Доказателство: Поле от безкрайна плоскост (част 1)

В това видео ще изучаваме електрическото поле, създадено от безкрайна равномерно заредена плочка. И защо ще направим това? Първо, понеже ще научим, че електрическото поле е постоянно, което само по себе си е хубаво, а после, понеже това е важно нещо, което трябва да осъзнаем по-късно, когато говорим за успоредни заредени плочки и кондензатори, понеже учебниците по физика ни казват, че полето е константа, но всъщност никога не го доказват. Ще докажем това тук и основата на всичко това е да намерим какъв е електричният заряд на безкрайна заредена плочка. Нека вземем страничен изглед на безкрайната заредена плочка и да открием логиката. Да кажем, че това е страничен изглед на плочката – и да кажем, че тази плочка има плътност на заряда сигма. Какво е плътността на заряда? Тя е просто кулони върху площта. Плътността на заряда е равна на заряда върху площта. Това е сигма. Казваме, че това има еднородна плътност на заряда. Преди да навлезем в сложната математика и ако гледаш това в плейлистата по висша математика, може да искаш да преговориш електрoстатиката от плейлистата по физика, и това вероятно ще е сравнително лесно за теб. Ако гледаш това от плейлистата по физика и познаваш плейлистата по висша математика, не трябва да гледаш това видео, понеже ще го намериш за твърде сложно. Но да продължим. Да кажем, че това отново, е моята безкрайна плочка, така че продължава във всяка посока и дори излиза от това видео, а това е страничен изглед. Да кажем, че тук горе имам точков заряд Q. Да помислим малко какво ще стане, ако имам точков – да кажем, че тук на плочката си имам някаква площ. Да помислим малко какъв ще е сумарният ефект върху този точков заряд. Първо, нека кажем, че този точков заряд е на височина h над полето. Нека начертая това. Това е височина h и да кажем, че това е точката директно под точковия заряд и да кажем, че това разстояние тук е r. Първо, какво е разстоянието между тази част на нашата плочка и нашия точков заряд? Какво е това разстояние, което ще начертая в цикламено? Какво е това разстояние? Питагоровата теорема. Това е правоъгълен триъгълник, така че това е квадратен корен от тази страна на квадрат плюс тази страна на квадрат. Това ще е корен квадратен от (h^2 + r^2). Това е разстоянието между тази площ и тестовия ни заряд. Нека помислим малко за логиката. Ако това е положителен тестов заряд и ако тази плочка е положително заредена, силата от тази площ върху заряда ще е радиално навън от тази площ, така че ще е – нека го направя в друг цвят – това ще отива в тази посока. Но тъй като това е безкрайна плочка във всяка посока, ще има друга точка върху тази плочка, която е от другата страна на тази точка, ето тук, като нейната сумарна електростатична сила върху този точков заряд ще е ето така. И както можеш да видиш, тъй като имаме еднородна плътност на заряда и плочката е симетрична във всяка посока, х, или хоризонталните компоненти на силата ще се съкратят. И това е вярно за всяка точка по тази плочка. Понеже ако избереш която и да е точка по нея, гледаме страничен изглед, но ако гледахме изглед отгоре – това е той – и, разбира се, плочката продължава вечно във всяка посока. Ето тук е нашият точков заряд, ако кажем: "Има я тази точка на плочката и тя ще има някаква компонента у, която при този изглед отгоре излиза от видеото, но ще има някаква компонента х, ефектът на компонентата х на тази точка ще я съкрати." Винаги можеш да намериш друга точка на тази плочка, която е симетрично противоположна и чиято компонента х на електростатичната сила ще се съкрати с първата. Като имаме това – това е просто засукан начин да кажем, че сумарната сила на този точков заряд ще е само нагоре. Мисля, че трябва да усетиш, че е логично, че всички компоненти х, или хоризонталните компоненти, на електростатичната сила ще се съкратят, понеже има безкрайни точки от всяка страна на този тестов заряд. Като изяснихме това, върху какво трябва да се фокусираме? Просто трябва да се фокусираме върху компонентите у на електростатичната сила. Каква е компонентата у? Да кажем, че тази точка тук – и ще продължавам да променям цветовете. Да кажем, че тази точка – и, отново, това е страничен изглед – прилага – нейното поле в тази точка е "Е1" и то ще е в тази посока. Каква е неговата компонента у? Каква е компонентата в тази посока? И, разбира се, тя отива навън, ако и двете са положителни. Каква е компонентата у? Какво е това? Ако знаехме тита, ако знаехме този ъгъл, компонентата у, или възходящата компонента на това, ще е електрическото поле по косинус от тита. Косинус е прилежащата страна върху хипотенузата, така че хипотенузата по косинус тита е равно на прилежащата страна. Ако искахме вертикалната, или компонентата у, на електрическото поле, просто ще умножим големината на електрическото поле по косинус от тита. Как намираме тита? Тази тита е същата като тази тита, според основите на тригонометрията. Какъв е косинус от тита? Знаем, че косинус е прилежаща страна върху хипотенузата. Косинус от тита е равен на прилежащата страна върху хипотенузата. Когато гледаме този ъгъл, който е същият