто умножим това. Равно е на j*a + j*j*b. И сега a и b промениха местата си. Ще поставим ja от тази страна. И какво имаме тук? j*j е -1, тоест имаме -b + ja. Сега имаме изрази за z и jz Искам да ги поставя на комплексна равнина и да видим как изглеждат. Това е реалната част, това е имагинерната част. И нека първо поставим z, да кажем, че z има голяма реална стойност и това ще е а. И да кажем, че b има по-малка стойност, ще поставим b тук. Това означава, че z е ето тук, на това местоположение в комплексната равнина. Можем да поставим пунктираните прави. Това е z в комплексната равнина. Нека сега поставим jz на същата диаграма. jz има реална компонента от -b, така че това ще е ето тук. Това е -b и има имагинерна компонента от +a. Да завъртим а, а стига чак до тук. И това е местоположението на jz Нека начертая хипотенузата на това. Това е векторът, представящ jz, ето тук. Сега имаме няколко триъгълника на страницата и искам да демонстрирам, че този ъгъл тук е 90 градуса. Един начин да направим това – да видим дали можем да направим това. Да видим, че този ъгъл тук е тита. Това е ъгълът ето тук. Този триъгълник, който скицирахме – просто си представи, че ще завъртим този ъгъл нагоре, докато бедрото а на този триъгълник стои тук, на имагинерната ос. Този триъгълник се върти нагоре, за да стане този триъгълник тук. Тъй като преместихме този триъгълник, знаем, че в този ъгъл тук също е тита. Това е същият триъгълник, просто е завъртян нагоре. И какво означава това за този ъгъл тук. Този ъгъл тук е равен на 90 градуса минус тита. Ако комбинирам този ъгъл тита с този ъгъл тук, какво получавам? Тита плюс 90 градуса минус тита и получаваме 90 градуса. Показахме, че този ъгъл тук е 90 градуса. Това демонстрира, че всяко комплексно число z, ако го умножа по j, това води до положително въртене от 90 градуса. Да направим това въртене отново, но този път, вместо да използваме правоъгълната координатна система, нека използваме степенуваното представяне. В степенуваното обозначение, казваме, че като цяло, z е равно на някакъв радиус по е^(j по тита). Където това е ъгълът тита, а r е дължината на тази хипотенуза тук, за да стигнем до z. Колко е jz в това обозначение тук? И това е равно на j по r по e^(j по тита). Сега ще направя малък трик, при който ще представя j в степенуваното обозначение. Ако оцветя тук, това е j. Векторът j е ето тук, има големина от едно и сочи право нагоре на имагинерната ос. Мога да представя j ето така. Мога да кажа, че j е e^(j по 90 градуса). Това е еквивалентно на това j тук и е умножено по r по e^(j по тита). И последната стъпка е да комбинираме тези две степени тук и ще получим, че jz е равно на r по e на степен j по (тита плюс 90 градуса). В степенувано обозначение получаваме този вектор тук. Изминаваме допълнително 90-градусово въртене и изминаваме същото разстояние както оригинално, r. Сега показахме, че можем да завъртим всяко комплексно число на 90 градуса, ако го умножим по j. Ще приложим този вид трансформация към намирането на зависимости между тока и напрежението в индуктори и кондензатори и ще направим това след няколко видеа.