Начало и край на полета при различни височини

Нека направим малко по-трудна задача за движението на изстреляно тяло в двумерното пространство. В тази ситуация ще изстрелям едно тяло от платформа. И после то ще се приземи на друга платформа. И ще изстрелям тялото под ъгъл. Нека нарисувам това малко по-добре. Ще изстрелям тялото под ъгъл от – нека не използвам толкова лесно число. Да кажем, че е ъгъл от 53 градуса. Изстреляно е от оръдие. Нека поясня. Изстреляно е от – нека го направя така, за да е 100% ясно. Този ъгъл тук е 53 градуса. И ще бъде изстреляно от оръдие със скорост от 90 метра в секунда. И за да си дадем сметка за височините, или от колко високо е било изстреляно – от оръдието тук... Тази височина тук, да кажем, че тя е 25 метра. И да кажем, че тази височина тук е 9 метра. Изстрелваме това от височина 25 метра. Знам, че в последното видео, въпреки че нарисувах оръдието така, приехме, че беше изстреляно от надморска височина 0 и се приземи на надморска височина 0. Тук приемаме, че бива изстреляно от надморска височина 25 метра, понеже това е, когато напуска оръдието. И ще започне да намаля скоростта си, поне във вертикална посока, още след като излезе от оръдието. И после приемаме, че няма да се приземи обратно на същата надморска височина. Ще се приземи на различна надморска височина. Как да помислим върху тази задача? Първото нещо, което винаги искаш да направиш, е да разделиш вектора на скоростта на хоризонтална и вертикална компонента. Използваш вертикалната компонента, за да намериш колко време ще остане във въздуха. И после използваш хоризонталната компонента, за да намериш, като знаеш колко време е във въздуха, колко далеч е отишло. Отново ще приемем, че съпротивлението на въздуха е незначително. Въз основа на това, което направихме в последното видео – ще преминем през всички стъпки и в това видео. Ако начертаем нашия вектор, дължината тук ще е 90. Това е векторът на скоростта. Ъгълът тук, между оста х и нашия вектор, е 53 градуса. Нека начертая хоризонталната компонента. Хоризонталната компонента ще изглежда ето така. И вертикалната компонента – ще го направя в оранжево. Вертикалната компонента ще изглежда – това не е оранжево. Вертикалната компонента ще изглежда ето така. И вертикалната компонента на вектора – каква ще е дължината на тази страна тук? Това е срещуположен катет. Знаем от основите на тригонометрията, че синус от ъгъл е срещулежащият катет върху хипотенузата. Знаем, че синус от 53 градуса е равен на срещулежащия катет – е равен на вертикалната скорост. И можем да запишем, че е големината на вертикалната скорост. Пишем това с индекс у, понеже е в посока у. Това е вертикалната посока, върху дължината на хипотенузата, върху големината на оригиналния ни вектор. Или можем да получим, че тази страна ето тук, ако умножим двете страни по 90, получаваме, че големината на тази страна ще е равна на 90 по синус от 53 градуса. Ако искаме да направим хоризонталната компонента, хоризонталната страна е прилежаща на този ъгъл. Косинусът е какво? Косинусът е прилежащият катет към хипотенузата. Хоризонталната компонента на скоростта ни, ще кажа в посока х, върху хипотенузата – върху 90, е равен на косинус от 53 градуса. Косинус е прилежащ катет върху хипотенуза. Прилежащ, това е неговата дължина, върху 90. Умножаваме двете страни по 90. Получаваш, че хоризонталната компонента е равна на 90 по по косинус от 53 градуса. Как да намерим колко дълго това нещо остава във въздуха? И ще използваме вертикалната компонента за това. И особено след като си имаме работа с различни височини, не можем да използваме по-основна логика, която казва, че с каквато скорост започваме, това ще е същата скорост, но в противоположна посока. Или същата големина и скорост, но в противоположна посока. Понеже не отиваме до същата височина. Но можем да използваме формулата, която намерихме в предишното видео. Че преместването – нека копирам и поставя това малко по-надолу, за да можем да я използваме. Ще го поставя ето тук. Можем да използваме това. Знаем, че преместването е равно на началната скорост – и си имаме работа с вертикалната посока – по промяната във времето, плюс ускорението по промяната във времето на квадрат, делено на 2. Как да използваме това, за да намерим колко дълго сме били във въздуха? Какво е преместването? Ако започваме от 25 метра височина и отиваме до 9 метра височина... Докато това нещо пътува, то ще бъде преместено 16 метра надолу. Или друг начин да мислим за това, е нашето преместване във вертикалната посока ще е равно на -16 метра. Нека запиша това малко по-голямо. -16 метра. Понеже 25 минус 9 е 16. И можем да поставим това във формулата, която извлякохме в предишното видео. Получаваме -16 – няма да пиша мерните единици, за да не заемаме твърде много място, така че поне това изглежда просто – е равно на началната скорост... Тук си имаме работа само с вертикалното измерение. Имаме си работа само с вертикалното. И, помни, отрицателно е, понеже преместването ще е надолу. Губим височина. Вертикалната ни скорост – вече намерихме това – е 90 по синус от 53 градуса. Нека направя това в същия цвят. Първия път, когато правим нов вид задача, е добре да знаем – тоест 90 по синус от 53 градуса, по промяната ни във времето, е равно на ускорението – поради силата на