If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:12:54

Изобразяване на вектор в две измерения (направления)

Движение на тяло, хвърлено под ъгъл

Видео транскрипция

Всички задачи, с които сме работили дотук, са се случвали в едно измерение. Можеш да отидеш напред или назад. Можеш да отидеш напред или назад. Или надясно или наляво. Или нагоре или надолу. В това видео искам да започна да говоря какво се случва, когато увеличим това до две измерения, или можем дори да увеличим това, което правим в това видео, до три или четири, до произволен брой измерения. Въпреки че ако си имаш работа с класическа механика, обикновено не трябва да използваш повече от три измерения. Ако ще работиш с повече от едно измерение, особено в две измерения, ще работим с вектори в двумерно пространство. Искам да се уверя чрез това видео, че разбираме поне основите на двумерните вектори. Помни, един вектор е нещо, което има и големина, и посока. Първото нещо, което искам да направя, е да ти дам визуално разбиране за това как векторите в две измерения ще се събират. Да кажем, че имам вектор ето тук. Това е вектор а. Отново, неговата големина е определена от дължината на тази стрелка. А посоката му е определена от посоката на стрелката. Тоест се движи в тази посока. Да кажем, че имам друг вектор. Нека го нарека вектор b. Нека го нарека вектор b. Изглежда ето така. В това видео искам да помисля какво се случва, когато събера вектор а с вектор b. Има няколко неща, за които да помислим, когато визуално изобразим векторите. Важното нещо е, например, за вектор a, дължината да е правилна и посоката да е правилна. Няма значение къде го рисуваш. Това може да е вектор a. Това също може да е вектор a. Забележи, има същата дължина и има същата посока. Това също е вектор a. Мога да начертая вектор a тук горе – няма значение. Мога да начертая вектор a тук горе. Мога да начертая вектор b. Мога да начертая вектор b тук. Все още е вектор b. Все още има същата големина и посока. Забележи, не казваме, че опашката му трябва да започне от същото място, от което започва опашката на вектор a. Мога да начертая вектор b тук. Мога винаги да имам същия вектор, но мога да го преместя. Мога да го преместя тук горе. Стига да има същата големина, същата дължина, и същата посока. Причината да правя това е заради начина, по който визуално събираме вектори. Ако исках да събера вектор a плюс вектор b. И ще ти покажа как да го правиш по-аналитично в следващо видео. Мога буквално да начертая вектор a. Чертая вектор a. Това е вектор a. И после мога да начертая вектор b, но поставям опашката на вектор b до главата на вектор a. Премествам вектор b, така че опашката му да е точно до върха на вектор a. И вектор b ще изглежда подобно на това. Ще изглежда подобно на това. И ако преминеш от опашката на a чак до върха на b и наречеш това вектор c, това е сборът на a и b. И ако помислиш за това, трябва да е логично. Да кажем, че това бяха вектори на преместването. a показва, че те преместват толкова в тази посока. b показва, че те преместват толкова в тази посока. Дължината на b в тази посока. И ако кажа, че имам преместване на a, а после имам преместване на b, какво е общото преместване? Ще трябва да са те преместили толкова надалеч в тази посока и после ще те преместят на толкова в тази посока. Сумарната величина, с която са те преместили, е толкова в тази посока. Затова това ще е сборът на тези. Можем да използваме същата тази идея, за да разделим всеки вектор в две измерения на компонентите му. И ще ти дам по-добра представа какво означава това след малко. Ако имам вектор a... Нека избера нова буква. Нека наречем този вектор вектор х. Нека наречем това вектор х. И мога да кажа, че вектор х ще е сборът от този вектор тук в зелено и този вектор тук в червено. Забележи, х започва от опашката на зеления вектор и преминава чак до върха на цикламения вектор. А цикламеният вектор започва от върха на зеления вектор и после приключва там, където приключва вектор х. Причината да правя това... Надявам се разбираш от това обяснение тук, че това казва, че зеленият вектор плюс цикламения вектор ни дава този вектор х. Това трябва да е логично. Поставих върха на зеления вектор до опашката на цикламения вектор. Но причината да направя това е, ако мога да изразя х като сбор на тези два вектора, тогава това разделя х на вертикална компонента и хоризонтална компонента. Мога да нарека това хоризонтална компонента, или трябва да кажа вертикална компонента. х вертикален. И после мога да нарека това х хоризонтален. Или друг начин да начертая това, мога да преместя този х вертикален. Помни, няма значение къде го чертая, стига да има същата големина и посока. Мога да го начертая така. х вертикален. Това, което виждаш, е как се изразява този вектор х. Нека го направя в същите цветове. Можеш да изразиш този вектор х като сбора от хоризонталните и вертикалните му компоненти. Ще видим отново и отново, че това е супер важно, понеже можем да преобърнем една двумерна задача в отделни едномерни задачи – една, действаща в хоризонтална посока, и една, действаща във вертикална посока. Нека го направим