Умножаването по j е въртене

Добре, има още една характеристика на комплексните числа, която искам да споделя с теб, и ще направим това тук долу. Определението ни на j е j^2 е равно на -1 и сега искам да направя поредица от умножения по j. Това е много важно свойство на тази имагинерна единица. Ще запишем степени на j и ще ги поставя на диаграма, докато правим това – ще ги поставя на имагинерната, или комплексната, равнина. Това е реалната ос, а това е имагинерната ос. Ще взема степени на j, първо j^0 и всичко на степен 0 е едно, така че j^0 е 1. И ако поставим това на реалната ос, това е 1, и няма имагинерна част. Това е точно на реалната ос. Да вземем j^1. Това е j, умножено веднъж по себе си. Това е равно на j. Ако поставя това число на диаграмата, това е тук горе, това е на имагинерната ос, ето тук, това е j. И това няма реална част, а е изцяло имагинерно. Да продължим. Да вземем j^2 и на колко е равно това? Записах го тук горе. j^2 е равно на -1. j^2 е равно на -1. Къде е това на комплексната равнина? Това е ето тук, при -1 на реалната ос, няма имагинерна част. Да направим следващото. Да направим j^3. На колко е равно това? j^3 е равно на j^2 по j и имаме тези двете тук, j^2 е -1, а j^1 е j, тоест това е равно на -j и къде поставяме това на диаграмата? Поставяме това долу на имагинерната ос в комплексната равнина, ето тук, -j. Сега имаме четири отговора. Да направим още един-два. На колко е равно j^4? Равно е на j^2 по j^2. Да видим. Това е -1 по -1 и на колко е равно това? Това е равно на едно. Да поставим това на диаграмата. Вече сме го поставили, това е този отговор тук. Вече имаме това, да направим още един пример. j^5, на колко е равно това? Това е равно на j^4 по j и j^4 е ето тук, това е 1– по j е равно на j – да поставим това тук. Вече сме го поставили, вече е тук. Можеш да видиш, че тук има модел, 1, j, - 1, - j. 1, j, -1 и -j, продължава да се повтаря. Ето какво му е интересното на това. Ако начертаем това като вектори, ако начертая тези имагинерни числа като вектори, когато умножих това по j, когато умножих 1 по j, това се завъртя на 90 градуса и това беше първата стъпка тук. Когато умножих 1 по j, получих j. Когато стигнахме до j^2, отидохме до -1. Когато отново умножих по j, това накара този вектор да слезе тук долу, ето така, и това бяха още 90 градуса и ако взема това отново, следващият път отиде насам, а последният път отиде насам. Това е свойството на j, това е ключовото свойство на имагинерната единица, природата на умножаването по имагинерната единица е това 90-градусово въртене. Това е идеята за число, което кара други числа да се въртят, и тази характеристика на j го прави супер важно и това е причината да използваме имагинерни числа в електроинженерството. Ключовата идея тук е, че j се върти. Това е идеята. Това ни харесва за j. Последното нещо, което искам да спомена, са отрицателните степени на j. Какво се случва, ако имаме j^-1? Да открием какво означава това. Това, разбира се, е 1/j и ако умножа това по j/j и всяко нещо върху себе си е едно, така че не съм променил стойността на това, и това е равно на – отгоре имаме j, върху j*j, или j^2 и на колко е равно j^2? Записахме го тук долу, j^2 е -1, тоест това е равно на j/(-1), или е равно на -j. Когато видим j в дроб, j^(-1), това въвежда знак "-" и имаме j отгоре в дробта. j^(-1) е равно на -j и понякога ще използваме това, за да ни помогне в изчисленията. Но това беше много бърз преговор на комплексните числа и ако нещо от това беше ново за теб, окуражавам те да се върнеш и да изгледаш видеата на Сал за комплексните числа и ако това е нещо, което познаваш от преди, надявам се, че поопресних знанията ти и сме готови да използваме тези числа.