If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:10:41

Оптимален ъгъл за тяло, изстреляно под ъгъл. Четвърта част, намиране на оптималния ъгъл и разстояние чрез малко математически анализ

Движение на тяло, хвърлено под ъгъл

Видео транскрипция

Сега, когато имаме разстоянието изрично като функция на ъгъла, под който изстрелваме обекта, нека използваме малко висша математика, за да намерим оптималния ъгъл – ъгълът, който ще оптимизира разстоянието ни. И след като ни интересуват само ъгли от 0 до 90 градуса, нека се ограничим. Ще оптимизираме нещата за ъгли между 0 градуса... ъгли между 0 градуса... Тоест тита ще е по-голяма или равна на 0 и по-малка или равна на 90. И за да схванем идеята за това, което правим с висшата математика, спомни си, че когато взимаш производна, намираш наклона на една права, и по-точно: моментния наклон на правата. намираш наклона на една права, моментният наклон на правата. И ако трябва да направиш графика на това – окуражавам те Ще изглежда ето така, където това е разстоянието ще изглежда нещо подобно за съответния интервал. Ще изглежда като това, където това е разстоянието като функция на тита и това ще е оста тита. И ни интересуват ъгли между 0 и 90 градуса. И ако направиш графика на това, това е 0 градуса, може би това е 90 градуса... Графиката на тази функция ще изглежда ето така. Ще изглежда подобно на това. И искаме да намерим ъгъла – тук има някакъв ъгъл, който ни дава оптималното разстояние. Това е оптималното разстояние. Искаме да намерим това. И когато разгледаш графиката – и можеш да направиш това с графичен калкулатор, ако искаш – какво се случва с моментния наклон при това оптимално разстояние? Той е прав. Наклонът тук е 0. Трябва да вземем производната на тази функция и после да намерим при какъв ъгъл производната, или моментният наклон на тази функция, е равно на 0. И после сме готови, ще знаем този мистериозен ъгъл, този оптимален ъгъл, при който да изстреляме обекта. Нека направим производната. Просто ще използваме правилата за производна. Производната на – ще го нарека d' (d прим), или можем да кажем, че производната на разстоянието по отношение на тита е равна – приемаме, че s и g са константи, така че не трябва да се тревожим за тях сега. И можем да използваме правилото за диференциране на произведението, след като приемаме, че са константи. При правилото за произведението, взимаме производната на първата функция за да вземем производната на тази част по отношение на тита. При правилото за произведението, взимаме производната на първата функция по втората функция. Производната на косинус от тита е минус синус от тита. И ще умножим това по втората функция. Това е по синус тита. И ще добавим първата функция, която е косинус от тита по производната на втората функция. Производната на синус от тита е косинус от тита. Знам, че е малко объркващо. Просто взехме производната на първото по второто. И после взехме производната на второто по първото. Нека направя това още по-ясно. Взехме производната на това, така че това е производната по отношение на тита. И после взехме производната на това тук по отношение на тита. Взехме производната на косинуса и го умножихме по синуса. Тук взехме производната на синус и го умножихме по косинус. Просто правилото за диференциране на произведението. Какво ни дава това? Можем малко да опростим това. Можем да запишем, че производната d' е равна на – можем да запазим тази константа тук – 2s^2 върху g – по – минус синус от тита по синус от тита, това е просто минус синус на квадрат от тита. И после косинус от тита по косинус от тита, това е просто плюс косинус на квадрат тита. Казахме, че искаме да намерим точката, ъгълът, при който производната, или моментният наклон, е 0. Да поставим това да е равно на 0. Просто трябва да намерим тита. Първото нещо, което правя, за да намеря тита, е да разделя двете страни на 2s^2 върху g. Ако разделиш лявата страна на това, това се съкращава с 2s^2 върху g. И ако разделиш 0 на това, като приемем, че това не е 0, както и не трябва да е, все пак получаваш 0. Това уравнение се опростява до – и ще го запиша в синьо – минус синус квадрат от тита плюс косинус квадрат от тита е равно на 0. И ако добавим синус квадрат от тита към двете страни на уравнението – нека добавим