гравитацията за обект в свободно падане ще е -9,8 метра в секунда на квадрат. Но делим това на 2. Ще имаме -4,9 метра в секунда на квадрат по делта t на квадрат. По промяната във времето на квадрат. Как решаваме нещо такова? Не можеш просто да изнесеш t и да го решиш. Но може да осъзнаеш, че това тук е квадратно уравнение. И начинът, по който решаваш квадратни уравнения, е да прехвърлиш всичко от едната страна на това уравнение. После или го разлагаш... Но в тази ситуация е по-вероятно да използваме квадратната формула, която доказахме в други видеа и се надявам, че ти показах нейната логика, за да намерим случаите, при които височината, при които преместването във вертикална посока е -16 метра. И ще получиш две решения. Едно от решенията ще е отрицателна промяна във времето. Ще е все едно някъде в миналото също сме били на -16 метра. Това няма смисъл за тази задача. Така че искаме да вземем положителната стойност. Нека поставим всичко това от едната страна на уравнението. Нека добавим 16 към двете страни. Вляво просто получаваш 0. 0 е равно на – и ще го запиша по традиционния начин, по който сме свикнали да го виждаме. Ще запиша първо члена от най-висока степен. -4,9 по делта t на квадрат. И после имаме плюс 90 по синус от 53 градуса по делта t, и после плюс 16. Ще направя това в жълто. Всичко това е равно на 0. И това, отново, е просто квадратно уравнение. Можем да намерим корените му. И корените ще са по отношение на делта t. Можем да намерим делта t, като използваме квадратната формула. Получаваме делта t – и ако това е много непознато, прегледай видеата в Кан Академия от плейлистата по алгебра за квадратната формула. И ако не знаеш откъде е дошло това, също и го доказваме. Това е равно на -b – b e този член тук, коефициентът пред делта t. Това ще е -90 по синус от 53 градуса. Ще запиша квадратната формула тук горе, в случай, че не я помниш изцяло. И ако опитвам да намеря ах^2 + bx + с = 0, корените тук ще са -b +/- корен квадратен от (b^2 - 4ac), всичко това върху 2 по а. Това ще са стойностите на х, които удовлетворят уравнението тук горе. Това правя ето тук. Това е стойността b. -b +/- ... и се оказва, че ни интересува само плюса, понеже това ще ни даде положителната стойност. Но просто ще го запиша тук. +/- корен квадратен от b^2... Това количество на квадрат. Тоест това е 90 по синус от 53 градуса на квадрат, минус 4 – ще ни свърши мястото. Минус 4 по а, което е -4,9. Нека запиша -4,9 – по с. с тук е 16, по 16. Нека поставя този корен чак тук. Всичко това върху 2а. а е -4,9. 2 по а е -9,8. Сега можем да извадим калкулатора, за да намерим промяната във времето. И ще се фокусирам върху положителния вариант. Ще оставя на теб да намериш отрицателния вариант и да видиш, че ще ти даде отрицателна стойност за промяната във времето. И това няма логика, така че ни интересува само положителната промяна във времето, при която получаваме преместване от -16 метра. Нека извадим калкулатора. Получаваме – искам да направя това внимателно. Имаме -90 синус от 53 градуса плюс... Решавам версията с плюс, понеже това ще ни даде положителната стойност – плюс корен квадратен от – и ще направя това в скоби. 90 по синус от 53 градуса на квадрат. Това тук е тази част. Тези два отрицателни знака се съкращават. Мога да кажа, че това е + 4 по (+4,9). Тоест плюс 4 по 4,9 по 16. И после това затваря знака за корен квадратен. И това ще ми даде числителя тук горе. Това ми дава числителя. И после искам да разделя това на – направих ли това -90? О, осъзнах, че направих грешка. Казах, че положителният вариант ще ти даде положителното време. Но сега осъзнавам, че това е грешно. Понеже когато взех положителния вариант, когато поставих плюс тук горе, получих +2,14 за числителя. Но после деля на -9,8. И ще получим отрицателна стойност. Това няма да е времето, което ни интересува. Интересува ни времето, при което това е отрицателна стойност. Нека въведа отново това. Нека реша с отрицателната стойност. Нека се върна малко назад. И после да заменя това със знака минус. Ще разгледам отрицателната стойност, понеже искам положителното време. И сега числителят ми е отрицателна стойност. Ето това всъщност ни интересува. Интересува ни числителят да е отрицателна стойност. Делиш на -9,8 и получаваш 14,8 – ще закръгля – 14,89 секунди. Делта t, положителният вариант, е равен на 14,89 секунди. Началният ми коментар за използването на положителния вариант беше грешен, понеже имаме този знаменател, който е отрицателен. Затова искаш числителят да е отрицателен. И само когато числителят е отрицателен, целият този израз ще е положителен. И получихме това положително време от 14,89 секунди. Ще приключим тук. И в следващата част от видеото – всъщност може направо да го реша, вместо да правя ново видео. Въпреки че това става дълго. Времето, през което сме във въздуха, е 14,89 секунди. И ако те попитам за хоризонталното преместване, то ще е количеството време, през което сме във въздуха, по постоянната ти хоризонтална скорост. И вече намерихме постоянната хоризонтална скорост. Ако искаш да намериш колко надалеч по оста х биваме преместени, просто вземи това време по – това просто означава предишния ни отговор – по тази стойност тук, по 90 по косинус от 53 градуса. И това ни дава 806 метра. Това преместване тук е 806 метра.