малко по-математически. Говорих ти само за дължината и тези неща. Но нека разделим... Нека ти покажа какво означава да разделим компонентите на един вектор. Да кажем, че имам един вектор като този. Нека дам най-доброто... Да кажем, че имам един вектор, който изглежда така. Дължината му е 5. Нека нарека това вектор а. Дължината а е равна на 5. Да кажем, че посоката му... Ще дадем посоката му според ъгъла между посоката, в която сочи, и положителната част на оста х. Може би ще начертая една ос тук. Да кажем, че това тук е положителната част на оста у, отиваща във вертикална посока. Това тук е положителната част на оста х, отиваща в хоризонтална посока. За да уточним посоката на вектора, ще ти дам този ъгъл тук. Ще ти дам много особен ъгъл, но го избрах по специална причина, за да се получат нещата добре в края. Ще го дам в градуси. Той е 36,8699 градуса. Избирам точно това число по определена причина. Сега искам да намеря хоризонталната и вертикалната компонента на вектора. Искам да го разделя на нещо, което отива нагоре или надолу, и нещо, което отива надясно или наляво. Как да направя това? Мога да ги начертая визуално, за да видя как изглеждат. Вертикалната му компонента ще изглежда ето така. Ще започва... Вертикалната компонента ще изглежда ето така. А хоризонталната му компонента ще изглежда ето така. Хоризонталната му компонента ще изглежда ето така. Хоризонталната компонента, по начина, по който го начертах, ще започне, където започва вектор а, и ще премине толкова надалеч в посока х, колкото е върхът на вектор а, но само в посока Х, а после трябва да се върнеш обратно до върха на вектор а, трябва да намериш вертикалната му компонента. Понякога ще наречем вертикалната компонента тук а с индекс y, защото се движи в посока у. И можем да наречем хоризонталната компонента а с индекс х. Искам да намеря големината на а с долен индекс у и на а с долен индекс х. Как да направим това? Начинът, по който начертах това, поставих правоъгълен триъгълник тук. Това е правоъгълен триъгълник. Знаем дължината на този триъгълник или дължината на тази страна, или дължината на хипотенузата. Това ще е големината на вектор а. И големината на вектор а е равна на 5. Вече знаехме това тук горе. Как да намерим страните? Можем да използваме малко тригонометрия. Ако знаем ъгъла и знаем хипотенузата, как да намерим противоположната на ъгъла страна? Това тук... това тук е противоположната на ъгъла страна. И ако забравихме част от основите на тригонометрията, можем отново да си я припомним сега. Синус, косинус, тангенс. Синус е срещулежащ катет към хипотенузата. Косинус е прилежащ катет към хипотенузата. Тангенс е срещулежащ към прилежащ. Имаме ъгъла, искаме срещулежаия катет и имаме хипотенузата. Можем да кажем, че синусът на нашия ъгъл, синусът на 36,899 градуса, ще е равен на срещулежащия катет към хипотенузата. Срещулежащия катет на ъгъла е големината на компонента у. Ще е равен на големината на компонента у върху големината на хипотенузата, върху тази дължина тук, която знаем, че ще е равна на 5. Или ако умножиш двете страни по 5, получаваш 5 по синус от 36,899 градуса е равно на големината на вертикалната компонента на нашия вектор а. Преди да извадя калкулатора и да намеря колко е това, нека направя същото нещо и за хоризонталната компонента. Ето тук знаем, че тази страна е прилежаща на ъгъла. И знаем хипотенузата. И косинусът се занимава с прилежащия катет и хипотенузата. Знаем, че косинус от 36,899 градуса е равен на... Косинус е прилежаща към хипотенузата. Тоест е равен на големината на нашата компонента х към хипотенузата. Хипотенузата тук беше... Или трябва да кажа големината на хипотенузата, която има дължина 5. Отново, умножаваме двете страни по 5 и получаваме 5 пъти косинус от 36,899 градуса е равен на големината на нашата компонента х. Нека намерим колко са тези. Нека извадя калкулатора си. Нека извадя доверения си TI-85. Искам да се уверя, че е в режим градуси. Нека проверя. Да, в режим градуси сме. Искам да се уверя, че не сме в режим радиан. Нека излезем от това. И имаме, че вертикалната компонента е равбна на 5 пъти синуса на 36,899 градуса, което, ако закръглим, е около 3. Тоест това е равно на... Големината на нашата вертикална компонента е равна на 3. И после нека направим същото нещо за хоризонталната компонента. Имаме 5 по косинус от 36,899 градуса е, ако отново закръглим, получаваме 4. Получаваме, че е 4. Това е ситуация, при която имаме... Това е класически 3-4-5 питагоров триъгълник. Големината на хоризонталната ни компонента е 4. Големината на вертикалната компонента тук е равна на 3. И, отново, може да си кажеш: "Сал, защо се занимаваме с всичко това?" И в следващото видео ще видим, че ако кажем, че нещо има скорост в тази посока от 5 метра в секунда, можем да разделим това на две съставни скорости. Можем да кажем, че отива в посока нагоре при три метра в секунда и отива надясно в хоризонтална посока с 4 метра в секунда. И това ни позволява да разделим задачата на две по-лесни задачи, на две едномерни задачи, вместо на една по-голяма двумерна такава.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".