синус квадрат от тита към двете страни. И ни остава – тези се изключват. Косинус квадрат от тита е равно на синус на квадрат от тита. Сега и двете ще са положителни за интервала, така че просто ще вземем положителния корен квадратен от двете страни на това уравнение. Нека направим това. Взимаш корен квадратен от двете страни на това уравнение. Можеш да го направиш така. Всъщност по-интересен начин да направим това – вместо по този начин – е да разделим двете страни на това уравнение на косинус квадрат от тита, като приемем, че това не е равно на 0 за този интервал. Косинус на квадрат от тита. Можеш да го направиш с положителния квадратен корен или просто с квадратен корен, и двете ще свършат работа. Но това е интересно, понеже лявата страна се съкращава до 1 и 1 ще е равно на – колко е синус на квадрат върху косинус на квадрат от тита? Това е същото нещо като синус от тита върху косинус от тита на квадрат. Имаш квадрат, разделен на друг квадрат. Това е същото като цялото това нещо на квадрат. А какво е синус от тита, делено на косинус от тита? Това е просто тангенс от тита. Имаме 1 е равно на тангенс на квадрат от тита. Или можем да вземем положителния квадратен корен на двете страни на това уравнение. Тангенсът е положителен за интервала от 0 до 90 градуса, така че това е интересно. Ако намериш положителния корен квадратен от двете страни, получаваш, че положителен корен квадратен от 1 е 1. 1 е равно на тангенс от тита. И когато вземеш обратния тангенс на двете страни, или арктангенс от двете страни, получаваш, че арктангенс от 1 е равно на тита. И това е засукан начин да кажем, че тита е ъгълът, при който, ако вземеш тангенса му, получаваш 1. И можеш да използваш калкулатор, за да решиш това, или може просто да помниш това. Това тита, арктангенс от 1 е 45 градуса. Или ако работиш в радиани, това е π/4 радиана. Всяко от тези ще ти свърши работа. Оптималният ъгъл, когато изстреляме това нещо, ще е 45 градуса. Какво ще е оптималното разстояние, когато го изстреляме под 45 градуса? Можем да се върнем към първоначалната формула. Връщаме се към първоначалната формула, която извлякохме. Ако го изстрелваме под 45 градуса, колко е синус от 45 градуса? Синус от 45 градуса е равен на корен квадратен от 2 върху 2. Можеш да използваш калкулатор за това или може би го знаеш от единичната окръжност. Косинус от 45 градуса е също квадратен корен от 2 върху 2. И ако просто намериш корен квадратен на този етап от уравнението, щеше да получиш, че косинус от тита трябва да е равно на синус от тита за интервала и това се случва само при 45 градуса. Но като знаем това, можем да поставим това обратно в началния израз, ето тук, в оригиналната функция. Оптималното разстояние, което ще изминем, разстоянието като функция – разстоянието, което ще изминем, при 45 градуса ще е равно на 2s^2 върху g по косинус от тита, което е корен квадратен от 2 върху 2. Косинус от 45 е корен квадратен от 2 върху 2, по синус от тита, което е корен квадратен от 2 върху 2. Колко е корен квадратен от 2 по корен квадратен от 2? Това е просто 2. Нека опростя това. Корен квадратен от 2 по корен квадратен от 2, това е 2. Това 2 се съкращава с това 2. И после това 2 се съкращава с това 2. Оптималното разстояние, което ще изминеш при 45 градуса, всичко, което ти остава, е s^2 върху g. Като приемем, че няма съпротивление на въздуха – идеалните обстоятелства. Без значение на коя планета си, колко бързо го правиш, най-добрият ъгъл винаги е 45 градуса, като приемем, че няма въздушно съпротивление. Ако го направиш под най-добрия ъгъл, ще изминеш s^2 върху g. Да се върнем към първоначалната задача, ако s е 10 метра в секунда... Да кажем, че s е 10 метра в секунда. И да кажем, че си имаме работа със случай, при който гравитацията е равна на 10 метра в секунда на квадрат, тогава според това, което намерихме, оптималното разстояние ще е s^2 – тоест ще е 100 – делено на гравитацията. Това ще е 10. И ако повдигнеш метри в секунда на квадрат, ще получиш метри на квадрат в секунда на квадрат, делено на ускорението на гравитацията, метри в секунда на квадрат. Секунди на квадрат се съкращават. Имаш метри на квадрат, делено на метри. Оптималното ти разстояние ще е 10 метра. Доста хубаво.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".