Извеждане на формула за центростремителното ускорение от ъгловата скорост

В много видеа вече говорихме, че ако нещо се движи в кръг еднакво бързо (например 5 m/s), скоростта му постоянно се променя. Защо става това? Понеже скоростта е вектор, а един вектор има не само големина, но също и посока. Така че дори да имам скорост с еднаква големина в тази точка и, да кажем, в тази точка, посоката на скоростта ще е различна. Ще начертая двете стрелки еднакво дълги, за да изразя равната големина. Големината на скоростта, v без стрелка отгоре, на която можеш да гледаш като на линейна скорост, ще е същата, но посоката ще се е променила. И за да променим посоката, тази топка, която се движи в кръг, трябва да бъде ускорена. Това е единственият начин. Ако имаш промяна в посоката на скоростта, тогава трябва да имаш ускорение. И отначало това може да ти прозвучи нелогично, понеже си казваш: "Големината не се промени, а само посоката!" Но всяка промяна в посоката означава ускорение. И в предишни видеа видяхме, че ако имаш равномерно кръгово движение, това ускорение ще е с посока към центъра на окръжността. Наричаме този тип ускорение центростремително ускорение. Ако запиша това ето така, 'а' с индекс 'с', това означава големината на центростремителното ускорение. Ако говоря и за големина, и за посока, ще сложа стрелка, ето така. Също в предишни видеа успяхме да направим връзката между центростремителното ускорение и линейната скорост и радиуса. Разгледахме формулата, че големината на центростремителното ускорение е равна на линейната скорост на квадрат, разделена на радиуса. В това видео искам да видим дали мога да свържа центростремителното ускорение с ъгловата скорост, която означаваме с омега. Ъгловата скорост или големината на ъгловата скорост. Как можем да направим тази връзка? Ключовото нещо тук е да можем да свържем линейната скорост с ъгловата скорост. В предишни видеа, когато се запознахме с ъгловата скорост, видяхме, че линейната скорост е равна на радиуса на равномерното кръгово движение по големината на нашата ъглова скорост. И не обичам да запомням формули наизуст. Винаги е добре да знаеш логиката зад формулите. Помни, големината на ъгловата скорост, се измерва в радиани в секунда. И обикновено гледаме на радиана като на ъгъл, но може да мислиш за радиана и като дължина на дъгата: радиан е колко радиуса в дължина изминаваш в секунда. Ако умножа това по дължината на радиуса, ще получа изминатото разстояние в секунда. Надявам се, че това е логично. И всъщност в предни видеа доказваме тази формула и разбираме логиката зад нея. Но сега лесно можем да използваме тази формула и да заместим в тази тук, за да изразим центростремителното ускорение по отношение на радиуса и ъгловата скорост. И те окуражавам да спреш това видео и да видиш дали можеш да откриеш това самостоятелно. Добре, да направим това заедно. Да започнем така. Големината на центростремителното ускорение ще е равна на... Вместо v на квадрат, тук мога да заместя с това и да запиша r по омега на квадрат. r по омега. Ето. И с това просто казвам, че линейната скорост тук е равна на радиуса по ъгловата скорост. Така че навсякъде, където видя v тук, просто го замествам с r по омега. Имам r по омега, цялото на квадрат, върху r. Можем да го опростим. Това ще е равно на... Ще използвам свойствата на степените. r по омега по r по омега ще е r на квадрат по омега на квадрат, всичко това върху r. Ако имам r^2 върху r, това просто ще се опрости до r. Ето. Получихме формулата за центростремителното ускорение по отношение на ъгловата скорост. Центростремителното ускорение ще е равно на радиуса, r, по ъгловата скорост, омега, повдигната на квадрат. Готово. И в бъдещи видеа ще решим задачи, в които ще приложим тази формула.