If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:8:42

Видео транскрипция

В това видео ще говорим за формулата на Ойлер. И едно от нещата, с които искам да започна, е защо говорим за тази странно изглеждаща формула. Какво ѝ е важното? И е важно. И голямото важно нещо е "е". Обичаме "е". Ще го подчертая два пъти. Причината е понеже когато вземем прозводната на е d dt от е ^x е равно на e^x. И d dt от е^ax, където а е каквото и да е, е равно на ае^ах. И свойството е че когато вземеш производна на една функция, излиза същата функция. Или ако вземеш производна на функция, излиза омащабена версия на същата функция. И защо обичаме това? Понеже когато правим диференциални уравнения е^х е решението. Почти всеки път. Когато направихме една верига, e^х беше отговорът. Ако си припомниш от когато решавахме прости вериги с диференциални уравнения, винаги казвахме нещо като: "Ще предположим, че v(t) е някаква константа по е на степен st. Това беше предложено решение. Това вършеше работа всеки път. Има и нещо друго, което обичаме. И това са синусоидите. Или синусите и косинусите. Добре. Обичаме ги. И това ни дава две линии. Защо ги обичаме? Понеже се случват в природата. Ако свирнеш, въздушното налягане изглежда като синусова вълна. Ако звъннеш с камбанка, камбанката се движи по синусова вълна. Във всеки вид музика, ако погледнеш нотите в музиката, звукът, който правят, вълните на налягането изглеждат като синусови вълни. И ел. веригите произвеждат синусови вълни. Анализирахме тази верига в големи подробности. Тя беше LC ел. верига. Погледнахме естествения отговор на това и той беше синусова вълна. Добре. Електричните вериги правят синусови вълни. Всички тези неща правят синусови вълни. Те се случват в природата. И искаме да можем да анализираме неща, които се случват, когато са налични синусови вълни. Имаме две неща, които обичаме и искаме да свържем с тези две неща. И тези ще са свързани чрез това. Формулата на Ойлер. Така свързваме тези две отделни идеи. Нека преминем към това. Формулата на Ойлер ни казва, че е^jx е равно на косинус от х плюс j по синус от х. Сал има много хубаво видео, в които доказва, че това е вярно. И прави това, като взима последователности на МакЛорин на е и косинус и синус, показва, че този израз е верен, като сравнява тези последователности. Няма да повтарям това тук, просто ще го заявим като факт. И сега ще разгледаме това уравнение малко повече. Това е изразът, който свързва степенните показатели, които обичаме, към синусите и косинусите, които обичаме. И част от цената за това е, че въвеждаме комплексни числа в света си. Ето две комплексни числа. Добре. Тук комплексните числа навлизат в електроинженерството. Трябва да споменем другия вид на тази формула, който е е на степен, поставям знак минус тук, е^-jx. И това е равно а косинус от х минус j синус от х. Тези два израза заедно са формулите на Ойлер. И ще използваме това, ще можем да вземем косинусите и синусите, които намираме в природата, ще можем да ги направим степенни показатели. И после тези степенни показатели влизат в диференциалните уравнения и ни дават решения. И ще се върнем, и ще изведем косинусите и синусите. Това е ритъмът на използването на това уравнение за решаване на тези вериги. Една малка точка, която искам да споделя, забелязваш ли, че в тези две уравнения синусът идва първи? И синусът тук е от имагинерната страна. Косинусът е реалната страна. Това е причината да имаме предпочитание – в бъдеще ще имаме предпочитание, ако говорим за сигнали в реалния свят, към косинусовата функция. Това е понеже в тази формула на Ойлер косинусът идва първи в двата случая. Искам да отделя секунда и да видя ако имахме сигнал, изразен в тези степенни показатели, как се връщаме към члена косинус или синус? Как преобръщаме тези уравнения, за да можем да намерим косинус и синус? Това е проста алгебра. Добре е да се види. Ако исках да изолирам члена косинус, ако искам да изолирам члена косинус, нека се отърва от тези тук. За да изолирам члена косинус ще събера тези две уравнения и тези плюс и минус ще съкратят този втори член тук. Това търся. Ако събера ще получа е^jx плюс e^-jx е равно на, косинусът се удвоява, две косинус х. И двата члена синус се съкращават. Нали? После мога да запиша... ще го запиша тук. Мога да запиша косинус от х е равно а е^+jx плюс e^-jx върху 2. Нали? Това е изразът. Това е изразът за косинус спрямо комплексни степенни показатели. Нека се върнем и да видим дали можем да получим синус. За синуса ще извадя. И това ми дава... това ще накара членовете косинус да отпаднат. И после получавам е^jx... изваждам, нали ака? Минус е^-jx. И това е равно... членовете косинус се съкращават. И получавам два пъти j по синус от х. Добре, това означава, че мога да запиша синус от х е равно на е^+jx минус е^-jx върху 2j. И това е много лесно – че членът j е тук долу. Това понякога е лесно да се забрави. Затова ги оградих, понеже това е важно. Ето ги двата израза. Това са двата израза за ако имаш комплексни степенни покатели и искаш да изведеш косинус, така го правиш, и ако искаш да изведеш синус го правиш така. Нали? И можеш или да запомниш тези, или, вероятно по-лесно за мен, ако просто запомниш формулата на Ойлер, това е доста лесно и бързо извеждане. Другото нещо, което оградихме, е това тук. Имаме формулата на Ойлер. И косинус и синус, изведени от формулата на Ойлер.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".