Основно съдържание

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 1

Урок 5: Средно и моментно ускорение на тяло

Какво представлява графиката на скоростта като функция на времето?

Как да анализираш графики, които показват връзката между скорост и време, и ускорение и преместване.

Какво представлява ординатата на графика на скоростта?

Вертикалната ос (ординатата) представлява скоростта на обекта. Това най-вероятно звучи очевидно, но нека те предупредим – графиките на скоростта са много трудни за интерпретиране. Хората свикват с това да намират скорост като определят наклон – както се прави по графики на позицията – те забравят, че на графики на скоростта стойността по вертикалната ос е скоростта.

Опитай да плъзгаш точката хоризонтално на примерната графика по-долу, като избираш различни точки от времето, и виж как се променя скоростта.

Проверка: Каква е скоростта на тялото при $t = 4 s$ ‍ според графиката по-горе?

Какъв смисъл има наклонът на графиката на скоростта?

Наклонът на графиката на скоростта представлява ускорението на обекта. Така че стойността на наклона в определен момент показва ускорението на обекта в този момент.

Наклонът на графиката на скоростта като се изразява по следната формула:

наклон = \frac{преместване по ординатата}{преместване по абсцисата} = \frac{v_{2} - v_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{Δ v}{Δ t}

Тъй като

\frac{Δ v}{Δ t}

е дефиницията за ускорение, наклонът на графиката на скоростта е равен на ускорението на обекта.

наклон = ускорение

Това означава, че когато наклонът е стръмен, обектът променя скоростта си бързо. Когато наклонът е полегат, обектът няма да променя скоростта си толкова бързо. Това също така означава, че ако наклонът е отрицателен – насочен надолу – ускорението е отрицателно, а ако наклонът е положителен – насочен нагоре – ускорението е положително.

Опитай хоризонтално да приплъзгаш точката на примерната графика на скоростта по-долу, за да видиш как изглежда наклонът за определен момент от времето.

Наклонът на кривата е положителен между моментите

t = 0 s

t = 2 s

, тъй като графиката е насочена нагоре. Това означава, че ускорението е положително.

Наклонът на кривата е отрицателен между моментите

t = 2 s

t = 8 s

, тъй като графиката е насочена надолу. Това означава, че ускорението е отрицателно.

В момента

t = 2 s

, наклонът е нула, тъй като допирателната е хоризонтална. Това означава, че ускорението е нула в този момент.

Проверка на концепциите: Тялото, чието движение е описано от графиката по-горе, ускорява ли или забавя скоростта си при време $t = 4 s$ ‍?

Тялото забавя скоростта си при

t = 4 s

Един начин да видим това е като провлачим слайдера към

t = 4 s

. Забележи, че наклонът на графиката е отрицателен, което означава, че ускорението е отрицателно. Скоростта при

t = 4 s

е положителна и има стойност от

+ 3 m/s

. Тъй като ускоренето и скоростта имат противоположни знаци, тялото трябва да намаля скоростта си.

Друг начин да видим това е като разпознаем, че при

t = 4 s

кривата приближава хоризонталната ос. Тъй като хоризонталната ос представлява

v = 0 m/s

, крива, която се насочва към хоризонталната ос, представлява тяло, което забавя скоростта си. Подобно, крива, която е насочена настрани от хоризонталната ос, представлява тяло, което ускорява. Тоест при

t = 7 s

в графиката по-горе кривата е насочена настрани от хоризонталната ос и скоростта на тялото се увеличава, докато тялото се насочва в отрицателната посока.

Какъв смисъл има площта под графика на скоростта като функция на времето?

Площта под графика на скоростта като функция на времето представлява преместването на обекта. За да видиш защо, разгледай следната графика на движение, която показва обект, поддържащ постоянна скорост от 6 метра в секунда в продължение на 5 секунди.

За да намерим преместването по време на целия времеви интервал, можем да използваме тази формула.

Δ x = v Δ t = (6 m/s) (5 s) = 30 m

което ни дава преместване от

30 m

Сега ще покажем, че това е същото като да намерим площта под кривата. Разгледай правоъгълникът, зададен от графиката по-долу.

Площта на този правоъгълник може да бъде намерена, като умножим височината на правоъгълника, 6 m/s, по широчината му, 5 s, което ни дава

площ = височина \cdot широчина = 6 m/s \cdot 5 s = 30 m

Това е същият отговор, който получихме за преместването. Тази площ под графиката на скоростта като функция на времето, независимо от формата, ще бъде равна на преместването за съответния времеви интервал.