като този ъгъл, какво е прилежащата страна върху хипотенузата. Това е прилежащата, това е хипотенузата. Какво получаваме? Получаваме, че компонентата у на електрическото поле от тази малка част на плочката ни, компонентата у на електрическото поле, нека просто сложим индекс 1, понеже е просто малка част от плочката. Това е равно на електрическото поле по принцип, големината на електрическото поле от тази точка, по косинус от тита, което е равно на електрическото поле по прилежащата страна – по височината, върху хипотенузата – върху корен квадратен от (h^2 + r^2). Добре. Да видим дали можем да открием каква е големината на електрическото поле и после можем да я въведем тук, и ще намерим компонентата у от тази точка. И няма просто да намерим електрическото поле само от тази точка, ще намерим електрическото поле от един пръстен, който огражда това. Нека ти дам малко перспектива или да го начертая с малко перспектива. Това отново е моята безкрайна плочка. Ще я начертая в жълто, тъй като в началото я начертах в жълто. Това е моята безкрайна плочка. Тя продължава във всяка посока. И после имам заряда си, носещ се над тази плочка някъде на височина h. И тази точка тук, може би това можеше да е ето тук, но ще начертая пръстен, който е на равен радиус около тази плочка тук. Това е r. Нека начертаем пръстен, понеже всички тези точки ще са на едно и също разстояние от тестовия ни заряд. Те са точно като тази точка, която начертах тук. Можеш да приемеш това за напречно сечение на този пръстен, който чертая. Нека намерим каква е компонентата у на електрическата сила от този пръстен върху нашия точков заряд. За да направим това, просто трябва да намерим площта на този пръстен, да я умножим по плътността на заряда, и ще получим общия заряд от този пръстен. После можем да използваме закона на Кулон, за да намерим неговата сила, или полето при тази точка. После можем да използваме тази формула, която намерихме, за да открием компонентата у. Знам, че това е сложно, но ще си струва, понеже ще знаеш, че имаме постоянно електрическо поле. Нека направим това. Първо, законът на Кулон ни казва – първо, нека намерим заряда от този пръстен. Q на пръстена. На колко е равно? Равно е на обиколката на пръстена по ширината на пръстена. Да кажем, че обиколката е 2πr. И да кажем, че е много тънък пръстен. Много е тънък. Той е dr. Безкрайно тънък. Неговата ширина е dr. Това е площта на пръстена. И какъв ще е неговият заряд? Той е площта по плътността на заряда, тоест по сигма. Това е зарядът на пръстена. И какво е електрическото поле, създадено от пръстена в тази точка тук, където е нашият тестов заряд? Законът на Кулон ни казва, че силата, генерирана от пръстена, ще е равна на константата на Кулон по заряда на пръстена по нашия тестов заряд, делено на разстоянието на квадрат. Колко е разстоянието между всяка точка на пръстена и нашия тестов заряд? Това може да е една от точките на пръстена, а това може да е друга. Това е като напречно сечение. Разстоянието във всяка точка – това разстояние тук – отново, според питагоровата теорема, понеже това е също r – това разстояние е корен квадратен от (h^2 + r^2). Това е същото нещо като това. Това е разстоянието на квадрат и това е равно на k по заряда на пръстена по нашия тестов заряд, делено на разстоянието на квадрат. Разстоянието е корен квадратен от (h^2 + r^2), така че ако повдигнем това на квадрат, става просто (h^2 + r^2). И ако искахме да знаем електрическото поле, създадено от този пръстен, електрическото поле е просто силата за тестов заряд, така че ако разделим двете страни на Q, научаваме, че електрическото поле на пръстена е равно на константата на Кулон по заряда на пръстена, делено на (h^2 + r^2). И сега каква е компонентата у на заряда в пръстена? Тя ще е това, нали? Току-що намерихме големината на този вектор. Но искаме неговата компонента у, понеже всички компоненти х се съкращават, така че това ще е по косинус от тита. Намерихме, че косинус от тита е ето това, така че го умножаваме по това. Полето от пръстена в посока у ще е равно на неговата големина по косинус от тита, което намерихме, че беше h върху корен квадратен от (h^2 + r^2). Можем малко да опростим това. Колко става този знаменател? (h^2 + r^2) на степен 3/2. И какъв е числителят? Да видим, имаме kh и после заряда на пръстена, който намерихме тук горе. Това е 2π сигма r – уверявам се, че не съм изпуснал нищо – по dr. Изчислихме компонентата у, вертикалната компонента, на електрическото поле на h единици над плочката. И не от цялата плочка, а само електрическото поле, генерирано от пръстен с радиус r от основата на мястото, от което взимаме тази височина. И вече изминаха 12 минути от това видео и за да дам почивка на теб и на себе си, ще продължа в следващото. Но можеш да си представиш какво ще направим сега. Открихме електрическото поле, създадено от този пръстен. Сега можем да интегрираме по цялата плочка. Можем да намерим всички пръстени с радиус от безкрайност чак до 0 и това ще ни даде сбора от всички електрически полета и сумарното електрическо поле на h единици над повърхността на тази плочка. Ще се видим в следващото видео.