Формула на Ойлер

В това видео ще говорим за формулата на Ойлер. Едно от нещата, с което искам да започна, е защо говорим за тази странно изглеждаща формула. Какво ѝ е важното? А това е важна формула. Най-важното нещо е числото "е". Обичаме "е". Ще го подчертая два пъти. Причината е, че производната d dt от e^x, е равна на e^x. И d dt от е^ax, където а е произволно число, е равно на а по е^ах. Свойството е, че когато намираш производна на тази функция, излиза същата функция. Или ако вземеш производна на функция, излиза омащабена версия на същата функция. Защо обичаме това? Понеже когато решаваме диференциални уравнения, е^х е решението почти всеки път. Когато решавахме една верига, e^х беше отговорът. Ако си припомниш как решавахме прости вериги с диференциални уравнения – винаги казвахме нещо като: "Ще предположим, че v(t) е някаква константа, по е на степен s по t. Това беше предложено решение. Това вършеше работа всеки път. Има и нещо друго, което обичаме. И това са синусоидите. Или синусите и косинусите. Добре. Обичаме ги. Това ни дава две криви. Защо ги обичаме? Понеже се случват в природата. Ако свирнеш с уста, въздушното налягане изглежда като синусова вълна. Ако звъннеш с камбанка, звукът от камбанката се движи по синусова вълна. Във всеки вид музика, ако погледнеш тоновете в музиката, звукът, който се създава, вълните на налягането изглеждат като синусови вълни. И ел. веригите произвеждат синусови вълни. Анализирахме тази верига в големи подробности. Тази верига беше от типа LC. Погледнахме естественото трептене на тази верига и то беше синусова вълна. Добре. Електричните вериги правят синусови вълни. Всички тези неща правят синусови вълни. Те се случват в природата. Искаме да можем да анализираме неща, които се случват, когато са налични синусови вълни. Имаме две неща, които обичаме, и искаме да свържем тези две неща. Връзката между тях е формулата на Ойлер. Така свързваме тези две отделни идеи. Нека преминем към това. Формулата на Ойлер ни казва, че е^jx е равно на косинус от х плюс j по синус от х. Сал има много хубаво видео, в което доказва, че това е вярно. И прави това, като взима ред на Маклорен на е и косинус и синус, показва, че този израз е верен, като сравнява тези редове. Няма да повтарям това тук, просто ще го приемем за факт. Сега ще разгледаме това уравнение малко повече. Това е изразът, който свързва степенните показатели, които обичаме, със синусите и косинусите, които обичаме. Част от цената за това е, че въвеждаме комплексни числа в света си. Това са две комплексни числа. Добре. Тук комплексните числа навлизат в електроинженерството. Трябва да споменем другия вид на тази формула, който е е на степен, сега поставям знак минус, е на степен минус j по x. И това е равно на косинус от х, минус J по синус от х. Тези два израза заедно са формулите на Ойлер. И ще използваме това, ще можем да вземем косинусите и синусите, които намираме в природата, ще можем да ги направим степенни показатели. После тези степенни показатели влизат в диференциалните уравнения и ни дават решения. Ще се върнем и ще изведем косинусите и синусите. Това е ритъмът на използването на това уравнение за решаване на тези вериги. Една малка точка, която искам да споделя – забелязваш ли, че в тези две уравнения косинусът идва първи? Синусът тук е от имагинерната страна. Косинусът е реалната страна. Това е причината да имаме предпочитание – в бъдеще ще имаме предпочитание, ако говорим за сигнали в реалния свят, към косинусовата функция. Това е понеже в тази формула на Ойлер косинусът идва първи в двата случая. Ще отделя секунда, за да видя, ако имахме сигнал, изразен в тези степенни показатели, как се връщаме към члена косинус или синус? Как преобръщаме тези уравнения, за да можем да намерим косинус и синус? Това е проста алгебра. Добре е да се види. Ако искам да изразя косинуса, ако искам да изолирам члена косинус, ще се отърва от тези тук. За да изолирам члена косинус, ще събера тези две уравнения и заради тези плюс и минус унищожавам този втори член тук. Това търся. Ако събера, ще получа е^jx плюс e^-jx е равно на, косинусът се удвоява, две по косинус от х. Двата члена със синус се унищожават. Нали? После мога да запиша... ще го запиша тук. Мога да запиша косинус от х е равно на е^+jx плюс e^-jx върху 2. Нали? Това е изразът. Това е изразът за косинус спрямо комплексни степенни показатели. Нека се върнем и да видим дали можем да получим синус. За синуса ще извадя. По този начин членовете с косинус се унищожават. И после получавам е^jx... изваждам, нали така? Минус е^-jx. И това е равно... членовете с косинус се унищожават. И получавам два пъти j по синус от х. Добре, това означава, че мога да запиша синус от х е равно на е^+jx минус е^-jx върху 2j. И това е много лесно – че членът j е тук долу. Това понякога е лесно да се забрави. Затова ги оградих, понеже това е важно. Ето ги двата израза. Това са двата израза, когато имаш комплексни степенни показатели и искаш да изведеш косинус – така го правиш. Ако искаш да изведеш синус, го правиш така. Нали? Можеш да запомниш тези, или – както е по-лесно за мен, просто да запомниш формулата на Ойлер, това е доста лесно и бързо извеждане. Другото нещо, което ще оградя, е това тук. Имаме формулата на Ойлер и косинус и синус, изведени от формулата на Ойлер.