За произволна фигура разгледай разделяне на площта на правоъгълници с много малка ширина, както е показано на графиката по-долу. Преместването по време във всеки от малките интервали време се дава от

Δ x = v Δ t

, тъй като скоростта ще бъде приблизително постоянна в продължение на интервалa, ако той е много кратък. Ако разбиеш цялата площ на безкрайно много безкрайно тесни правоъгълници, те ще покрият точно площта под дадената крива. Сумата на площите на всички правоъгълници ще ни даде цялата площ и също така преместването на обекта. Когато решаваме реална задача, никога не се налага изрично да разделяме площ на безкраен брой правоъгълници. Веднъж щом сме доказали, че площта представлява преместване, можеш да смяташ площта по какъвто начин ти е най-удобно.

площ под кривата = преместване

Пак ще намериш площта от кривата до оста на времето. Но тъй като площта лежи под оста за времето, преместването ще е равно на отрицателната площ. Това е логично, тъй като скоростта ще е отрицателна през това време, което ще доведе до отрицателно преместване.

Поради тази причина много хора мислят за площи, които лежат под времевата ос, като "отрицателни площи под кривата", така че да помнят да добавят отрицателен знак. Стриктно казано, това е неправилно, тъй като площта е нула или положителна по определение, но това не спира хората да използват "отрицателна площ под кривата" като полезен мнемоничен уред.

Как изглеждат решени примери, в които се използва графика на скоростта като функция на времето?

Пример 1: Промяна на скоростта при уиндсърфиране

Уиндсърфистка се движи по права линия и движението ѝ е дадено на следната графика на скоростта ѝ като функция на времето.

Посочи всички твърдения, които са верни за скоростта и ускорението ѝ.

(А) Скоростта се увеличава.
(Б) Ускорението се увеличава.
(В) Скоростта намалява.
(Г) Ускорението намалява.

Твърдения А, скоростта се увеличава, и Г, ускорението намалява, са верни.

Наклонът на графика на скоростта като функция на времето е ускорението. Тъй като наклонът на кривата намалява и става все по-полегат, това означава, че ускорението също намалява.

Може да изглежда противно на логиката, но уиндсърфистът ускорява през цялата графика. Стойността на графиката, която представя скоростта, се увеличава през цялото показано движение, но количеството увеличение за секунда намалява. За първите 4,5 секунди скоростта се увеличава от 0 m/s до около 5 m/s, а за вторите 4,5 секунди скоростта се увеличава от 5 m/s само до около 7 m/s.

Пример 2: Ускорение при картинг

Движението на картинг количка е показано на следната графика на скоростта като функция на времето.

А. Какво е ускорението на количката в момента $t = 4 s$ ‍?
Б. Какво е преместването на количката между моментите $t = 0 s$ ‍ и $t = 7 s$ ‍?

А. Намиране на ускорението на количката в момента $t = 4 s$ ‍

Можем да намерим ускорението в момента

t = 4 s

, като намерим наклона на графиката в момента

t = 4 s

наклон = \frac{преместване по ординатата}{преместване по абсцисата}

Ще изберем следните две точки: началото

3 s, 6 m/s

и края

7 s, 0 m/s

на диагоналната линия. Като заместим с тези стойности във формулата за наклон, получаваме:

наклон = \frac{v_{2} - v_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{0 m/s - 6 m/s}{7 s - 3 s} = \frac{- 6 m/s}{4 s} = - 1, 5 \frac{m}{s^{2}}

ускорение = - 1, 5 \frac{м}{с^{2}}

Б. Намиране на преместването между моментите $t = 0 s$ ‍ и $t = 7 s$ ‍

Можем да намерим преместването на количката, като намерим площта между графиката и абсцисата. Фигурата е правоъгълник (между

t = 0 s

t = 3 s

) и триъгълник (между

t = 3 s

t = 7 s

). Като намерим площите на тези две фигури и ги съберем, ще получим общото отместване.

Лицето на правоъгълник се намира така

лице = h \cdot w = 6 m/s \cdot 3 s = 18 m

Лицето на триъгълник се намира така:

лице = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} (4 s) (6 m/s) = 12 m

Събираме тези две лица и получаваме цялото преместване.

обща площ = 18 m + 12 m = 30 m

общо преместване = 30 m

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Физика – 11. клас (България)