Синус и косинус от окръжности

Сега ще изчистя екрана тук и ще говорим за формата на функцията синус. Да направим това. Това е диаграма на функцията синус, при която ъгълът, тита – това в тази диаграма е оста тита – където тита е била поставена на диаграмата в права линия, вместо да е "увита" около тази окръжност. Ако начертаем права тук – да направим тази окръжност радиус от едно. Ако начертая това тук, ако това е на единична окръжност, определението на синус от тита – това тук ще е тита – е противоположната страна върху хипотенузата. Това е противоположната страна а това разстояние, противоположното бедро на този триъгълник, е тази стойност тук. Синус от тита всъщност е равен на у върху хипотенузата и хипотенузата във всички случаи около окръжността е едно. Ако поставя това на крива, това е ъгъл и, по същество, просто идвам тук и го поставям ето така. И когато тита се върти около окръжността, ще поставя различните стойности на у. Ако дойде насам, надолу, ето така, можеш да видиш, че поставяме това тук ето така. Когато ъгълът се върне обратно до нула, разбира се, функцията синус се връща до нула и това се повтаря, когато векторът ни се върти на обратно. Синусът на 2 пи е 0, точно както синус от нула. На всеки две пи, ако изляза от екрана, на всеки 2 пи се връща и стига до нула. Искам да направя същото нещо, което направихме с функцията синус, с функцията косинус – да поставим проекцията на тази стойност върху това време, кривата на косинуса тук долу. Това има крива на косинуса, като времето слиза надолу по страницата. И определението на косинус беше срещулежащата страна върху хипотенузата. Хипотенузата в чертежа ни е едно. Косинус от тита е равно на прилежащата страна, която е х, стойността на х, делена на хипотенузата, която е едно. Тоест в тази диаграма косинус тита всъщност е стойността х, което е това х тук. Нека разчистя това за малко. И ще започнем от началото. Да започнем с радиус, който сочи право настрани. И знаем, че косинус от тита, когато тита е нула, е 1. Ако спусна това надолу, ако проектирам това надолу към ъгъла нула, това е тази точка тук на кривата. И докато се въртим напред, преминаваме към по-висок ъгъл, тази проекция се мести до тук на кривата. Когато стрелката е право нагоре сме в тази точка тук, връщаме се обратно на оста. Ако продължим напред, това се проектира тук долу. Движим този вектор на радиуса в кръг, ето така. И това ще е при същата точка като преди, като тази по-горе, но ще е на тази част от кривата тук. И когато отново се върнем до нула, проекцията е до тази точка тук. Това е начин да визуализираме кривата на косинус, генерирана от вектор, който се върти по тази окръжност. Косинусът излиза отдолу, понеже е проекцията на оста х, а когато направихме това със синус, това беше проекцията на оста у, създаде синусова вълна, когато преминахме насам. Предпочитам да визуализирам това, понеже този въртящ се вектор е много проста и мощна идея и можем да видим как генерира – това е начин да генерираме синусови и косинусови вълни. И можеш да видиш, че те излизат при различни фази. Синусът започва при нула, а косинусът започва при едно. И като го начертахме така, можеш да видиш защо се случва. Тази зависимост между окръжности и въртящи се вектори и синуси и косинуси е много могъща идея. Ще имаме полза от това.